1、 共 28 1圆中常见的辅助线的作法1遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3遇到 90 度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角
2、。5遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得 OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若 OA=r，则 l 为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证 OAl，则 l 为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；共
3、 28 2全等、相似三角形。8遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。11遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；利用圆内接四边形的性质；利用两圆公共的圆周
4、的性质； 垂径定理。12遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质；切线性质等。13 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。14遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。三角形的外接圆与三角形的内切圆的区别与联系:圆的名称 三角形的 名称 圆心的确定 圆心的 名称 圆心的性质三角形的外接圆圆内接三角形三角形的三边中垂线的交点 外心外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内切圆圆外切三角形三角形的三角平分线的交点 内心内心到三角形的三条边的距离相等(2012 山东德州中考)如图， “凸轮”的
5、外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为 1，则凸轮的周长等于_共 28 3【解析】每段弧的长为 180nRl 26 = 3，故三段弧总长为 【点评】此题主要考查圆的弧长公式 l此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆（2012 四川内江）如图 2，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB30，CD2 3，则阴影部分图形的面积为A4 B2 C D 2【解析】如下图所示，取 AB 与 CD 的交点为 E，由垂径定理知 CE 3，而COB2CDB60，所以OC sin60CE2，OE 1OC 1，接下来发现 OEBE，可证 OCEBED，所
6、以 S 阴影 S 扇形COB12 2 3【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键(2012 山东省临沂市）如图，AB 是O 的直径，点 E 是 BC 的中点，AB=4，BED=120 0，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A.1 B. 23 C. 3 D. 32【解析】由图得，四边形 ABED 是圆内接四边形，B=D=DEC=60 0，弓形 BE 的面积等于弓形 DE 的面积，又AB 是O 的直径，点 E 是
7、BC 的中点，AB=4，BED=120 0，BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=SCDE,又CDEABC，SABC= 34, SCDE= 41SABC= .3【答案】选 C。【点评】阴影部分的面积可以看作是ABC 的面积减去四边形 ABED 的面积或阴影部分的面积就是CDE 的面A BDCO图 2A BDCO图 2E共 28 4积求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求（2012 浙江省义乌市，20，8 分）如图,已知 AB 是 O 的直径,点 C、 D 在 O 上,点 E 在 O 外, EAC= D=60. （1）求 ABC 的度数；（2）求证： AE 是 O
8、 的切线； （3）当 BC=4 时，求劣弧 AC 的长.【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得 ABC= D =60。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为 180，得出BAC 的大小，继而得出BAE 的大小为90，即 AE 是O 的切线。（3）由题意易知， OBC 是等边三角形，则由劣弧 AC 对应的圆心角可求出劣弧 AC 的长。20解：（1） ABC 与 D 都是弧 AC 所对的圆周角 ABC= D =60 2 分（2） AB 是O 的直径 ACB=90 3 分 BAC=30 BAE = BAC EAC=3060=90 4 分即 BA AE AE 是 O 的切线 5 分
9、（3） 如图，连结 OC OB=OC, ABC=60 OBC 是等边三角形 OB=BC=4 , BOC=60 AOC=1207 分劣弧 AC 的长为 381042 8 分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为 180。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等(2012 四川省南充市) 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A120 B180 C240 D300解析：设母线长为 R，底面半径为 r，则底面周长=2r，底面面积=r 2，侧面面积=rR，由题知侧面积是底面积的 2 倍。所以 R=2r，设圆心角为 n，则 180Rr，解
10、得 n=180.答案：BOABCDEOABCDE共 28 5点评：已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，从而利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数（2012 浙江省绍兴）如图，扇形 DOE 的半径为 3，边长为 的菱形 OABC 的顶点 A， C， B 分别在 OD， OE，DE上，若把扇形 DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）A. 21 B. 2C. 37 D. 35【解析】 连结 AC、OB，相交于点 G，则 ACOB，OG=GB,在 Rt OGA，9342AG,所以 3AC,即 60O,根据 603218r求得
11、 12r，所以圆锥的高为2153()【答案】D【点评】本题主要考查圆锥的有关计算，关键在于求出扇形 DOE 的圆心角，具有一定的综合性( 2012 年浙江省宁波市)如图，用邻边长为 a,b(ab)的矩形硬纸板截出以 a 为直径的两个半圆，再截出与矩形的较边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计） ，则 a 与 b 关系式是（A）b= a (B)b= (C) (D) b= a35+12 52 2【解析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b 之间的关系即可【答案】D
12、【点评】本题考查切线、两圆外切及圆锥的侧面展开图的有关知识，小圆的周长是大圆的周长的一半是确定相等关系的关键。( 2012 年浙江省宁波市)如图在ABC 中,BE 是它的角平分线,C=90 0,D 在 AB 边上,以 DB 为直径的半圆 O 经过点E 交 BC 于点 F.(1)求证:AC 是O 的切线;(2)已知 sinA= ,O 的半径为 4,求图中阴影部分的面积.12【解析】1）连接 OE，OB=OEOBE=OEB.BE 是ABC 角平分线,OBE=EBC,OEB=EBC, 11 题图共 28 6OEBC,C=90 0,AEO=C=90 0,AC 是O 切线. 连接 OFsinA= ，A=
