1、1习题 1 解答1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. “出现奇数点” ；A（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. “两次点数之和为 10”， “第一次B的点数，比第二次的点数大 2”；（3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1，2，3，4，5；从中同时取出 3 只球，观察其结果， “球的最小号码为 1”；A（4）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， “通过汽车不足 5 台” ，A“通过的汽车不少于 3 台”.B解 （1） 其中 “出现 点” ，12456,ii1,26.3A（2） (,),()1,(5),612242)(3,),
2、(3),(,345)6(5,1)2,(),4,(,；663)；(4,),(,)A.31254B（3） ,3,(1,),45(1,2),5()(1,23,4,25,)(,3,)A（4） .00134AB 2设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：,BCE,AC（1）仅 发生；（2） 中至少有两个发生；,A（3） 中不多于两个发生；（4） 中恰有两个发生；,BC（5） 中至多有一个发生.解 （1） A2（2） 或 ；ABCABCAB（3） 或 ；CAB（4） ；（5） 或 ；3一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试用 表示下列(1,23)iAi i事件：（1）没有一件产品是次
3、品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品.解 （1） ；（2） ；（3） ；（4）3A12123123123AA.24在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率.解 设 “任取一电话号码后四个数字全不相同” ，则41026().504PA5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率.解 （1）设 “5 只全是好的” ，则 ；A53740().62CPA:（2）设“5 只中有两只坏的” ，则 .237540()B6袋中有编号为 1 到 10 的 10 个
4、球，今从袋中任取 3 个球，求（1）3 个球的最小号码为5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设 “最小号码为 5”，则 ；A25310()CPA（2）设 “最大号码为 5”，则 .B24310()B7求下列事件的概率：（1） 一枚骰子连掷 4 次，至少出现一个 6 点；（2）两枚骰子连掷 24 次，至少出现一对 6 点. 这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德梅尔问题)，当年德梅尔认为这两个事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.为此他3迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一下两个事件的概率：设 =“一枚
5、骰子连掷 4 次，至少出现一个 6 点” ，1A=“两枚骰子连掷 24 次，至少出现一对 6 点”2则 ，44165()10.57P2424353()10.916PA8 （1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；r（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设 “他们的生日都不相同” ，则 ；A365()rPA（2）设 “至少有两个人的生日在同一个月” ，则B；2123214414() 96CPC或 .24()9从 6 双不同的鞋子中任取 4 只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双的概率解 分析：先从 6 双中取出一双，两只全取；再从剩下的 5
6、 双中任取两双，每双中取到一只，则中所含样本点数为 ，所以所求概率 P / 125216C125216C436设 B 表示“至少有两只鞋子配成一双” ，则：1 /C ，或 C )()(P12.46437/2612516417注：不能把有利事件数取为 ，否则会出现重复事件这是因为，若鞋子标有0号码 1，2，6 时， 可能取中第 号鞋，此时 可能取中 号一双，此时成为两双16Ci210Cj的配对为 ；但也存在配对 ， 与 是一种，出现了重复事件，即多出了),(ji ),(j,j),(i个事件26C10设事件 与 互不相容， ，求 与AB()0.4,().3PAB()PAB()解 ()1(1P因为
7、不相容，所以 ，于是,()(0.611若 且 ，求 .()()(4解 ()1()1()()PABPAB由 得 1p12对任意三事件 ，试证 .,C()()()(CPA证明 ()(). 证毕.PAB()(B13随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概20yax率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率.x/4解 半圆域如图设 “原点与该点连线与 轴夹角小于 ”Ax/由几何概率的定义214()aP的 面 积半 园 的 面 积 114把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.a解 1 设 “三段可构成三角形” ，又三段的长分别为 ，则A,xyay
8、，不等式构成平面域 .0,0xyxyaS发生A0,22xa不等式确定 的子域 ，所以A1()4PS的 面 积的 面 积解 2 设三段长分别为 ，则 且,xyz0,0xayza，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .aS发生Axzy不等式确定 的子域 ，所以SA.1()4PA的 面 积的 面 积15随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 与 之和不超过xy xy1，积不小于 0.09 的概率.解 ，不等式确定平面域 .0,1xS0yxyxa/4xS0a/2a/2aaAxzyA5“ ”则 发生的A1,0.9xyA充要条件为 不,.0xy等式确定了 的子域 ，故S0.91.()
9、()PAdx的 面 积的 面 积0.418ln3.216假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30% ，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设 “任取一件是 等品” ，iAi1,23i所求概率为 ，313()(|)PA因为 32所以 12()()0.63.9PA13故 .6(|)917设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设 “所取两件中有一件是不合格品”A“所取两件中恰有 件不合格” iBi1,2.i则 12，1246420()()CPAB所求概率为 .1246|()5PA18袋中有
