1、 1 中 考 应 用 题 列方程 (组 )解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程 (组 )解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件 (包括所求的量 )都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多” 、“少” 、“增加” 、“减少” 、“快” 、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重 点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才
2、能做到 解应用题的一般步骤： 解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答” 1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意 2、“设”是指设元，也就是未知数包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数 (较难的题目 ) 3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中 的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程 4、“解”就是解方程，求出未知数的值 5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义 6、“答”就是写出答案 (
3、包括单位名称 ) 应用题类型： 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等 几种常见类型和等量关系如下： 1、行程问题： 基本量之间的关系：路程 =速度时间，即： vts 常见等量关系： (1)相遇问题 ：甲走的路程 +乙走的路程 =原来甲、乙相距的路程 (2)追及问题 (设甲速度快 )： 同时不同地： 甲用的时间乙用的时间； 甲走的路程乙走的路程原来甲、乙相距的路程 同地不同时： 甲用的时间乙用的时间时间差； 甲走的路程乙走的路程 2、工程问题： 基本量之间的关系：工作量 =工作效率工作时间 常
4、见等量关系：甲的工作量乙的工作量甲、乙合作的工作总量 3、增长率问题： 基本量之间的关系：现产量 =原产量 (1+增长率 ) 4、百分 比浓度问题： 基本量之间的关系：溶质 =溶液浓度 5、水中航行问题： 基本量之间的关系：顺流速度船在静水中速度水流速度； 逆流速度船在静水中速度水流速度 6、市场经济问题： 基本量之间的关系：商品利润 =售价进价； 商品利润率 =利润进价； 利息 =本金利率期数； 本息和 =本金 +本金利率期数 一元一次方程方程应用题归类分析 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决 实
5、际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助 . 1. 和、差、倍、分问题： （ 1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。 （ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。 例 1.根据 2001 年 3月 28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到 2000 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990 年 7月 1日减少了 3.66%， 1990 年 6 月底每 10万人中约有多少人具有小学文化程度？
6、分析： 等量关系为： 1 3 66% 90 6 2000 11 1 . 年 月底有的人数 年 月 日人数 2 解： 设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学文化程度 ( .1 3 66%) 35701 x x37057 答： 略 . 2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。 例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 125 125 2 mm 内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降 多少 mm？（结果保留整数 314. ） 分析： 等量
7、关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度 解： 设玻璃杯中的水高下降 xmm 902 125 125 812 xxx 625625 1993. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （ 1）既有调入又有调出； （ 2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （ 3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例 3. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮 10个，已知 2 个大齿轮与 3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析： 列表法。 每人每天 人数
8、数量 大齿轮 16 个 x人 16x 小齿轮 10 个 85x人 1085x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3倍 解： 设分别安排 x名、 85x 名工人加工大、小齿轮 3 16 2 10 85( ) ( )x x 48 1700 2068 170025x xxx 85 60x 人 4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和 总量。 例 4. 三个正整数的比为 1： 2： 4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ 解： 设一份为 x，则三个数分别为 x， 2x， 4x 分析： 等量关系：三个数
9、的和是 84 x x xx 2 4 84125. 数字问题 （ 1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、 b、 c均为整数，且 1 a 9， 0 b 9， 0 c 9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c。 （ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2N 表示， 连续的偶数用 2n+2或 2n 2表示；奇数用 2n+1 或 2n 1表示。 例 5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数 等量关系：原两位数
10、+36=对调后新两位数 解： 设十位上的数字 X，则个位上的数是 2x， 10 2x+x=（ 10x+2x） +36解得 x=4， 2x=8. 答：略 . 3 6. 工程问题 ： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量 =工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。 例 6. 一件工 程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12天完成，现先由甲、乙合作 3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析 设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作总量。 解：设乙还需 x天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意
11、得， (115+112) 3+x12=1， 解这个方程， 15+14+x12=1 12+15+5x=60 5x=33 x=335 =635 答：略 . 7. 行程问题： （ 1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程 =速度时间。 （ 2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （ 3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例 7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲 站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140公里。 （ 1）慢