13、30 12O 的半径为 4，AO=2OE=8，AE=4 ，AOE=60，AB=12，3BC= AB=6 AC=6 ，12CE=AC-AE=2 3OB=OF，ABC=60，OBF 是正三角形FOB=60，CF=6-4=2，EOF=60S 梯形 OECF= （2+4）2 =6 12 3 3S 扇形 EOF=604 2 360 = 83S 阴影部分=S 梯形 OECF-S 扇形 EOF=6 - 383(2012 山东省临沂市）如图，AB 是O 的直径，点 E 是 BC 的中点，AB=4，BED=120 0，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A.1 B. 23 C. 3 D. 32【解析】由图得，四边形
14、 ABED 是圆内接四边形，B=D=DEC=60 0，弓形 BE 的面积等于弓形 DE 的面积，又AB 是O 的直径，点 E 是 BC 的中点，AB=4，BED=120 0，BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=SCDE,又CDEABC，SABC= 34, SCDE= 41SABC= .3【答案】选 C。【点评】阴影部分的面积可以看作是ABC 的面积减去四边形 ABED 的面积或阴影部分的面积就是CDE 的面积求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求（2012 浙江省衢州）用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽
15、的高是( )23 题图 共 28 7A. 2cm B.32cm C.42cm D.4cm 【解析】利用已知得出圆锥底面圆的半径为：2，母线长为 6cm，进而由勾股定理，即可得出答案【答案】C【点评】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键（2012 北海,12，3 分）12如图，等边ABC 的周长为 6 ，半径是 1 的O 从与 AB相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则O 自转了： （ ）A2 周 B3 周 C4 周 D5 周【解析】三角形的周长恰好是圆周长的
16、三倍，但是圆在点 A、B、C 处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和 360。所以O 自转了 4 圈。【答案】C(2012 广东汕头)如图，在ABCD 中，AD=2，AB=4，A=30，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 分析： 过 D 点作 DFAB 于点 F可求ABCD 和BCE 的高，观察图形可知阴影部分的面积=ABCD 的面积扇形 ADE 的面积BCE 的面积，计算即可求解解答： 解：过 D 点作 DFAB 于点 FAD=2，AB=4，A=30，DF=ADsin30=1，EB=AB
17、A E=2，阴影部分的面积：41 212=4 1=3 AB COD第 12 题图共 28 8故答案为：3 点评： 考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=ABCD 的面积扇形 ADE 的面积BCE 的面积(2012 山东日照)如图 1，正方形 OCDE 的边长为 1，阴影部分的面积记作 S1；如图 2，最大圆半径 r=1，阴影部分的面积记作 S2，则 S1 S2（用“” 、 “”或“=”填空）.解析：把图 1 中的阴影部分拼在一起即是矩形 ACDF,因为正方形 OCDE 的边长为 1，所以正方形的对角线长 ，所以 OA= 2， S1=S 矩形 ACDF= 2-1
18、；把图 2 中的阴影部分拼在一起即是 41圆，故 S2=.所以 S1 S2.点评：本题主要考查勾股定理、扇形的面积等，解题的关键是运用割补法把阴影部分转化为规则图形求其面积.（2012 山西）如图是某公园的一角，AOB=90，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，点 D 在弧 AB 上，CDOB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）A （10 ）米 2 B （ ）米 2 C （6 ）米 2 D （6 ）米 2【解析】解：弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，OC= OA= 6=3 米，AOB=90，CDOB，CDOA，在 RtOCD 中，OD=6，
19、OC=3，CD= = =3 米，sinDOC= = = ，DOC=60，共 28 9S 阴影 =S 扇形 AODS DOC = 33 =（6 ）平方米（2012 年广西玉林市）如图，矩形 OABC 内接于扇形 MON，当 CN=CO 时，NMB 的度数是 .分析：首先连接 OB，由矩形的性质可得BOC 是直角三角形，又由 OB=ON=2OC，BOC 的度数，又由圆周角定理求得NMB 的度数解答：解：连接 OB，CN=CO，OB=ON=2OC，四边形 OABC 是矩形，BCO=90，cosBOC= 21OBC，BOC=60，NMB= 21 BOC=30故答案为：30点评：此题考查了圆周角定理、矩
20、形的性质以及特殊角的三角函数值此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用(2012 广安中考试题)如图 6，RtABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC= 3，ACB=90 o，A=30 o，若RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线上 l 时，点 A 所经过的路线的长为_（结果用含 的式子表示） 思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，解析：计算斜边长度是 2，第一次经过路线长度是 1208，第二次经过路线长度是 90318，第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是 9031280，所以当点 A
21、三次落在直线 l 上时，经过的路线长度是12082（ 9031280）ABCl图 6共 28 10= 43 2 43= 点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.（2012 贵州遵义）如图，半径为 1cm，圆心角为 90的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A cm 2 B cm 2 C cm2 D cm2解析： 过点 C 作 CDOB，CEOA，则AOB 是等腰直角三角形，由ACO=90，可知AOC 是等腰直角三角形，由 HL 定理可知 RtOCERtA
22、CE，故可得出 S 扇形 OEC=S 扇形 AEC， 与弦 OC 围成的弓形的面积等于 与弦AC 所围成的弓形面积，S 阴影 =SAOB 即可得出结论解：过点 C 作 CDOB，CEOA，OB=OD，AOB=90，AOB 是等腰直角三角形，OA 是直径，ACO=90，AOC 是等腰直角三角形，CEOA，OE=AE=OC=AC，在 RtOCE 与 RtACE 中， ，RtOCERtACE，S 扇形 OEC=S 扇形 AEC， 与弦 OC 围成的弓形的面积等于 与弦 AC 所围成的弓形面积，同理可得， 与弦 OC 围成的弓形的面积等于 与弦 BC 所围成的弓形面积，S 阴影 =SAOB = 11= cm2
