1、1北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ， ，则 是|(2)0Ax=-ABIA. B.|1|x2. 已知 为虚数单位，设复数 满足 ，则 =izi3zA. B. C. D.3410103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式 表示的平面区域(2)(3)xy内的是A. B.
2、C. D. (0)， (20)， (01)， (02)，4.“ ”是“ ”的 2sincos=A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. 443C. D. 2326. 已知圆 的圆心为 .直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于2()9xyCl(2,0)MxlC两点，点 在点 ， 之间.过 作直线 的平行线交直线 于点 ，则点,ABMBABP的轨迹是P正 视 图 侧 视 图 俯 视 图 2A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
3、7. 已知函数 的图象与直线 的公共点不少于两个，则实数 的取值()fxa1ya范围是A. B. C. D.2a220a28. 如图 1，矩形 中， .点 在 边上， ABCD3EAB且 . 如图 2， 沿直线 向上折起成CED D记二面角 的平面角为 ，当1A 1E时， 08， 存在某个位置，使 ；1CDA 存在某个位置，使 ；E 任意两个位置，直线 和直线 所成的角都不相等. 1以上三个结论中正确的序号是A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线
4、 的离心率为 ，则双曲线C2的渐近线方程为 .C10. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为 .S11. 中， 分别为边 中点，若 ABD,EF,BDAFxByE（ ） ，则 _.,xyR+=xy12. 已知数列 满足 （ ） ， ， ( ).设na11nna1ap2q,R，则 ; 1niSa1008S.（用含 的式子表示）,q图 1BAEDC开始i=1，S=2结束i=i+1i4?输出 S是否S=i SEBCDAA1图 2313. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”.
5、222()()acbdcd证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为 ，右图中，设 ，右图阴影区域的面积可acbdBAD表示为_（用含 ， 的式子表示） ；,（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式 . 当且仅当222()()acbdcd满足条件_时，等号成立.,abcd14. 如图，一位同学从 处观测塔顶 及旗杆顶 ，得仰角分1PBA别为 和 . 后退 (单位 m)至点 处再观测塔顶 ，仰90l2B角变为原来的一半，设塔 和旗杆 都垂直于地面，且 ，CC， 三点在同一条水平线上，则塔 的高为 m；1P2 B旗杆 的高为 m.（用含有 和 的式子表示
6、）BAl三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .15. (本小题满分 13 分)已知函数 .21(sincosifxx（）求 的单调递增区间；)（）在 中, 为角 的对边，且满足 ， ABC,abc,ABCcos2sinbAaBAP2P1BCbbd ac da cdacb DCBA4且 ，求 的取值范围 . 02A()fB16. (本小题满分 13 分)为了治理大气污染，某市 2017 年初采用了一系列措施，比如“煤改电”， “煤改气”， “国，轻型汽油车限行”， “整治散乱污染企业” 等.下表是该市 2016 年和 2017 年 12 月份的空
7、气质量指数（AQI） （AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表 1：2016 年 12 月 AQI 指数表：单位（ ）3g/m日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11AQI 47 123 232 291 78 103 159 132 37 67 204日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22AQI 270 78 40 51 135 229 270 265 409 429 151日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI 47 155 191 64 54 85 75 249 329表 2：2017 年 12 月 AQI 指数表：
