1、1高等数学 A 上册资料第一、二章 函数、极限与连续第三章 导数与微分第四章 微分中值定理与导数应用第五章 不定积分第六章 定积分第七章 无穷级数第一、二章 函数、极限与连续第一讲 函数教学目的和要求：深刻理解一元函数的概念，熟悉函数的几种特性、运算，能熟练作出基本初等函数的图形。知识点：一元函数的定义、函数的特性、函数的运算、基本初等函数、分段函数。重点：一元函数的定义（着重要强调自变量与因变量之间的单值对应关系） ，函数的几种特性，基本初等函数。难点：复合函数、反函数、分段函数教学方式：多媒体，讲授教学思路：本讲实际上是复习中学有关一元函数的内容，通过这一次课，让学生对一元函数 y = f
2、(x)有一个统一、准确的认识，尤其要深刻理解其中 x 与 y 之间的单值对应关系，熟悉函数的特性、运算、图形、强调对分段函数的讲解，为以后讲函数的连续、求导做准备。教学过程：一、函数的概念定义 1 设 A、B 是两个实数集，称映射 f: AB 为一元函数，简称函数，记作:|(),fxyx其中 x 称为自变量，y 称为因变量，f (x)表示函数 f 在 x 处的函数值， A 为 f 的定义域，2记作 D(f)、f(A)=y | y = f(x)、x A 称为 f 的值域，记作 R（f） 。注意：函数的两个基本要素：定义域和对应法则，x 与 y 之间必须是单值对应关系。函数常用的表示方法：列表法、
3、图示法、公式法。例 1 求函数 的定义域。214yx解：必须满足条件：即 得 201x|1x2x函数的定义域为：（1,2） 。例 2 求函数 的定义域。267arcsin1yx解：x 必须满足条件20 1,12 xx由 ，解之得267(32)0xx1(,),)32由，当 ，即 时，变为 ，无解。1x0(xx当 ，即 时，变为 ，解之得：1)1,3 函数的定义域为： ,3x分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式来表示对应法则的函数。例 3 符号函数 1 0sgn= (5xxf fe f求解：略通过分段函数的学习，进一步理解函数的概念，扩大学生认识函数的范围，为以后讲解函数的连续性创造条件。
4、二、函数的图形定义 2 称集合 为函数 f 的图形，记为 G(f)。函数 f 的图形(,)|(),()xyfxDf是坐标平面上一些特定点（x,y）的集合。注意：与 x 轴垂直的直线与函数曲线最多只能有一个交点。三、函数的几种特性1函数的有界性设函数 的定义域为 D，数集 ，如果存在正数 M，使对于任意 都()yfxXxX有 |()|fx则称函数 在集 X 上有界，否则称 在 X 上无界。()yfx2函数的单调性设函数 的定义域为 D，区间 ，若对于任意的 ，当 时，()yfxI12, xI12x有 ，或 ，则分别称 是区间 I 上的单调增加函数或单调减12()fx12()fx()fx少函数。单
5、调增加或单调减少的函数统称为单调函数。3函数的奇偶性设函数 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意 ，都有()yfx xD，则称 为奇函数；如果对于任意 都有 ，则称()fxf ()(ffx为偶函数。奇函数的图形关于原点对称，因为 也在图形上。(,)xf4同理可以说明偶函数的图形关于 轴对称。y4函数的周期性设函数 的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 T，使得对于任意 ，()yfx xD有 ，且()xTD()(fxTf则称 为周期函数，T 称为周期。()f若 T 是 的周期，则 也是 的周期，周期中的最小正值称为最小正x()nN()fx周期，通常周期均指最小正周期，如 ， 。siny2T
