1、1习题一1设 、 、 是某一随机试验的 3 个事件，用 、 、 的运算关系表示下列事ABCABC件：（1 ） 、 、 都发生；（2 ） 、 、 都不发生；（3 ） 与 发生，而 不发生；ABC（4 ） 发生，而 与 不发生；（5 ） 、 、 中至少有一个发生；（6 ） 、 、 中不多于一个发生；ABC（7 ） 与 都不发生；（8 ） 与 中至少有一个发生;（9 ） 、 、 中恰有两个发生.ABC2将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， AB=“点数之和为 10”， =“最小点数为 4”试分别指出事件 、 、 以及C、 、 、 、 各自含有的样本点ABCABC3在一
2、段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是 0 次，1 次，2 次， 记事件 k（ k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于 k”，试用 间的运算表示下列事件：kA（1 ） 呼唤次数大于 2 ；（2 ） 呼唤次数在 5 到 10 次范围内；（3 ） 呼唤次数与 8 的偏差大于 24下列命题是否成立,并说明理由 :(1) (2) ABAB2(3) (4) ABAB(5) 若 ,则 (6)若 则=5事件 、 、 两两互不相容与 是否为一回事?为什么? CC6.设 、 、 是 3 个事件 ,AB14PAB， 0PABC,求 、 、 中至少有一个发生的概率. 18P7. ,求 , .1342AB
3、PAB， ， PAB8设 、 、 是三个随机事件，且有 ， ， CC他()0.9P= 0.8 ，求 ()P()9将 10 本书任意放到书架上，求其中仅有的 3 本外文书恰排在一起的概率10.10 个号码:1 号,2 号,10 号,装于一袋中, 从中任取 3 个,按从小到大的顺序排列, 求中间的号码恰好我 5 号的概率.11.从一批由 35 件正品，5 件次品组成的产品中任取 3 件，求其中恰有一件次品的概率.12. 一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（ nN）.试求其中恰有 m 件（ m M）正品（记为 A）的概率.如果：（1 ） n 件是同时取出的；（2 ） n 件
4、是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.13两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率14.同时抛 枚硬币,求至少有一枚出现正面的概率.m15. 一个袋内装有大小相同的 10 个球，其中 4 个是白球，6 个是黑球，从中一次抽取 3 个，计算至少有两个是白球的概率.16某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率317.50 个零件,其中 48 个精度合格,45 个表面粗糙度合格,44 个精度和表面粗糙度都合格.现从中任取一个,已验得其表面粗糙度合格,问其
5、精度合格的可能性多大?18.已知 , , ,求 .14PA13B12PAB19设 ， 问 (1) 什么条件下 可以取最大值，其值是多()0.5()0.6()PA少？(2) 什么条件下 可以取最小值，其值是多少？20由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记为事件 ）的概率为 ,刮风415（记为事件 ）的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 求B71510(|),(|)().PAPA及21.某人有 5 把钥匙,其中两把可以打开门,从中随机取一把试开房门,求第三次才打开门的概率.22. 一猎人用猎枪向一野兔射击,第一枪距离野兔 200m 远，如果未击中，他追到离野兔 150m 处第二次射击，如果仍
6、未击中，他追到距离野兔 100m 处进行第三次射击，此时击中的概率为 .如果这个猎人射击的命中率与他到野兔的距离的平方成反比 ,求猎12人击中野兔的概率.23.已知某种疾病的发病率为 0.1%, 该种疾病患者一个月以内的死亡率为 90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为 0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？24. 将两信息分别编码为 A和 B传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B的概率为0.02，而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与 B传递的频繁程度为 21.若接收站收到的信息是
7、 A，试问原发信息是 A的概率是多少？25. 商店论箱出售玻璃杯，每箱 20 只，其中每箱含 0，1，2 只次品的概率分别为 0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？26设一箱产品共 100 件，其中次品个数从 0 到 2 是等可能的开箱检验时，从中随机抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收4（1 ）求该箱产品通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率27某保险公司把被保险人分为 3 类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，上述 3 种人在
8、一年内发生事故的概率依次为 0.05、0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保的人占 20%，“一般的”占 50%，“冒失的”占 30%.(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。（1） 现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？28. 甲、乙、丙 3 人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.29.电路由电池 与两个并联的电池 、 串联而成,设电池 、 、 损坏的概率分ABCABC别是 0.3、0.2
9、、0.2 ，求电路发生断电的概率 .30.三人独立地破译一份密码,已知每人能破译的概率分别是 ,求密码能被破译的1534、 、概率.31.某类灯泡试用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2,求 3 个灯泡在使用 1000 小时以后:(1)都没有坏的概率.(2)坏了一个的概率.(3)最多只有一个坏了得概率.32. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占 60 ，其余的需重新调试经重新调试的产品中有 80 经检验合格，而 20 会被判定为不合格产品而不能出厂现该厂生产了 200 台仪器，求下列事件的概率：（1 ） 全部仪器都能出厂；（2 ） 恰有 10 台不合格.533.甲乙两人投篮命中率分别为
10、0.7 和 0.8,每人投篮 3 次,求(1)两人进球数相等的概率.(2)甲比乙进球数多的概率.34.假设每个人的生日在任何月份都是等可能的,已知某单位中至少有一人的生日在一月份的概率不小于 0.96,问这个单位有多少人?35某自动化机器发生故障的概率为 0.2，如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每 8 台机器配备一个维修工人，试求：(1) 维修工人无故障可修的概率；（2 ）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障则待维修. 如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于
