1、电大微积分初步考试小抄一、填空题函数 的定义域是xf51)(（，5）5 0 5 1 xsinlm，x 01x时 ，已知 ，则 = xf2)()(f2ln）（若 ，则cFdfd)3C)3(21微分方程 的阶数是 三阶 yxyxesin)(4 y6.函数 的定义域是（-2，-1）U（-)2l(1)f1，) 12-1ln)2(lx0n2 xx ， 1- |且7. 2 xsilm0sinli0xx 21:2sinlm0x8.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = y-6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6
2、x=x4-6x3+11x2-6x , 6184y3x（把 0 带入 X）,6)0(9. xde22或)()(ff）（ dxfxf)()(10.微分方程 的特解为 y=e x . 10,yydx yd1两 边 积 分又 y(0)=1 (x=0 , y=1)ecln010c，11.函数 的定义域是24)l()xxf2,-， 12ln)l(-0)(ln4xx 12.若函数 ,在 处连续，0,3sin)(kf x则 1 k( 在 处连续) )(lim00fxff0f)（无穷小13sinlim)13sin(li xxx量 x 有界函数）13.曲线 在点 处的切线方程是y),(21， xy21y21切k|
3、 21)1(2xx方 程14. sin x+csd)in(15.微分方程 的阶数为 三阶 yysin45316.函数 的定义域是（2,3）)2l()xfU（3，） 3x2|12)ln(0)ln(且 xx17. 1/2 silm18.已知 ，则 = 27+27ln3 xf)(3)(fln2xf 3ln2719. = ex2+c d20.微分方程 的阶数为 四阶 xyxysi4)(7)(3二、单项选择题设函数 ，则该函数是（偶函数）2函数所 以 是 偶 函 数)(e)(xfxf的间断点是（ ）分母2322,1x无意义的点是间断点 03下列结论中（ 在 处不连续，则一定在)(xf处不可导）正确可导必
4、连续，伹连续并一定可导；0x极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式 ，则 （ cxf11ed)( )(xf）21x)()1()(,u),()()( 11 xexeyfFCf uxx， 令2212)()(xfxefu下列微分方程中，（ ）是线性微ysin分方程 6.设函数 ，则该函数是（奇函数）2exy7.当 （2 ）时，函数 在k0,2)(xkf处连续.0x8.下列函数在指定区间 上单调减少的是（(,)） 39.以下等式正确的是（ ）3lndxx10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）yxd11.设 ，则 （ ）1)(2f )(xf)2(12.若函数 f (x)在点 x0
5、处可导，则(，但 )是错误的 Axf)(lim0(0xf13.函数 在区间 是（先减后增） 21y,14. ( ）fd)cff)(15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）yx16.下列函数中为奇函数是（ ）)1ln(2x17.当 （ ）时，函数 在k20,e)kf处连续.0x18.函数 在区间 是（先单调下降再单12y)2,(调上升） 19.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ y = x2 + 3）20.微分方程 的特解为（ ）)0(, xye三、计算题计算极限 423lim2x解: 41)(li)(1li22 x）设 ，求 .yxeyd解： x23212-
6、x1，u= -2xu(-2x)=e u（-2）)(1ey= -2e-2xy= -2e -2x+ x213dy=(-2e -2x+ )dx计算不定积分 xdsin解：令 u= ,u=21x21 du 2du= =2(-cos)+csinusin= -2cos cx计算定积分 xde210u=x，v=e x,v= ex vdx=uv10uvu-10|1)(01|exddxx原式=25.计算极限 952lim3x34li)(lix6.设 ，求ycosnyd解： xxcoslnl221y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx xucosi)sin(1ly1= xcosin23dy=( )dx17
7、.计算不定积分 xd)2(9解： 9令 u=1-2x , u= -2 duu21ccddxu20192)(10998.计算定积分 xde0解：u=x, xv， )()(1010|xddxx= 1|ex9.计算极限 4586lim24x321li)(1li4xx10.设 ，求yxsnydy1=sin3x y1=sinu , u=3x , co3iu ）（）（y=2 xln2+3cos3x dy=(2 xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 dsu=x , v=cosx , v=sinxdcoscxxd)os(sinsico12.计算定积分 dl51e令 u=lnx, u= , eeeed
8、xxxd11e11ln5lln| x1du= dx , 1xe 0lnx1x 21ln|0101 ude原式=1+5 =2713.计算极限 63limxx解： 51li)(1li22 x14.设 ，求xyey解： x12( ) , , , x1u1)eeyxuu 2121(exex121x1x2x2)()y15.计算不定积分 d10解： u=2x-1 , =2 du=2dx10 cduux1221010)(）（ 116.计算定积分 0ex解： u=x , , dx10 xvex)(10|ex四、应用题（本题 16 分）用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖3m水箱，已知钢板每平方米 10