12、车先开出 1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （ 3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、 同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （ 1） 分析： 相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程 +快车走的路程 =480 公里。 解： 设快车开出
13、x小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=390 x=11623 答：略 . 分析： 相背而行，画图表示为： 6 0 0 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和 +480 公里 =600 公里。 解： 设 x小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 x=1223 答：略 . （ 3） 分析： 等量关系为：快车所走路程慢车所走路程 +480 公里 =600 公里。 解： 设 x小时后两车相距 600 公里，由题意得， (140 90)x+480=600 50x=120 x=2.4 答
14、：略 . 分析： 追及问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程 +480 公里。 解： 设 x小时后快车追上慢车。 由题意得， 140x=90x+480 解这个方程， 50x=480 x=9.6 答：略 . 分析： 追及问题，等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程 +480 公里。 4 解： 设快车开出 x小时后追上慢车。由题意得， 140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4 答：略 . 8. 利润赢亏问题 （ 1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （ 2）有关关系式： 商品利润 =商品售价 商品进价 =商品标价折扣率 商品
15、进价 商品利润率 =商品利润 /商品进价 商品售价 =商品标价折扣率 例 8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15元，这种服装每件的进价是多少？ 分析： 探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 x元 8折 （ 1+40%） x 元 80%（ 1+40%） x 15元 等量关系：（利润 =折扣后价格 进价）折扣后价格进价 =15 解： 设进价为 X 元， 80%X（ 1+40%） X=15， X=125 答：略 . 9. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本
16、息和，存入 银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 利息 =本金利率期数 本息和 =本金 +利息 利息税 =利息税率（ 20%） 例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析： 等量关系：本息和 =本金（ 1+利率） 解： 设半年期的实际利率为 x， 250（ 1+x） =252.7， x=0.0108 所以年利率为 0.0108 2=0.0216 1“今有鸡、兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何”题目大意：在现有鸡、兔在同一个笼子里，上边数有 35个
17、头，下边数有 94只脚，求鸡、兔各有多少只 解：设有 x只鸡， y 只兔子，由题意得 3 5 , 2 3 ,2 4 9 4 , 1 2 .x y xx y y 解得 2希腊文集中有一些用童话形式写成的数学题比如驴和骡子驮货物这道题，就曾经被大数学家欧拉改编过，题目是这样的：驴和骡子驮着货物并排走在路上，驴不住地埋怨自己驮的货物太重，压得受不了骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货物比你重，假若你的货物给我一口袋，我驮上的货就比你驮的重一倍，而我 若给你一口袋，咱俩驮的才一样多”那么驴和骡子各驮几口袋货物？你能用方程组来解这个问题吗？ 解：设驴子驮 x 袋，骡子驮 y袋， 根据题意，得 1 2(
18、 1 ) , 5 ,1 1. 7.y x xy x y 解得规律方法应用 3戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说：“我看到船上红、白两种帽子一样多”一男生说：“我看到的红帽子是白帽子的 2倍”请问：该船上男、女生各几人？ 解：设女生 x 人，男生 y人，由题意得 1, 4 ,2 ( 1 ) , 3 .y x xy x y 解得 4有一头狮子和 一只老虎在平原上决斗，争夺王位， 最后一项是进行百米来回赛跑（合计 200m），谁赢谁为王已知5 每跨一步，老虎为 3m，狮子为 2m， 这种步幅到最后不变，若狮子每跨 3步，老虎只跨 2步，那么这场比赛结果如何？ 解
19、：老虎跨 2 步 6m，狮子跨 3步 6m，在折返点老虎多跨一步，狮子胜 5某公司的门票价格规定如下表所列，某校七年级（ 1），（ 2）两个班共 104 人去游公园，其中（ 1）班人数较少，不到50 人，（ 2）班人数较多，有 50多人经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付 1 240 元；如果两班联合起来，作为 一个团体购票， 则可以节省不少钱，则两班各有多少名学生？ 购票人数 150 人 51100 人 100 人以上 票 价 13 元 /人 11元 /人 9元 /人 解：设七年级（ 1）班有 x 名学生，七年级（ 2）班有 y名学生， 根据题意可列 1 0 4 , 4 8 ,1
20、 3 1 1 1 2 4 0 . 5 6 .x y xx y y 解这个方程组, 得中考真题实战 6（吉林）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某地区 2003 年和 2004 年小学入学儿童人数之比为 8： 7，且 2003 年入学人数的 2 倍比 2004 年入学人数的 3 倍少 1 500 人， 某人估计 2005 年入学儿童人数将超过 2300 人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势 解：设 2003 年入学儿童人数为 x人， 2004 年入学儿童人数为 y人， 则可列 7 8 , 2 4 0 0 ,2 3 1 5 0 0 , 2 1 0
21、 0 .x y xx y y 解得 2 3002 100， 他的估计不符合当前入学儿童逐渐减少的趋势 一元一次不等式组及其应用 1（ 2004，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 4个， 则剩下 9 个；如果每人分 6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于 3个，问共有几个儿童， 分了多少 个橘子？ 1.设共有 x 个儿童，则共有（ 4x+9）个橘子，依题意，得 0 4x+9-6（ x-1） 20 时，它也是一个一次函数图象，即设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k1 x+b1 .因为点 (20,200),(30,240)在函数 y=k1 x+b1 上 ,所以函数关系式为 y=4x+120,当 y=250 时 , 4x+120=250,解得 x=32.5 评注：解从 “ 数 ” 到 “ 形 ” 的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解 三、 “ 数形结合 ” 思想的综合运用 例 3 某校部分住校生，放学后到学校 锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来 因故障关闭一个放水笼头假设前后两人接水间隔时间忽略不 计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量 y(升 )与接水时间 x(分 )的函 数图象如图
