1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课1. 定积分的应用几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 .物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、 引力、2. 基本方法 : 元素法元素形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等 .转动惯量 .定积分的应用 第 六 章 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 求抛物线 在 (0,1) 内的一条切线 , 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 .解 : 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它 与 x , y 轴的交点分别为所指 面积使它目录 上页 下页 返回 结束 故为最小值点 , 因而所 求 切线为得 0 , 1 上的唯一驻点目录 上页 下页
2、返回 结束 例 2. 设非负函数曲线 与直线 及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时 , 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解 : (1) 由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得目录 上页 下页 返回 结束 又(2) 旋转体体积又为唯一极小值点 , 因此 时 V 取最小值 .目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 过坐标原点作曲线轴 围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 ;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 .解 : (1) 设切点的横坐标为 则 所求切线方程为由切线过原点知的 切线 . 该切线与曲线因此 故 切线方程为D 的面积为1(2003考研
3、)目录 上页 下页 返回 结束 (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 .(2) 切线、 x 轴及直线 所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、 x 轴及直线 所围图形绕直线 旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 证明曲边扇形 绕极轴证 : 先求 上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为目录 上页 下页 返回 结束 故所求 旋转体体积为例 5. 求由 与 所围 区域绕旋转所得旋转体体积 .解 : 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点到直线 的 距离为则目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为 H ( H 2 R ) 的水池底 , 水的密度多少功 ? 解 : 建立坐标系如图 . 则对应上球的薄片提到水面上的功元素为提出水面后的功元素为现将其从水池中取出 , 需做体积元素所受重力上升高度