6、例 8 证明下列函数在所示区间内有界1） ()lg/fx1, 22） , +)证明 1）只要证明 在 上是单调的，则有界。lg()xf1, 2设 ，则21x121212lglgl()xxxff 而 ，有12lg,0x212ll于是 1212()g()xff由于 2120,l0x所以 1212()g()xff即 在 上是单调的或 因而有界。lg()fx, |()|2lgfx2）因 ，则10设 ，则 ，故 。,)xxlg1x所以 或 有界0(1f|()| () ,)(fmfx5例 9 讨论函数 的奇偶性。2()ln1)fxx解：函数 的定义域 ,因 221()ln(1)ln()fxxx2l()()
7、f所以， 是 上的奇函数。()fx,例 10 试证 是奇函数23 0() xxf 证明： 设 ，则 ，由于,0)x(0,x()23fx(23,)()f ffx设 ，则 ，由于0,)x,0)x()23fx(23)()f ffx又 ，于是对于任何 ，都有 ，从而 是奇函数。(0)f,x()fx例 11 函数 是否为周期函数，如果是确定其最小正周期。()fx解：对任何 x，存在整数 n，使 ，1,xn则 。()(fTfTTx当 T 为整数时，由于 ，x故 ，于是有xn()(0 ()fTfTZ是周期函数，最小正周期为 1。()f四、函数的运算1函数的四则运算设 f, g 是定义域分别为 的函数，定义
8、f, g 的和、差、积、商如下：(),Dfg() ()xxDf6()() ()fgxfgxDfg且 ()()0x特别地 ， 称为 f 与 的数。(),fxfxDfR2复合函数定义 3 设有两个函数 和 ，如果函数 将集合 映入 ，()u()yfu()uxD()函数 将集合 映入 ，若 ，则得到了一个从 到 的一()yfuff ff个新的函数，也称为由函数 和 复合而成的复合函数，记作 ，()ux()yfu()yx称为中间变量。例 12 设 ， ，求复合函数 。ux()sinf ()fx解：由于 可构成复合函数(0,(,)fD，反之可否构成 ， 不()sin, ,)fxx(fx(,)0,)fD可
9、定义 4 设函数 的定义域为 D，值域为 f(D)，则对于任一 ，必有唯()yf 0()yfD一的 使 ，从而确定了一个新的函数，这个函数称为函数 的反函0xD0()fx x数，记作 1()xfy它的定义域是 f(D)，值域是 D。注意： 是单值对应的，但其反对应关系不一定是单值的，从而不一定能构成yx单值函数。如： ，函数 与 的定义域2,(,)sin,(,)yx()yfx1()fy与值域是互换的，因而在 xoy 面上图形相同，习惯上用 表示 的反函数，1x若点 P（ a, b）在 的图形上，则 Q（b, a）就在其反函数 的图形上，反()yfx 1()yf之亦然。而 P（a, b）与 Q（
10、b, a）是关于直线 y=x 对称的，从而 y = f(x)与其反函数的图形是关于直线 y=x 对称的。1()yfx五、基本初等函数常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初7等函数。1见教材即可注意：对这些函数的定义式、定义域、值域、图形及相关的性质要了如指掌。六、初等函数定义 5 由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注意：一般地、分段函数不是初等函数 但： 是初等函数2 0| xyx我们所讨论的函数一般都是初等函数，如：， 等2 sin3, ln(si2), xarcyxyxyelnxxye双曲函
11、数：见教材反双曲函数：见教材小结：抽象地讲，一元函数 就是讨论两个变量 x 与 y 之间的一种动态关系，()yfx不过要求 x 与 y 的对应关系是单值的，与其相关的有界性、单调性、奇偶性、周期性都会在这一动态过程中得到体现。推而广之，世界上的万事万物如果可以量化的话，不都可看成以时间为自变量的函数吗？因为它们都是随时间的变化而变化的。第二讲 极限（一）教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解 x 无限增大时函数极限的定义。知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x 无限增大时函数极限的定义。重点：两个定义及数列极限的性质难点：x 无限增大时函数极限的定义教学方式：