9、 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为 x，高为 h,表面积为 s，且有 h=x24所以 S(x)=x2+4xh=x2+16xS2令 （x）=0，得 x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1 时水箱的表面积最小。此时的费用为 S（2）10+40=160 元欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为 x，S=216 另一边长为 216/x总材料 y=2x+3216/x=2x + 648y=2+648(
10、x -1)=2+648(-1)=2 - x2648y=0 得 2 = x 2=324 x=18一边长为 18，一边长为 12 时，用料最省.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为 a 底面积为 a2a2h=v=32 h= 3表面积为 a2+4ah= a2+4a = a2+18y= a2+ , y=2a+128( - )=2a-182y=0 得 2a= a 3=64 a=42底面边长为 4， h= =216设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为 x ，另一
11、边为 60-x以 AD 为轴转一周得圆柱，底面半径 x，高 60-xV= 32260)(xxv223103602得： 4矩形一边长为 40 ，另一边长为 20 时，V max作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1.函数 )ln(1xf的定义域是 答案：,3),22函数 f5的定义域是 答案：),(3.函数 24)ln(1)xxf的定义域是 答案： 2,()1, 4.函数 7(xf，则 f 答案：625函数 0e)2xf，则 )( 答案： 2 6函数 1(，则 xf 答案： 2x7函数 32xy的间断点是 答案： 8. x1sinlm 答案： 1 9若 2i40k
12、，则 答案： 2 10若 3snl0x，则 k 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数 exy，则该函数是（ ） 答案：BA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数 xsin2，则该函数是（ ） 答案：AA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数 )(f的图形是关于（ ）对称答案：DA xy B 轴 C y轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（ C ） A sin B xl C )1ln(2x D 2 5函数 )5l(41y的定义域为（ ） 答案：DA x B x C 5x且 0 D 且 6函数 )1ln()xf的定义域是（ ）
13、 答案：DA ,1( B ),1(),0 C 20D 2(, 7设 )2f，则 f（ ）答案：CA (x B x C )x D18下列各函数对中， （ ）中的两个函数相等答案：DA 2)(f， g( B 2)(f，xg)(C ln， xln D 3lnx39当 0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A x B xsi C )1l( D210当 k（ ）时，函数 0,)(2xkf，在0x处连续 . 答案：BA0 B1 C D 1 11当 k（ ）时，函数 0,2)(xkexfx在处连续 答案：DA0 B1 C 2 D 3 12函数 3)(xf的间断点是（ ）答案：AA ,x B C2D无
14、间断点三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限 423lim2x 解 412lim)(1lili22 xxxx2计算极限 651x 解 2716li)(lilim121 xxxx3. 39x 解：原式 233lilim.11xx4计算极限 4586lim24x 解 321lim)(42li586lim424 xxxxx5计算极限 62 解 234li)2(3li86li22 xxxxx6.计算极限 x1lim0 解 )1(1li0 xxx 2li)(0xx7计算极限 x4sin1lm0 解 0 01li li .8sx xx8计算极限 24sinlm0x解 0 0i 42l li16
15、.x x一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1曲线 1)(xf在 ),(点的斜率是 答案：2曲线 xfe)(在 ),0(点的切线方程是 答案： 1y 3曲线 21xy在点 ),(处的切线方程是 答案： 3 4 )(x 答案： x2ln或1ln25若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 y(0) = 答案：66已知 f3)，则 )(f= 答案：ln1(277已知 xl，则 = 答案：2x8若 xfe)(，则 )0(f 答案：9函数 y312的单调增加区间是 答案：),(10函数 (axf在区间 ),0(内单调增加，则a 应满足 答案： 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24
