1、 1 第一章 绪论 1设 0x , x 的相对误差为 ，求 lnx 的误差。 解：近似值 *x 的相对误差为 * *r e x xe xx =而 lnx 的误差为 1ln * ln * ln *e x x x ex 进而有 (ln *)x 2设 x 的相对误差为 2%，求 nx 的相对误差。 解：设 () nf x x ，则函数的条件数为 ( )|()p xf xC fx又 1( ) nf x nx , 1|np x nxCnn 又 ( * ) ) ( * )r p rx n C x 且 (*)rex 为 2 ( *) ) 0.02nr xn 3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不
2、超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： *1 1.1021x , *2 0.031x , *3 385.6x , *4 56.430x , *5 7 1.0.x 解： *1 1.1021x 是五位有效数字； *2 0.031x 是二位有效数字； *3 385.6x 是四位有效数字； *4 56.430x 是五位有效数字； *5 7 1.0.x 是二位有效数字。 4利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) * * *1 2 4x x x,(2) * * *1 2 3xxx ,(3) *24/xx. 其中 * * * *1 2 3 4, , ,x x x x 均为第 3 题
3、所给的数。 解： 2 *41*32*13*34*151( ) 1021( ) 1021( ) 1021( ) 1021( ) 102xxxxx* * *1 2 4* * *1 2 44 3 33(1 ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11 0 1 0 1 02 2 21 .0 5 1 0x x xx x x * * *1 2 3* * * * * * * * *1 2 3 2 3 1 1 3 21 4 3( 2 ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11 .1 0 2 1 0 .0 3 1 1 0 0 .0 3 1 3 8 5 .6 1 0 1 .1 0 2 1 3 8 5 .6 1
4、02 2 20 .2 1 5x x xx x x x x x x x x *24* * * *2 4 4 22*4335( 3 ) ( / )( ) ( )110 .0 3 1 1 0 5 6 .4 3 0 1 0225 6 .4 3 0 5 6 .4 3 010xxx x x xx 5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为 343VR 则何种函数的条件数为 234 343pR V R RCV R ( * ) ( * ) 3 ( * )r p r rV C R R 又 ( *) 1r V 3 故度量半径 R 时允许的相对误差限为 1( *)
5、 1 0.333r R 6设 0 28Y ，按递推公式1 1 783100nnYY（ n=1,2, ） 计算到 100Y 。若取 783 27.982 （ 5 位有效数字），试问计算 100Y 将有多大误差？ 解：1 1 783100nnYY 1 0 0 9 9 1 783100YY 99 98 1 783100YY98 97 1 783100YY 10 1 783100YY依次代入后，有1 0 0 0 11 0 0 7 8 3100YY 即 100 0 783YY ， 若取 783 27.982 , 100 0 27.982YY *31 0 0 0 1( ) ( ) ( 2 7 . 9 8
6、2 ) 1 02YY 100Y 的误差限为 31 102 。 7求方程 2 56 1 0xx 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ 783 27.982 ）。 解： 2 56 1 0xx ， 故方程的根应为 1,2 28 783x 故 1 2 8 7 8 3 2 8 2 7 . 9 8 2 5 5 . 9 8 2x 1x 具有 5 位有效数字 2 1 1 12 8 7 8 3 0 . 0 1 7 8 6 32 8 2 7 . 9 8 2 5 5 . 9 8 22 8 7 8 3x 2x 具有 5 位有效数字 8当 N 充分大时，怎样求 1211NN dxx ？ 4 解 121 a r c
7、t a n ( 1 ) a r c t a n1NN d x N Nx 设 a r c t a n ( 1 ) , a r c t a nNN 。 则 ta n 1, ta n .NN 12211a rc ta n( ta n( )ta n ta na rc ta n1 ta n ta n1a rc ta n1 ( 1)1a rc ta n1NNdxxNNNNNN9正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 21cm ？ 解：正方形的面积函数为 2()Ax x ( *) 2 * ( *)A A x . 当 * 100x 时，若 ( *) 1A , 则 21( *) 10
8、2x 故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 21cm 10设 212S gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解： 21 ,02S gt t 2( *) ( *)S gt t 当 *t 增加时， *S 的绝对误差增加 2*2*( *)( *)*( *)1()2( *)2rSSSgt tgttt5 当 *t 增加时， (*)t 保持不变，则 *S 的相对误差减少。 11序列 ny 满足递推关系 110 1nnyy (n=1,2, ), 若 0 2 1.41y （三位有效数字），
9、计算到 10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解： 0 2 1.41y 20 1( *) 102y 又 110 1nnyy 1010 1yy 10( *) 10 ( *)yy 又 2110 1yy 21( *) 10 ( *)yy 220( * ) 10 ( * ). yy1010 010 28( * ) 10 ( * )110 1021 102yy 计算到 10y 时误差为 81 102 ，这个计算过程不稳定。 12计算 6( 2 1)f ，取 2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ 61( 2 1), 3(3 2 2) , 31(3 2 2)， 99 70 2 。 解：设 6
10、( 1)yx， 若 2x ， * 1.4x ，则 *11 102x 。 若通过61( 2 1)计算 y 值，则 6 *7*7*1( 1 )6( 1 )yxxyxxyx 若通过 3(3 2 2) 计算 y 值，则 * * 2 *( 3 2 )632y x xyxxyx 若通过31(3 2 2)计算 y 值，则 *4*7*1( 3 2 )1( 3 2 )yxxyxxyx 通过31(3 2 2)计算后得到的结果最好。 13 2( ) ln ( 1 )f x x x ,求 (30)f 的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。 22l n ( 1 ) l n ( 1 )