10、 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设 “发现是同一颜色” ， “全是白色” ， “全是黑色” ，则 ，ABCABC所求概率为 36135/()()2(|)PAC19设 求 与 .)0.5,.6,|0.8P()PAB()1yy1y0.90.10yASxy6解 ()()(1.()|1.04.7PABPABPBA.064220甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.解 设 “从乙袋中取出的是白球” ， “从甲袋中取出的两球恰有 个白球”Ai
11、Bi.0,12i由全概率公式001122()(|)(|)(|)PBAPAPBA.12232355546C21已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设 “任取一产品，经检查是合格品” ，A“任取一产品确是合格品” ，B则 ()(|)(|)PBPA，0.968.045.928所求概率为 .|60(|) 9()4A22玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客
12、开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 .解 设 “顾客买下该箱” ，A“箱中恰有 件残次品 ”， ，Bi0,12i（1） 0 122()(|)(|)(|)PBAPBAPBA；4419182020.8.9C（2） .0()(|)5.PA23某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所7占的份额依次为：60%，20%，10%，10% ，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为 1%，2% ，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关
13、费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.解 用 （ ）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设 “产品被退iA1,234 B货”则 ， ， ， ， ，1()0.6P2()0.A3()0.1P4()0.1A1()0.PA， ，2B3B4.2B(1)由全概率公式, 41()()0.61.0.103.02.15iiiPAP(2) 由贝叶斯公式, 1111()(0.61() 5PABPAB2222()( .24() 3333 0.13()5PABPAB4444).2() 以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所
14、占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例 6:4:3:2 由四个厂家分摊相关费用.24甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设 “目标被击中” ， “第 个人击中” AiBi1,2i所求概率为 111 212()()()(|)PAPB.0.654825设 ，证明 、 互不相容与 、 相互独立不能同时成立.()0,()PABABAB证明 若 、 互不相容，则 ，于是()0()0PP所以 、 不相互独立 .若 、 相互独立，则 ，于是 ，()()即 、 不是互不相容的 .AB
15、注：从上面的证明可得到如下结论：1）若 、 互不相容，则 、 又是相互独立的 或 .AB()0PA()B2）因 ，所以()(P如果 ，则 ，从而()1PB0)()可见概率是 1 的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果 ，则 ，即概率是零的事件与任意事件独立，()0()()AB自然，不可能事件与任何事件独立.26证明若三事件 相互独立，则 及 都与 独立.,BCAC证明 ()()()()()PAPPBB()()C即 与 独立.ABC()()()()(PABPPABC)(BP即 与 相互独立 . 27某个公司招聘员工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案：方案一：考试三门课程，至
16、少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为考试通过.若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为 ，且三门课程之间及格与否互不影,abc响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2） 哪种方案对应聘者更有利？为什么？解 设 “考生参加第 门考试且及格” ， “第 个方案通过” ，则iAijBi1123123123123()()()()PBPAAPabcbacb92121323()()()()3PBAPA1()abc由于 ，所以,0,abc12()()(1)()(1)03abcccacb因此方案一比方案二更容易通过.28图中 1，2，3，4，5 表示继电器接
17、点，假设每一继电器接点闭合的概率均为 ，且设p各继电器闭合与否相互独立，求 至 是通路的概率.LR解 设 “ 是通路” ， “第 个接点闭合” ，则ALRiBi1,2345i124513543223451234()()()()()PPBPB124512351 5342345()()()B12451235 .pp29一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射手的命中率.解 设该射手的命中率为 ，由题意p， ，4801()41()83p所以 .2330设一批晶体管的次品率为 0.01，今从这批晶体管中抽取 4 个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率.解 .1
18、344()0.)(908PC.22.531设在伯努里试验中，成功的概率为 ，求第 次试验时得到第 次成功的概率.pnr解 设 “第 次试验时得到第 次成功” ，则Anr“前 次试验，成功 次，第 次试验出现成功” ，11L14 532R10所以 （前 次试验，成功 次） （第 次试验成功）()PA1n1rPn.()()rnrrnCppCp32设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了 台(2)n仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率 ；（2）
19、其中恰有两台不能出厂的概率 ；（3）其中至少有两台不能出厂的概率 .解 设 “任取一台可以出厂” ， “可直接出厂” ， “需进一步调试”.ABC则 ，BC()(|)(|)0.73.8094PPAp将 台仪器看作 重伯努里试验，成功的概率为 ，于是n p（1） ，(0.94)n（2） ，226(.)nC（3） .1.0(94)n习题 2 解答1试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.10,()sin2,.xFxx20,0,()ln(1),.xFx解 是； 不是，因为 .1()x2()2()01F2设随机变量 的分布函数为X,114(),.xFxabx且 ，试求：（ 1）常数 的值；（2） .(1)2PX,(21)PX解 (1) 由于 ，即()(limxF
