1、12003 年全国硕士入学统考数学( 一)试题及答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） = .)1ln(02coslimxxe【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式 = 进 )(limxgf1)(1lim(xgfe行计算求极限均可.【详解 1】 = ,)1ln(02coslixxxxecosln)1l(im20而 ，2csilli)1ln(im02020 xxxxx故 原式= .2e【详解 2】 因为 ，21lim)1ln()(coslim2020 xxxx所以 原式= .12e（2） 曲面 与平面 平行的切平面的方程是2yxz04
2、zyx.54zyx【分析】 待求平面的法矢量为 ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方1,2n程, 而切点坐标可根据曲面 切平面的法矢量与 平行确定.2yxz1,42n【详解】 令 ，则2),(yF， ， .x21z设切点坐标为 ，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面),(0zy 1,20yx平行，因此有4zx2，14200yx可解得 ，相应地有 ,10 .5200yxz故所求的切平面方程为 ，即 .)5(2(4)(2zyx 4z（3） 设 ，则 = 1 .)cos0xnan 2a【分析】 将 展开为余弦级数 ，)()2xf )(cos02 xnaxn其系数计算公式为 .0cosnxdfan【详解
3、】 根据余弦级数的定义，有xx2sin12002 = 0isin1d= 00 coscoscxxxd=1.（4）从 的基 到基 的过渡矩阵为2R1,2121,1.13【分析】 n 维向量空间中，从基 到基 的过渡矩阵 P 满足n,21 n,21 = P，因此过渡矩阵 P 为：P= n,21 n,21 1.【详解】根据定义，从 的基 到基 的过渡2R1,021 21,1矩阵为P= .12,21,23= .21310（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxyxf其 他 ,0,6),(则 .1YXP4【分析】 已知二维随机变量 (X,Y)的概率密度 f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可
4、转化为二重积分 = 进行计算.),(0zg ),(0zYXgP0),(zyxgdyf【详解】 由题设，有1YXP12106),(yx xddyf= .4)6(202xy1DO 1 x2（6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 ，从中随机地抽取 16)1,(N个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 .)490,51.3(注：标准正态分布函数值 .)95064.1(,975.0)6.1(【分析】 已知方差 ，对正态总体的数学期望 进行估计，可根据2，由 确定临界值 ，进而确定相应的置信区间.)1,0(NnX12unXP2u【详解】 由题设
5、， ，可见 于是查标准正态分布表知95.0.05本题 n=16, , 因此，根据 ，有.9612u4x 9.6.1nXP4，即 ，故 的置信度为 0.95 的置95.06.140P 95.04.,5139P信区间是 .),5.39(二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.
6、 C yO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设 均为非负数列，且 , , ,则必有,nncba 0limna1linbnclim(A) 对任意 n 成立. (B)
7、对任意 n 成立.c(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. D nclimnli【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限 是 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nali0属 型，必为无穷大量，即不存在.ncbli1【详解】 用举反例法，取 ， ， ，则可立即排除(A),na21b),21(ncn(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 ，则1)(,lim20, yxfyx5(A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点 . (B) 点(0,0)是 f(x
8、,y)的极大值点 . (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点 . (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点 . A 【分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且1)(,lim20, yxfyx充分小时） ，于是2)(),(yxf,.)(0, 2yxfyxf可见当 y=x 且 充分小时， ；而当 y= -x 且 充分小时，040,)xf x. 故点(0,0)不是 f(x
9、,y)的极值点，应选(A).4),0(),(2xfyxf（4）设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，则r,21 s,21(A) 当 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 时，向量组 II 必线性相关.srr(C) 当 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 时，向量组 I 必线性相关. D 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I：可由向量组 II： 线性表示，则当 时，向量组 I 必线性相r,21 s,21 sr关. 或其逆否命题：若向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，且r s,21向量组 I 线性无关，则必有 . 可见正确选项为(D).
10、本题也可通过举反例用排除法找到sr答案.【详解】 用排除法：如 ，则 ，但10,0211210线性无关，排除(A)； ，则 可由 线性表示，21, 0,12121,1但 线性无关，排除(B)； ， 可由 线性表示，但1 ,021112,线性无关，排除(C). 故正确选项为 (D).1（5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 矩阵，现有 4 个命题：nm 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)； 若秩(A) 秩 (B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；6 若秩(A)=秩(B)，
11、则 Ax=0 与 Bx=0 同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C) ；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如， ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题不01A10B成立，排除(D), 故正确选项为 (B).（6）设随机变量 ，则21),(XY
12、ntX(A) . (B) .)(2Y)(n(C) . (D) . C 1,nF,1F【分析】 先由 分布的定义知 ，其中 ，再将其代t nVUX)(),10(2nVN入 ，然后利用 F 分布的定义即可.21XY【详解】 由题设知， ，其中 ，于是n)(),10(2n= ，这里 ，根据 F 分布的定义知21XY12UVn)(2故应选(C).).,(2F三 、 （本题满分 10 分）过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，
13、再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为 ，则曲线 y=lnx 在点 处的切线方程是0x)ln,(0x).(1ln00y7由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为01lnx.0ex.ey平面图形 D 的面积10.12)(dAy（2） 切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体e积为 .321V曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为，dye202)(因此所求旋转体的体积为).3125(6)(3110
14、2221 eyeVy1DO 1 e x四 、 （本题满分 12 分）将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和.xf21arctn)(012)(n【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数 x1的幂级数展开 即可，然后取 x 为某特殊值，得所求级数的 nxx21和.【详解】 因为 ).21,(,4)1(4)( 202 xf nn又 f(0)= , 所以4 dtdtffxf nxxn4)1(24)()0( 208= ).21,(,124)(420xnn因为级数 收敛，函数 f(x)在
15、处连续，所以0)(n .21,(,124)(4)(20xnxf n令 ，得21, 0120 12)(4)(24)( nnnf 再由 ，得21f.4)21()(0fn五 、 （本题满分 10 分）已知平面区域 ，L 为 D 的正向边界. 试证：0,),(yxyD(1) ;dxedexLxLy sinsinsinsin (2) .2sisi 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边= dxeye0sin0sin= ，sisi)(xx右边= 00sinsineye= ，
16、sisi)(dxx所以 .dxyeyedxLL sinsinsinsin (2) 由于 ，故由（1）得2sisix.2)(0sinsisinsin xeyexxL9方法二：（1） 根据格林公式，得， DxyxLy dyedex )(sinsinsinsin. sisisisi因为 D 具有轮换对称性，所以= ，xydye)(sinsinDxydye)(sinsi故 .dx xLxLy sisinsisi (2) 由(1)知 DxyxLy dyee)(sinsinsinsin= Dsisi= （利用轮换对称性）xyexyeDsinsin= .2)(sisi dD六 、 （本题满分 10 分）某建
17、筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1). 问(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为x.
18、由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 ，),321(nW kx所以，2101akxkdx).()(22221 xx 由 可得rW22a10即 .)1(22arx.)1(2)( 2323332 arxkxkdWx 由 可得1r，223)(ax从而 ，r即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 .amr21（2） 由归纳法，设 ，则xnn 1)(22111 nxn xkdWn= .21arkn由于 ，故得11 Wrnn ,22)(rx从而 .11arrnnn 于是 ，arxnlim1即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m.ar1七 、 （本题满分 12 分）设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y(x)的反函数.),()(,0yxy(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的sin(32ddx微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.2)0(,)(y【分析】 将 转化为 比较简单， = ，关键是应注意：dyxdx1