11、3%36*.巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少（ r=1,2,3，N ）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又是多少？习题二1. 设随机变量 的分布律为 .X,12,98akPX(1) 求常数 ; (2)求概率 ;(3)求概率 .a14或 7-2PX2. 设随机变量 的分布律为 ,求 c 的值.X,1ckk3. 盒中有 5 只球,分别编号为 1、2 、3、4、5 号.在从盒中同时取出 3 只球, 用 表示取X出的 3 只球中最大的编号 ,写出 的
12、分布律.X64. 抛一枚硬币,直到出现正面为止,求抛的次数的分布律. 5 .一批零件中有 9 个正品和 3 个次品,现从中任取一个,.如果每次取出的是次品,则不再放回,再取下一个,直到取到正品为止,求在取到正品以前已取得出的次品数的分布律.6. 10 门炮同时向敌舰各射击一发炮弹,当有不少于两发炮弹击中时,敌舰将被击沉, 设每门炮射击一发炮弹的命中率为 0.6,求敌舰被击沉的概率 .7.某街道有 10 部公用电话,调查表明在任一时刻每部电话被使用的概率为 0.85,求在同一时刻(1)被使用的电话部数 的分布律;X(2)至少有 8 部电话被使用的概率;(3)至少有一部电话未被使用的概率;(4)为
13、保证至少有一部电话不被使用的概率不小于 90%,应再安装多少部公用电话?8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1 ） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数 服从参数为 4 的泊松分布, 求X(1)每分钟恰有 3 次呼唤的概率;(2)每分钟呼唤次数大雨 的概率 .10. 某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000册书中恰有 5 册错误的概率 .11. 有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，
14、每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1 ） 保险公司亏本的概率;7（2） 保险公司获利不少于 10000 元的概率. 13.某射手射击一个固定目标,每次命中率为 0.3,每命中一次记 2 分,否则扣 1 分, 求两次射击后该射手得分总数的分布函数.14.已知随机变量 的分布函数为 求 的分布律.X0,.81,xFX15. 已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae|x|, x+,求：（1）A 值；（2）P0X1; (3) F(x).16.已知随机变量 X 的密度函数为 ,求2,01)f其 他(1) ,(2) ,分布
15、函数 .0.50.5x17. 连续型随机变量 的分布函数为X,1()ln,axFbcde（1）试确定常数 a,b,c,d 的值（2） .2ePX1ln18. 在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.19.某条线路的公共汽车每隔 15min 发一班车，某人来到车站的时间是随机的，问此人在车站至少要等 6min 才能上车的概率是多少？20. .设随机变量在(0,5) 上服从均匀分布 ,求关于 的一元二次方程x有实根的概率.24+20xX21. 某类节能灯管的使用寿命(单位:h) 服从参数为 的指数分布
16、，任取一根X120灯管，求8（1 ）能正常使用 1000h 以上的概率； （2 ）正常使用 1000h 后还能使用 1000h 以上的概率. 22.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客1()5E在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求 PY1.23. 设 XN（3 ，2 2），（1 ） 求 P2X5， P4X10， P X2， PX3;（2） 确定 c 使 PXc=PXc.24. 已知 , 求 .2:40.3025.设测量两地间的距离带有随机误差 ，其概率密
17、度函数为2301,4xfxe试求（1）测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2）接连测量 3 次，每次测量相互独立进行，求至少有一次绝对误差不超过 30 的概率. 26.某城市男子身高 ,1706XN:(1)问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于 0.01; (2)若车门高为 182cm,求 100 个男子中与车门碰头的人数不多于 2 个的概率.27. .设随机变量 X 的分布律为X 2 1 0 1 3Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求 Y=X2 的分布律 .28. 设随机变量 ,求 的分布律.134B:1YX29. 设随机变量 的分布律为 求 的分布律.
18、,0,2kP sin2YX930.设 ,求 的概率密度. 01XN:XYe31.随机变量 的概率密度为 ,求 概率密度函数,fx3YX32.测量球的直径,设直径服从 上的均匀分布,求球体积的概率密度. ab习题三1. 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，在其中任取 4 个球，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.2. 将一颗骰子连掷两次，令 为第一次掷出的点数， 为两次掷出的最大点数，求Y的联合分布律和边缘分布律.(,)X3.设二维随机变量 的联合分布函数为(,)F（x ，y）= .,020,sin他yxyx求二维随机变量（X，Y）在
19、长方形域 内的概率.36,44. 设 的联合密度为(,) 20(,)0xyAefxy， ， 其 它（1 ） 求常数 ；（2） 求 的分布函数；A(,)XY（3 ） 求 与 102P， 21PY5.设随机变量 的概率密度为(,)XYf（ x， y）= .,0,42,),6(他yxyxk（1 ） 确定常数 k；10（2 ） 求 PX1， Y3 ；（3 ） 求 PX1.5；（4） 求 PX+Y4.6.设 X和 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，0.2）上服从均匀分布， Y 的密度函数为fY（ y）= .,0,5他ye求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） PY X.7.设二维随机变量（ X， Y）的联合分布函数为F（ x， y）= .,0,0),1(24他yxyxe求（X，Y）的联合分布密度.8.设二维随机变量 的概率密度为(,)Yf（ x， y）= 4.8(2),01, .xyx其 他求边缘概率密度.9. 设 的联合密度为(,)XY24(1)01(,)0yxyxfx， ， ， 其 它求边缘概率密度. 10. 设二维随机变量 的联合密度函数为(,)XY0(,)yexyfx， 其 它（1 ） 求随机变量 的密度函数 ；X()Xf
