1、导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例 1 试确定 a、b 之值,使函数 在 内可导,并求,0()1ln(),xxaebf(,+) ()例 2 设 证明 在 处连续,可微,且导函31sin,0(),xf x()fx0数在 处连续,但 在 处不可导0x()f0例 3 设 在 处可导,求()fut01lim(0)rrrftftaa为 常 数例 4 求下列函数的导数 y() () 2()(0xxy3arctn2yx() 1lnx例 5 设 和 是可导函数,求函数 的导
2、数.()x()22()()yx例 6 设 由方程 确定,其中 是 的可微函()yx2 2()()yfxfyx()fx数,试求 .例 7 已知2(),()0.()xft dyftyft x 求例 8 设 且处处可微,求 .()0fxln()fxd例 9 求下列函数的高阶导数() 23(6)(2)(3)(4),yxxxy求() 44()sincos,.ny求() 2()1,.nxyye求() .()256nyyx， 求例 10设函数 满足:()fx() 对于任意实数 ,有12x1212()()fxfxf() 在 可导,且 .()fx00证明: 可导且 ()()fxf作业题:求平面曲线 与 的公切线
3、方程. 2yx1(0)yx答案：例 1 试确定 a、b 之值,使函数,0()1ln(),xxaebfx在 内可导,并求(,+) ()解: 欲使 在 内可导,只需 在 处连续,可导,由()fx(,+) ()fx000limli)xxxxaebab00011li()limln(limxx xf 而 在 处连续,得()fx（1）1ab0 0()()()limlimxxx xffaebabf x 00(1)(1)lilixxaeb 00lilixxaA0 0ln(1)()()()()limimx xxabfff x 20 01ln(1)i li2x xx 由 在 处可导,得()f（2）12ab联立(1
4、)与(2)解得 , .所以当 , 时, 在 处可导,且14a3b14a3b()fx02,0()1ln(1),()xxexfxx例 2 设 31sin,0()0,xxf证明 在 处连续,可微,且导函数在 处连续,但 在 处不()fx0 0x()fx0可导证: 因为 ,故 在 处连续,又3001lim()lisin0()xxf fxx()fx0故 在320 001sin()() 1()li limlimsin0,x x xfff x x()fx处可导,也可微 .当 时,0x211()3sincos.fxx200lim()li(sics)0().xxf xf故导函数 在 处连续,但()f0 0()(
5、)1limlim(3sincos).x xffxx不 存 在故导函数 在 处不可导()f0例 11设 在 处可导,求()fut01lim(0)r rrftftaa 为 常 数解: 0lirrrftfta0()()()()limr rftftftftar0 0()()()()11li limr rr rftftftftaaaaAA112()()()ftftftaaa例 12求下列函数的导数 y() 2()(0)xxy() 3arctn2() 1lxy( ) 解: 2 21()(),xxxy令11ln2ln,2lnyyxx.21(l)xx令 2221(),lnl(),ln2x yyy x21()l
6、)2xyx故 ln(1ln2)x x() 解: 331 ()2yxx2331xxA2332(1)2xx() 解: lnln1ln11y xx2 1yxx例 13设 和 是可导函数,求函数 的导数.()x()22()()yx解: 2221 ()()()y xxx22 ()()xx例 14设 由方程 确定,其中 是 的可微函()yx2 2()()yfxfyx()fx数,试求 .解: 对原式左右求导有22()()()()2,yfxyfxfyxfyx解得 2()()yfxfy例 15已知2(),()0.()xft dyftyft x 求解: ()()()dftftfttxdt2()1“()yxdtxf
7、tt例 16设 且处处可微,求 .()0fxln()fxd解: 2()()()ln()ln()ln() ffxfxffxfdff dxA2l() ()1ln()()fxffxfxfx例 17求下列函数的高阶导数() 23(6)(2)(3)(4),yxxxy求() 44(sincos,.ny求() 2()1,.nxyye求() .()256nyyx， 求( ) 解: 其中 为 的23 65 5()()108(),xpxxpx5()px次多项式,故(6)108!yA() 解: 将原函数变形得2222(sincos)sincosyxxx2114iA,(3cos4)4x故 () 11s()4cos().22nn nny xA() 解: 将原函数变形得 22(1)xyeA故 () 212)()()()nn nxnxy ene() 解: 将原函数变形得11(2)(3)(2)(3)yxxx
