1、1物理学 10 章习题解答10-3 两个相同的小球质量都是 m，并带有等量同号电荷 q，各用长为 l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图 10-9 所示的位置。如果 角很小，试证明两个小球的间距 x 可近似地表示为.解 小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力 mg、绳子的张力 t 和库仑力 f。于是可以列出下面的方程式,(1),(2)(3)因为 角很小，所以, .利用这个近似关系可以得到,(4). (5)将式(5)代入式 (4)，得,由上式可以解得.得证。10-4 在上题中， 如果 l = 120 cm，m = 0.010 kg， x = 5.0 cm，问每个小
2、球所带的电量 q 为多大？解 在上题的结果中，将 q 解出，再将已知数据代入，可得图 10-92.10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是 r0 = 5.291011m。质子的质量 m = 1.671027kg，电子的质量 m = 9.111031kg，它们的电量为 e =1.601019c。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解 (1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上
3、式解出电子绕核运动的速率，为.10-6 边长为 a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷 q。(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为. (2) f 的方向如何？解 立方体每个顶角上放一个电荷 q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如 b 角上的 qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即图 10-103.首先让我们来计算 的大小。由图 10-10 可见， 、 和 对 的作用力不产生 x 方向的分量；对 的作用力 f1 的大小为,f1 的方向与 x 轴的夹角为 45。对 的作用力 f2 的大小为,f2 的方向与 x 轴的夹角为 0。对 的作用力 f3 的大小为,f
4、3 的方向与 x 轴的夹角为 45。对 的作用力 f4 的大小为,f4 的方向与 x 轴的夹角为 ， 。于是.所受合力的大小为.(2) f 的方向：f 与 x 轴、y 轴和 z 轴的夹角分别为 、 和 ，并且,.410-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。解 根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了 29 个质子，而每个质子的电量为 1.6021019 c，所以铜球所带的正电荷为.10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度 e，我们就把一个带正电的试探电荷 q0 引入该
5、点，测定 f/q0。问 f/q0 是小于、等于还是大于该点的电场强度 e？解 这样测得的 f / q0 是小于该点的电场强度 e 的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0 受力 f 减小了。10-9 根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离 r 接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解 当 r 0 时，带电体 q 就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。10-10 离点电荷 50 cm 处的电场强度的大小为 2.0 nc1 。求此点电荷的电量。解 由于
6、,所以有.10-11 有两个点电荷，电量分别为 5.0107c 和 2.8108c，相距 15 cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。5解 已知 = 5.0107c、 = 2.8108c，它们相距 r = 15 cm ，如图 10-11 所示。(1) 在点 b 产生的电场强度的大小为,方向沿从 a 到 b 的延长线方向。在点 a 产生的电场强度的大小为,方向沿从 b 到 a 的延长线方向。(2) 对 的作用力的大小为,方向沿从 b 到 a 的延长线方向。对 的作用力的大小为.方向沿从 a 到 b 的延长线方向。10-12 求由相距 l 的 q 电荷所
7、组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为 r 处，并且 r l；(2)轴的中垂面上距轴心为 r 处，并且 r l。解 (1)在轴的延长线上任取一点 p，如图 10-12 所示，该点距轴心的距离为 r。p 点的电场强度为.在 r l 的条件下，上式可以简化为图 10-11图 10-126.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点 p 的电场强度可以表示为.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点 q，如图 10-13 所示，该点距轴心的距离为 r。q 点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点 q 的电场强度的大小和方向同时表示出来：.10-13 有一均匀带电
8、的细棒，长度为 l，所带总电量为 q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 al；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 al。解 (1)以棒中心为坐标原点建立如图 10-14 所示的坐标系。在 x 轴上到 o 点距离为 a 处取一点 p，在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为 dx ，该棒元到点 p 的距离为a x，它在 p 点产生的电场强度为.整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为图 10-13 图 10-147,方向沿 x 轴方向。(2)坐标系如图 10-15 所示。在细棒中垂线( 即 y 轴)上到 o点距离为 a 处取一点 p，由于对称性，
9、整个细棒在 p 点产生的电场强度只具有 y 分量 ey。所以只需计算 ey 就够了。仍然在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为 dx，它在 p 点产生电场强度的 y 分量为.整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为,方向沿 x 轴方向。10-14 一个半径为 r 的圆环均匀带电，线电荷密度为 。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距 a 的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图 10-16 所示的坐标系。在 x 轴上取一点 p，p 点到盘心的距离为 a。在环上取元段 dl，元段所带电量为 dq = dl，在 p 点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在 p 点产生的电场强度只具有 x
10、 分量 ex。所以只需计算 ex 就够了。所以.10-15 一个半径为 r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为 。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距 a 的一点的电场强度。图 10-15图 10-168解 取盘心为坐标原点建立如图 10-17所示的坐标系。在 x 轴上取一点 p，p 点到盘心的距离为 a。为计算整个圆盘在 p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为 dr 的圆环，该圆环在 p 点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即,的方向沿 x 轴方向。整个圆盘在 p 点产生的电场强度，可对上式积分求得.10-16 一个半径为 R 的半球面均匀带电，面电荷密度为 。求球心的电场强度。解 以球心
11、 o 为坐标原点，建立如图 10-18 所示的坐标系。在球面上取宽度为 dl 的圆环，圆环的半径为 r。显然,圆环所带的电量为.根据题 10-14 的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿 x 轴的反方向。由图中可见， , , 将这些关系代入上式，得.所以,e 的方向沿 x 轴的反方向。10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面 s 内的电荷，其量用q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e，另一类是处于高斯面 s 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e ， 显 然 高 斯 面 上 任 一 点 的 电 场 强 度 e = e + e。试证明：图 10-17
12、图 10-189(1) ；(2) 。解 高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面 s 的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以 0，而与 s 以外的电荷无关。”可见，高斯面 s 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为. (1)所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得. (2)10-20 一个半径为 r 的球面均匀带电，面电荷密度为。求球面内、外任意一点的电场强度。解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，
13、可以用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为 r1，以 r1 为半径作带电球面的同心球面 s1，如图 10-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为 r2，以 r2 为半径作带电球面的同心球面 s2，如图 10-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得图 10-1910,即.由此解得,e2 的方向沿径向向外。10-21 一个半径为 R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为 。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为 r1、长度为 l 的同轴柱面 s1(见图 10-20)作为高斯面并运用高斯定理.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为 r2、长度为 l 的同轴柱面 s2，如图 10-20 所示。在 s2 上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,图 10-20