16、分）1函数 )1(y在区间 ),(是（ ） 答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程 0xf的点一定是函数 )(xfy的（ ）答案：C.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若 fxcose)(，则 )(f=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设 ylg，则 dy（ ） 答案：B A x B xln0 C ln0xd D1dx5设 )(fy是可微函数，则 )2(cosdxf（ ） 答案：D A x)2cos Bfin2cosC xdin D ( 6曲线 1exy在 处切线的斜率是（ ） 答案：C A 4 B 2 C 4e D 27若 fcos
17、)(，则 )(xf（ ） 答案：C A xins BxcoC xcossin Di28若 3i)(af，其中 是常数，则 )(f（ ） 答案 C A 2csx B x6si C xsin D o 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A)(f在 0处连续，则一定在 0处可微. B )(f在x处不连续，则一定在 x处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若 x在 a，b内恒有 )(f，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则 ( )是错误的 答案：B A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B Afx)(lim0，但0C函数 f (x)在点 x
18、0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 11下列函数在指定区间 ,上单调增加的是（ ） 答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax 0 是 f (x)的极值点，且 f(x0)存在，则必有 f(x0) = 0 B x0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x)的驻点C若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 D使 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）1 设 xy12e，求 y 解 )1(2)1(2)()( 21 xexexxx xxee12或 122xye2设
19、 x3cos4sin，求 y.解 ins3设 yx1e，求 . 解 212e)1()( xxxx 4设 ycosln，求 y. 解 xcosin3)()(或 3ita2cos2x5设 )(y是由方程 4y确定的隐函数，求 d.解 对方程两边同时对 x 求微分，得022xdyydx6设 )(是由方程 12x确定的隐函数，求 y. 解原方程可化为 21xy， 1,xy,dyx7设 )(是由方程 4e2yx确定的隐函数，求 d.解：方程两边同时对 求微分，得 0yyedxyxdx2ye.8设 1)cos(y，求 解：方程两边同时对 x求微分，得in0desinydxy一、填空题（每小题 2 分，共
20、20 分）1若 )(f的一个原函数为 2lnx，则 )(f 。 答案： （ c 为任意常数）或 lxc 2若 )(f的一个原函数为 x2e，则 )(f 。 答案： xe21 或 4 3若 cfd，则 f 答案：xe或 x4若 f2sin)(，则 )(xf 答案： co2 或 c 5若 xfld，则 f 答案： x1 6若 cxf2os)(，则 )(xf 答案： xcon24 7 dedxe2答案： dxe28 )(si 答案： csin 9若 cFxf)(，则 f)3( 答案： 321 10若 f)(d)(，则 xfd)1(2 答案： cxF122二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）
21、1下列等式成立的是（ ） 答案：AA )(d)(xffx B )(fC )(d)(xff D )(f3若 cxf2ed，则 )(xf（ ）. 答案：AA. )1(e2x B. C. x2e D. 4若 )0(xf，则 fd)(（ ）. 答案：A A. cx B. cx2 C. 23D. 315以下计算正确的是（ ） 答案：AA 3lndxxB )1(d22x C xd D )1d(lnx 6 f)(（ ）答案：AA. c B. cf)( C. xf)(21 D. x1( 7 ad=（ ） 答案：C A x B axdln2 C 2 D c 8如果等式 fxx11e)(，则 )(xf（） 答案
22、BA. x1 B. 2 C. D. 2三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1 xdsin3 解 cxxx os32ln)si3(或 3sinlcdx2 )1(0 解 11222x xc3 dsin2 解 cxxx1os)(si1i24 din111cos2sco2csin24xdxxdxc5 e 解 xxx xeee 四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形 ABCD的一边 x厘米，则60BCx厘米，当它沿直线 旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令
