1、二项式定理的发现与推广倪致祥科学发现系列讲座科学发现系列讲座二项式定理的发现n 通过探索 ,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的 n次方的展开结果 :二项式定理的发现n 为了便于看出规律，我们把它补充完整 :二项式定理的发现n 为了便于研究其中的规律 , 1544年 Stifel把公式中字母的系数提取出来 ,称为二项式系数 .n 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和 .n 用公式表示为 :这个结果，中国数学家杨辉早在 13世纪就发现了。二项式定理的发现n 通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律 ,即通项公式 :1713年 ,Bernoulli对上面的公式给出了证明。二项式定理
2、的推广 1n 上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢 ?n 1665年，牛顿对此进行了研究。n 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：n 为了便于比较，我们把二项式定理改写为：为了便于比较，我们把二项式定理改写为：二项式定理的推广 1n 经过仔细比较，不难发现上式中取 n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。n 这说明二项式定理的新形式在 n=-1时也成立。n 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：二项式定理的推广 1n 这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为 1/2时，有：n 验证的
3、结果与猜想一致。牛顿还对指数为验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为 1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。等情况进行了验证，结果也与猜想一致。二项式定理的推广 1n 然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？n 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。n 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。n 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。n 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理的推广 2n 二项式定理给出了两项和的 n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的 n次幂，这时该怎么办？n 最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。n 例如，对于三项和的 n次幂，可以如下计算