11、x x x x 计算，求对数时误差有多大？ 解 2( ) ln ( 1 )f x x x , (3 0 ) ln (3 0 8 9 9 )f 设 899 , (30)u y f 则 *u *412u 故 7 *310 .0 1 6 7yuuu 若改用等价公式 22l n ( 1 ) l n ( 1 )x x x x 则 (3 0 ) ln (3 0 8 9 9 )f 此时， *715 9 .9 8 3 3yuuu 第二章 插值法 1当 1, 1,2x 时， ( ) 0, 3,4fx ,求 ()fx的二次插值多项式。 解： 0 1 20 1 21200 1 0 20211 0 1 20122 0
12、 2 11 , 1 , 2 ,( ) 0 , ( ) 3 , ( ) 4 ;( ) ( ) 1( ) ( 1 ) ( 2)( ) ( ) 2( ) ( ) 1( ) ( 1 ) ( 2)( ) ( ) 6( ) ( ) 1( ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) 3x x xf x f x f xx x x xl x x xx x x xx x x xl x x xx x x xx x x xl x x xx x x x 则二次拉格朗日插值多项式为 22 0( ) ( )kkkL x y l x0223 ( ) 4 ( )14( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )235 3 76
13、2 3l x l xx x x xxx 2给出 ( ) lnf x x 的数值表 8 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算 ln0.54 的近似值。 解：由表格知， 0 1 2 3 4012340 . 4 , 0 . 5 , 0 . 6 , 0 . 7 , 0 . 8 ;( ) 0 . 9 1 6 2 9 1 , ( ) 0 . 6 9 3 1 4 7( ) 0 . 5 1 0 8 2 6 , ( ) 0 . 3 5 6 6 7 5( ) 0 . 2 2
14、3 1 4 4x x x x xf x f xf x f xfx 若采用线性插值法计算 ln0.54 即 (0.54)f ， 则 0.5 0.54 0.6 211212211 1 1 2 2( ) 10( 0.6)( ) 10( 0.5 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxl x xxxxxl x xxxL x f x l x f x l x 6 . 9 3 1 4 7 ( 0 . 6 ) 5 . 1 0 8 2 6 ( 0 . 5 )xx 1 ( 0 . 5 4 ) 0 . 6 2 0 2 1 8 6 0 . 6 2 0 2 1 9L 若采用二次 插值法计算 ln0.54 时， 12
15、00 1 0 20211 0 1 20122 0 2 12 0 0 1 1 2 2( ) ( )( ) 50 ( 0. 5 ) ( 0. 6)( ) ( )( ) ( )( ) 10 0( 0. 4) ( 0. 6)( ) ( )( ) ( )( ) 50 ( 0. 4) ( 0. 5 )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x xl x x xx x x xx x x xl x x xx x x xx x x xl x x xx x x xL x f x l x f x l x f x l x 5 0 0 . 9 1 6 2 9 1 ( 0 . 5 )
16、( 0 . 6 ) 6 9 . 3 1 4 7 ( 0 . 4 ) ( 0 . 6 ) 0 . 51 0 8 2 6 5 0 ( 0 . 4 ) ( 0 . 5 )x x x x x x 2 ( 0 . 5 4 ) 0 . 6 1 5 3 1 9 8 4 0 . 6 1 5 3 2 0L 3给全 cos , 0 90xx的函数表，步长 1 (1/ 60) ,h 若函数表具有 5 位有效数字，研究用线性插值求 cosx 近似值时的总误差界。 解：求解 cosx 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面， x 是近似值，具有 5 位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法
17、求函数 cosx 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 9 当 0 90x 时， 令 ( ) cosf x x 取0 110 , ( )6 0 6 0 1 8 0 1 0 8 0 0xh 令 0 , 0 ,1, ., 5 4 0 0ix x ih i 则5400 902x 当 1,kkx x x 时，线性插值多项式为 11111( ) ( ) ( )kkkkk k k kx x x xL x f x f xx x x x 插值余项为 111( ) c o s ( ) ( ) ( ) ( )2 kkR x x L x f x
18、 x x x 又 在建立函数表时，表中数据具有 5 位有效数字，且 cos 0,1x ，故计算中有误差传播过程。 *5*112111* 1111*1*1( ( ) ) 1 02( ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( )1( ( ) ) ( )( ( ) )kkkkkk k k kkkkk k k kk k kkfxx x x xR x f x f xx x x xx x x xfxx x x xf x x x x xhfx 总误差界为 10 12*1*12*855( ) ( )1( c o s ) ( ) ( ) ( ( ) )21( ) ( ) ( ( ) )211( )
19、( ( ) )2211 .0 6 1 0 1 020 .5 0 1 0 6 1 0k k kk k kkR R x R xx x x x f xx x x x f xh f x 4设为互异节点，求证： （ 1）0 ()n kkjjj x l x x ( 0,1, , );kn （ 2）0 ( ) ( ) 0n kjjj x x l x ( 0,1, , );kn 证明 （ 1） 令 () kf x x 若插值节点为 , 0,1, ,jx j n ，则函数 ()fx的 n 次插值多项式为0( ) ( )n kn j jjL x x l x。 插值余项为 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn 又 ,kn ( 1) ( ) 0( ) 0nnfRx 0 ()n kkjjj x l x x( 0,1, , );kn 00000( 2 ) ( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( ( ) )nkjjjnnj i k ik j jjinni k i ik j jijx x l xC x x l xC x x l x0 in又 由上题结论可知
