1、1北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期 统一考试高三年级数学试卷（理工类） 20171（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，则UR12xA20Bx()UABA B |2xC D |0|x2在复平面内，复数 对应的点位于1iA第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递增的是 0,1A B C D
2、cosyx2yx()2xy|sin|yx4若 ，且 ，则“函数 在 上是减函数”是“函数 在0a1aR3(2)a上是增函数 ”的RA 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5从 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是0,1234A B C D6810126某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为AB 2343C D12俯视图正视图 侧视图127在 中， ，点 D 是边 上的动点，且 ， ,RtABC90BC3AB4C( )，则当 取得最大值时, 的值为D,DA B C D23521258某校高三（1）班 32
3、名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩都不合格的有 3 人，则这两项成绩都合格的人数是AB C D23202119第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 等于 21(0)4xyb320xyb10已知等差数列 的前 n 项和为 若 ， ，anS1a32aS则 = ， 210S11执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为 12在 中，已知 ，则 ABC45,2ACB13设 D 为不等式组 表示的平面区域，对
4、于区域 D 内除原点外的任一点 ，0,+3xy (,)Axy则 的最大值是 _； 的取值范围是 2xy2xy14若集合 满足： ，都有 ，则称集合 是封闭的显M,y,MxyM然，整数集 ，有理数集 都是封闭的对于封闭的集合 （ ） ， ：ZQRf是从集合 到集合 的一个函数，如果 都有 ，就称 是保加法的；,xy()()fxyfyf开始 ,1Si是否6?输出 S结束2iSi3如果 都有 ，就称 是保乘法的；,xyM()()fxyfyf如果 既是保加法的，又是保乘法的，就称 在 上是保运算的f M在上述定义下，集合 封闭的（填“是”或“否” ） ；若函数3,mnQ在 上保运算，并且是不恒为零的函
5、数，请写出满足条件的一个函数 ()fxQ ()=fx 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）已知函数 2()23sincos1fxxx（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值()fx,6416 （本小题满分 13 分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分
6、析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（）若对甲同学在今后的 3 次测试成绩进行预测，记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 （将甲 8 次成绩中高于 80 分的频率视为概率） ，求 的分布列及数学期望 E17 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中， 四边形 为正方形，四边形 为直角梯形，ABCDABEF且 平面 平面 /,AFBE,EF.2（）求证： 平面 ；/CDFFAD CBE4（）若二面角 为直二面角，DABE（i）求直线 与平面 所成角的大小； C（ii）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ? PBDEF若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由E18 （本小题满分 1
7、3 分）已知椭圆 上的动点 与其顶点 , 不重合2:13xyCP(30)A(,)B（）求证：直线 与 的斜率乘积为定值；PAB（）设点 ， 在椭圆 上， 为坐标原点，当 , 时，求MNO/MP/ON的面积O19（本小题满分 14 分）设函数 ， ， 2()ln1)fxax2()1exgaR（）当 时，求函数 在点 处的切线方程； a(f,f（）若函数 有两个零点，试求 的取值范围；()gx（）证明 f20 （本小题满分 13 分）设 是正整数，数列 ，其中 是集合(3)m,n:mA12ma,L(1)ia中互不相同的元素若数列 满足：只要存在 使12,L ,jj（ ），总存在 有 ，则称数列 是