12、多媒体，讲授教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大” ， “无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到 x 无限增大时函数的极限教学过程：一、数列极限的概念以自然数为自变量的函数 的函数值按自然数的顺序排列起来，就构成一个数()nxf列。，简记为 ，x n 为通项。12,nx 例如 1） :,3, 82） 11:,3nn 3） 2,4 4）1 1()():,3n n 5） 11,nn 将这些数列的若干项表示在数轴上，当 时，观察它们的变化规律，会发现无限增大， 无限接近于 0， 、 无限接近于 1， 变化趋nn1n1()n
13、1()n势不确定。12 n3 14 ()n如果当 n 无限增大时，x n 无限接近某个确定的常数 a，则称x n以 a 为极限，或称x n收敛于 a，记为： 11()lim0,li1,limnnn以（3）为例，当 时， 的各项无限接近于 1，也就是说，随着 n 的增大，数列各项 与 1 之差的绝对值 （即点 与 1 的距离）就可以越来越小，任n1nn意小，要多小有多小，可以小于任意给定的正数 。就是说，对于任意给定的正数 ，不论它有多么小，只要 n 足够大，都可以使 ，换句话说，只要存在正整数 N，1n对于 nN 的所有项都满足不等式 就行了。如：取 ，要使 ，即 ，得 ，取 N=100，当
14、nN0.110.n1|0.n10n时，就一定有 。也就是说该数列从第 101 项开始，后面所有的各项与 1 的.n距离都小于 0.01。再取 0.1, 9定义 1 设有数列 ，若存在一个常数 a，对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，nx 总存在正整数 N，使得当 nN 时，有 成立，则称数列 存在极限，并称 a 为|nxnx的极限记作 或 。nxlimnxa()此时，也称数列 收敛于 a，或 为收敛数列，否则称数列为发散数列。nx上述定义用逻辑符号表述为： ，使得当 nN 时，恒有 ，则0,N|nxa称 a 为数列 的极限。nx注意：定义中，正数 是任意给定的可以充分小，它刻画了 xn 接
15、近于 a 的程度，正整数 N 与 有关，用 nN 刻画 n 足够大，它是保证 成立的条件，对于一个给定的 |nxa，N 不是唯一的。0以 a 为极限的几何意义：对于数轴上的点 a 的任意给定的 邻域 ，nx (,)a总存在自然数 N，使得点列 从第 N+1 项起所有的点： ，都落在nx12,Nnx之内，而在此邻域之外至多只有 的有限项 ，因此可知，数列(,)anx,的收敛性与它的前有限项无关。例 1 用数列极限的定义证明：1()limn证明：分析 利用 N 定义证明 关键是对 ，视 n 为未知数，通过nxa0不易解出 n，可设法将 适当放大为 ，然后由 ，解|nxa|n|()n()出 ，再取
16、，因 ，要使 ，即要()g()g1()|nxa|nxa或 ，所以，对 ，取 ，则当 nN 时，有：1n0N1()n 。1()limnn例 2 用数列极限的定义证明， 31lim2n证明：因 ，而 。315|2()()nxan 52(1)n10所以，要使 ，只要 ，即 ，于是，对 ，取312n5n505N当 nN 时，恒有 成立。1n 。3lim2n例 3 用“ ”语言证明：N21limna证明：因 2|nxa22()nan而 2222,()4na于是 ，要使 ，只要 ，即 22()an21na24an|2an所以，对 ，取 ，当 nN 时，恒有 成立。0|2aN21na 21limn例 4 用“ ”语言证明：Nlim0 (|1)nq证明：当 时，结论显然成立。0q现设 ，因 ，要使 ，取对数得：|1|0|nnnxaq|nqlg|lnq即 （不妨设 ） 。lg|nq0所以， ，取 ，当 nN 时，恒有 。 。lg|Nq|0|nqlim0nq二、数列极限的性质定理 1 （极限的唯一性） ，收敛数列的极限是唯一的
