调和函数及其在物理学中的应用(共15页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上调和函数及其在物理学中的一些应用 设是个解析函数，令，则称和是互为共轭函数. 由于和的偏导数满足柯西黎曼方程， ，若和的二阶导数都存在，且关于和的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西黎曼方程求导数，即得， 因此，和都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程. . 我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后，我们会知道，解析函数 的实部和虚部都是调和函数. 这里我们自然要问：给定调和函数或 ，我们能否找到一个解析函数，使得所给的或 恰是的实部或虚部？答案是可能的. 若给定的函数或 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数实存在的. 这时用下述米尔汤姆松(Milne-Tomson)方法找是非常方便的. 由于 ，我们可将这等式看成是两个独立变量和的形式恒等式，置，有=. 根据柯西黎曼方程，因此，若将和分别记为和，则我们有. 将上式积分之，我们有 ， （