8、“好数列” ija1k（ ） ijkA（）当 时，60,n（）若数列 是一个“好数列” ，试写出 的值，并判断数6:7890A,xy, x,y列： 是否是一个“好数列”？1789,（）若数列 是“好数列” ，且 ，求 共有6:1,ab,cdabcda,bc多少种不同的取值？（）若数列 是“好数列 ”，且 是偶数，证明： mA1212mnL5北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 20171一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D D A C B C B二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10 11 12 1
9、3 14答案 34,103105，942,0是， (),fxQ（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15 （本小题满分 13 分）解：（）因为 2()23sincos1fxxxsi()6x所以 的最小正周期为 7 分)(xf（）因为 2, .643x所 以 -当 时， 取得最大值 ；2xx即 )(f当 取得最小值 13 分,6x即 时 116 （本小题满分 13 分）解：（）作出茎叶图如下：4 分（）派甲参赛比较合适理由如下：， 1x702849028124835甲，30乙甲 乙9842153035762222221s78598158485甲，33.2
10、222221s75805885乙 9941.因为 ， ，x甲 乙 2s乙甲所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 8 分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分如派乙参赛比较合适理由如下：从统计的角度看，甲获得 85 分以上（含 85 分）的频率为 ，138f乙获得 85 分以上（含 85 分）的频率为 248f因为 ，所以派乙参赛比较合适21f（）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A， 9 分63A84P随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，且 3(,)4B ， 3C4kkPk,所以变量 的分布列为：0 1 2 3P 64
11、976411 分19270364（或 ） 13 分3.nP717 （本小题满分 14 分）证明：（）连结 ，设 ，BDACO因为四边形 为正方形，所以 为 中点O设 为 的中点，连结 ，GE,GF则 ，且 /B12BE由已知 ，且 ，AF所以 /,OG所以四边形 为平行四边形所以 ，即 /AF/C因为 平面 ， 平面 ，DEGDEF所以 /平面 5 分（）由已知， ，/,AFB所以 因为二面角 为直二面角，DE所以平面 平面 C所以 平面 ，AFB所以 ,A四边形 为正方形，所以 DD所以 两两垂直,ABF以 为原点， 分别为 轴建立空间直 ,A,xyz角坐标系（如图） 因为 ，2ABEF所以
12、 ，(0),(,0)(,)(20),(,2)(0,1)CDEF， ， ， ，FAD CBEOGxzXyzXzzXPFAD CBE8所以 (2,0)(,20),(2,0)ACDCE（i）设平面 的一个法向量为 ， Exyzn由 得 即 ,0n, 20.yxz,0.取 ，得 1x(,1)设直线 与平面 所成角为 ，ACDE则 ，21sinco,n因为 ，所以 0930即直线 与平面 所成角的大小为 9 分ACE（ii）假设棱 上存在点 ，使得 平面 DPBDEF设 ，则 (01)P设 ，则 ，,)xyz(2,)xyz因为 ，所以 (2,E (2,)所以 ，所以 点坐标为 ,xyzP,2)因为 ，所
13、以 (0,)B(2,)P又 ，所以2,10,1)DFE ()0,2.BDFPE解得 3因为 ，所以 上存在点 ，使得 平面 ，且 0,1BF23PE（另解）假设棱 上存在点 ，使得 平面 DEPDE设 ，则 ()P设 ，则 ，,)xyz(2,)xyz因为 ，所以 (2,E (2,)所以 ，所以 点坐标为 ,xyzP,2)9因为 ，所以 (0,2)B(2,2)P设平面 的一个法向量为 ，DEF0(xyzm则 由 ，,0m2,1)(,21)EF得 02,.xzy取 ，得 1(,12)由 ，即 ，mBP,)(1,2)可得 解得 2,.23因为 ，所以 上存在点 ，使得 平面 ，且 0,13DEPBD
14、EF23P14 分18 （本小题满分 13 分）解：（）设 ，则 0(,)Pxy2013y所以直线 与 的斜率乘积为 4 分AB22000063()3yxxx（）依题直线 的斜率乘积为 ,OMN23当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ，设直线 的方程,ON63OM是 ，由 得 ， 63yx236,yx21y取 ，则 所以 的面积为 (,1)2M6(,1)2NOMN6当直线 的斜率存在时 ,设直线 的方程是 ,ykxm10由 得 2,360ykxm22(3)6360kxkm因为 ， 在椭圆 上，MNC所以 ，解得 2224()0k2k设 , ,则 ， 1()xy212263mxk1236x2222211()4()43kmMNk k226(3)m设点 到直线 的距离为 ，则 ONd21k所以 的面积为 M2216(3)OMNmkS 因为 , ，直线 , 的斜率乘积为 ，所以 /PA/B123yx所以 221212112()()ykxmkxmx26mk由 ，得 26332由，得 22224()6()6OMNmkmS综上所述， 1362分19 （本小题满分 14 分）解：（）函数 的定义域是 ， ()fx(1,)(21)xaf当 时， 1a246fa)437