8、单位（ ）3g/m日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11AQI 91 187 79 28 44 49 27 41 56 43 28日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22AQI 28 49 94 62 40 46 48 55 44 74 62日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI 50 50 46 41 101 140 221 157 55根据表中数据回答下列问题：（）求出 2017 年 12 月的空气质量指数的极差；（）根据环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行） 规定：当空气质量指数为050 时，空气质量级别为一级.从
9、 2017 年 12 月 12 日到 12 月 16 这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为 ，求 的分布列及数学期望；（）你认为该市 2017 年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.517. (本小题满分 14 分)如图，在三棱柱 中， ，1ABC90ACB是线段 的中点，且 平面 DD（）求证：平面 平面 ；11（）求证： 平面 ；/BCA（）若 ， ，求二面角 112的余弦值.A18. (本小题满分 13 分)已知函数 ， .(cosfxaR（）求曲线 在点 处的切线的斜率；)y2（）判断方程 （ 为 的导数）在区间 内的根的个数，说明理由；(0fx(
10、)fxf0,1（）若函数 在区间 内有且只有一个极值点，求 的取值()sincoFa(,) a范围.A CBB1C1A1D619. (本小题满分 14 分)已知抛物线 的焦点为 ,过抛物线 上的动点 （除顶点 外）作 的切:C24xyFCPOC线 交 轴于点 .过点 作直线 的垂线 （垂足为 ）与直线 交于点 .lxTOlMFN（）求焦点 的坐标；F（）求证： ；NA（）求线段 的长.20. (本小题满分 13 分)已知集合 ，其中 . 表示12,.nPaiaR1,2in()MP+ija中所有不同值的个数.1)ijn（）若集合 ，求 ；,3579， ()MP（）若集合 ，求证： 的值两两不同，
11、并求 ；146.,nP+ija()P（）求 的最小值.（用含 的代数式表示）()M7北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D A A B B C二、填空题（30 分）题号 9 10 11答案 yx48 12题号 12 13 14答案 p q2sinabcd abcsinlcosil三、解答题（80 分）15. （本小题满分 13 分）解：（）由题知 11()sin2(cos2)fxx=.2sin()4x由 （ ） ，2kxk解得 . 88所以 单调递增区间为
12、 （ ）. 6 分()fx3,8kk（）依题意，由正弦定理， .sinco2sincosinBAAB因为在三角形中 ，所以 .0即 (cosi)(si1)A8当 时， ；cosinA4当 时， .12A由于 ，所以 .02则 .3+4BC则 .又 ，2所以 .1sin()14B由 ，2)if则 的取值范围是 . 13 分()fB2，16. （本小题满分 13 分）解：（）2017 年 12 月空气质量指数的极差为 194. 3 分（） 可取 1，2，3； ； .35()0CP21356()0CP30251()CP的分布列为1 2 3P3061010所以 . 9 分3612180E（）这些措施是
13、有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年 12 月空气质量指数为优的概率等来进行说明.13 分17. （本小题满分 14 分）9（）证明：因为 ，所以 90ACBAC根据题意， 平面 ， 平面 ，所以 1DB1DBC因为 ，所以 平面 1又因为 平面 ，所以平面 平面 4 分BC1AAC1（）证明：连接 ，设 ，连接 1BED根据棱柱的性质可知， 为 的中点，因为 是 的中点，DAC所以 1/EB又因为 平面 ，平面 ，1C1A所以 平面 8 分/BD（）如图，取 的中点 ，则 ，F/BC因为 ，所以 ，AA又因为 平面 ，1所以 两两垂直1,DFC以 为原点，分别以 为1,DA,xy
14、z轴建立空间坐标系（如图）.由（）可知， 平面 ,BC1所以 1A又因为 ， ,1B所以 平面 ，所以 ，1C11AC所以四边形 为菱形A由已知 ，2BA CBB1C1A1DEyxzA CBB1C1A1DF10则 ， ， ， 0,1A0,C2,10B1,3A设平面 的一个法向量为 ，Bxyzn因为 ， ，所以 ，即10,32,0A10,ABn30,2.yzx设 ，则 z,1n再设平面 的一个法向量为 ，1BC1,xyzm因为 ， ，所以 ，即10,3A2,010,CAB130,2. yzx设 ，则 1z,1故 37cos, 2mn由图知，二面角 的平面角为锐角，1ABC所以二面角 的余弦值为 14 分1718. （本小题满分 13 分）解：（） . . 3 分()cosinfxx()2kf（）设 ， .g()sincos)2incosgxx 当 时， ，则函数 为减函数.(0,1)x0x()g又因为 ， ,(1)cosi10所以有且只有一个 ，使 成立.0,x()x所以函数 在区间 内有且只有一个零点.即方程 在区间 内有()g()0fx,1且只有一个实数根. 7 分（）若函数 在区间 内有且只有一个极值点，由于()sincoFxxa0,1，即 在区间 内有且只有一个零点 ，且f()sf 1x在 两侧异号.()fx1