23、x 得 20x当 0,x时， V；当 ,时， V.2是函数 的极大值点，也是最大值点.此时 64答：当矩形的边长分别为 20 厘米和 40 厘米时，才能使圆柱体的体积最大.)(3201602)0(2 立 方 厘 米V2欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为 x米，则长为 x米，于是围墙的长度为 432,0L令 2430Lx得 1取 正易知，当 时， 取得唯一的极小值即最小值，此时 168x答：这块土地的长和宽分别为 18 米和 12 米时，才能使所用的建筑材料最省
24、.五、证明题（本题 5 分）1 函数 xef)(在（ )0,是单调增加的1 0, ,0.xxxfe证 ： 当 时当 时从 而 函 数 在 区 间 是 单 调 增 加 的一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 ._d)cos(inx答案： 322 .45x答案： 或2 3已知曲线 )(fy在任意点 处切线的斜率为 x，且曲线过 5,4(，则该曲线的方程是 。答案：x或3216x4若 d)(13 答案：2 或 45由定积分的几何意义知， xad02= 。答案： 24a6 e1d)ln(dxx . 答案：0702= 答案： 21 8微分方程 )0(,y的特解为 . 答案：1或 xye9微分方程
25、 03y的通解为 . 答案：xe3或 xc10微分方程 xysin4)(7)( 的阶数为 答案：2 或 4二、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） 答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C 2xy D2若 10d)(k= 2，则 k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 21 3下列定积分中积分值为 0 的是（ ） 答案：A A xxd2e1 B xxde1 C )cos(3 D )sin(2 4设 xf是连续的奇函数，则定积分 axf-（ ） 答案：D5 dsin2-（ ） 答案：DA0 B
26、C 2 D 26下列无穷积分收敛的是（ ） 答案：BA 0dexB 0dexC1D 1 7下列无穷积分收敛的是（ ） 答案：BA 0dinxsB 02dexC 1dxD 1dx8下列微分方程中， （ ）是线性微分方程答案：D A yyln2 B xye2C xe Dlsi9微分方程 0的通解为（ ） 答案：C A xy B xy C y D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ） 答案：BA. yx； B. yxd； C. sin； D. )(x三、计算题（每小题 7 分，共 56 分）1 xxd)e(22ln0解 2ln03x2ln0l )1()e()1(xxx 9)(3)()1(333
27、2ln e或 l ln200 11xxxdee2 5e1解 217lnl5ln10exxx3 exd10解 利用分部积分法 vdxudxvu111000 1xeeee4 2sinx0 0cocs4in2xd5 2sinx220 00coscossin1dxdx6求微分方程 1xy满足初始条件 47)(y的特解 21,PxQ112lnln342 1 PxdPxdxxxxyeeceedcxc通 解即通解 31yx7求微分方程 x2sin的通解。 1,2sinPxQxx11lnln 2si 1si co2PdPdx xx xyeeceedcxx通 解即通解为 sy.四、证明题（本题 4 分）证明等式
28、 aa xffxf0)()(dd。0000 aaaaaffxdxdff证 ： 左 边 右 边微积分初步一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）函数 的定义域是 xf51)()5,( 1 xsinlm已知 ，则 = f2)()(f2lnx若 ，则 cFdd3cF)(1微分方程 的阶数是 3 yxyesi4函数 的定义域是)2ln(1xf ),1(,2 2 xsilm0 de2x微分方程 的特解为 .1)0(,yxye函数 ，则 f(2)(f12曲线 在点 处的切线方程是 x, 若 ，则 cfsind)xfin4s微分方程 的阶数为 5 yyo4(7)5(3函数 的定义域是 21xf)2,若
29、 siCcs6. 函数 ，则 x2 -2 )(f )(f7 . 若函数 ,在 处连续，则 1 0,13inxkk8. 曲线 在点 处的切线斜率是 xy)(29. d2cos(in1310. 微分方程 的阶数为 5 xysin4)65）（6. 函数 ，则 x2 + 1 xf )(f9. sinx + csi(函数 的定义域 是 )2ln(1f ,函数 的间断 点是 3xy1x曲线 在 点的斜率是 )(f),0(2若 ，则 = c2osdfcos4微分方程 的阶 数是 2 3yx函数 ，则 f)1()(x1函数 在 处连续，则 =20,2sinkk 4 xd)253(1微分方程 的阶数是 2 0s
30、in(3y3函数 的定义域是)lf 2,1(),4函数 ， 则 712x(xf625函数 ，则 0e(f2 )06. 函数 ，则 xf2)(f127函数 的间断点 是13y9若 ，则 2 sin4lm0kx10若 ，则1曲线 在 点的斜率是1)(f),(21)(fk2曲线 在 点的切线方程是xe0xy3曲线 在点 处的切线方程是 即：2y),( )(4 )(xx2ln15若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = 6 y6已知 ，则 f3)(f3l77已知 ，则 l218若 ，则 xfe(0f9函数 的单调增加区间是y12),10函数 在区间 内单调增加，则 a 应满足a),(01若 的一个原函数为 ，则)(xf2lnxf2lnxc2若 的一个原函数为 ，则e)(24xe3若 ，则 cd14若 ，则 =fsi)(fos
