1、第 5 章 静定结构位移计算5 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构；（2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图 3-1a 刚架求 C 点竖向位移 和 C 截面转角V，图 3-1b 和图 3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单C位力状态。5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： NQ,RiFM实际荷载作用下，引起的内力： PP,位移计算一般公式 NQRiFduFdsc荷载作用产生位移的计算公式 PPPkMsssEAIGA1、梁或刚架结构 PdEI2、桁架结构 NFsAC1C求1V
2、求图 3-1 虚拟单位力状态lqCEI)a()b()c(2 结构力学典型例题解析3、混合结构 NPPFMdsdsEAI支座移动引起位移计算公式 Ric温度引起位移计算公式 N0tFtdxMdxh0ttlA式中： ，h 截面高度0,tt为 线 膨 胀 系 数 形 心 温 度 温 差MA虚 拟 状 态 弯 矩 图 面 积有弹性支座情况的位移计算公式 PRP0RFdsEIkAy5-1-3 图乘法图乘法公式： 0P()AyMdxEII图乘法公式条件：等截面直杆且EI=常数求 y 0图形必须为一条直线正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、明
3、了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。PMA面 积0yCEIyx形 心o图 3-2 图乘法示意图第 3 章 静定结构位移计算 3llqEIAB例题 31 图【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图 b 所示） 。构造单位力状态：每求一个位移重新画一个结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）画在结构相应位置处，标单位力值，即得到与所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图 c、d 所示
4、） 。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功，先作虚拟单位力产生的弯矩图（如图 c、d 所示） 。图乘法应用：为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。特别注意：计算面积的图形需要找形心位置，Mp 图 AC 杆面积用梯形减对称抛物线面积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的 AC 杆弯矩为常数，因此本题 AC 杆不用计算确切形心位置。正负号选择：面积弯矩图与弯矩 y 在相同一侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为负，就应取负号） 。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。(a) (b)
5、(c)(d)【例题 3-1】 计算图示结构 B 转角和 D 点竖向位移。CIABCDABCD1111MllMABCDPM图 312=qlA2l2ql20.5ql32ql3=l28ql2=ly103=y3y2【解】 求 B 截面转角：EIlqIyAEIyAdsM613210P（顺时针）求 D 点的竖向位移：0P431276VyMdsEIIAyql求 转 角 DV求 竖 向 位 移4 结构力学典型例题解析qEIAllB例题 32 图(a) (b)(c)(d)【例题 3-2】分别计算图示结构 A 点、B 点的竖向位移。C2I ABC1MPM图21.5ql123=ly 342=ql2l312qlA28
6、ql【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图 b 所示） 。构造单位力状态：A 点、B 点竖向位移所对应的虚拟单位力状态分别如图 d、c 所示。求 B 点竖向位移：图 b 和图 c 作图乘，图 AB 段为常数，M P 图 AB 段求面积 A2 不必确定形心位置； 图 BC 段为斜直线， MP图 BC 段求面积 A1，并确定形心位置，求对应的 图弯矩 y1。求 A 点竖向位移： 图 BC 段为直线， MP图 BC 段求
7、面积 A1，并确定形心位置，求对应图弯矩 y1。 图 AB 段为直线，M P 图 ABM段的面积分成三块面积如图 e 所示（两个三角形和一个对称抛物线） ，面积分别为A3、A 4、 A5，形心对应的 图弯矩y3、y 4、y 5。注意：BC 杆段抗弯刚度为 2EI，相应分母用 2EI。计算面积的图形，要确定形心位置，对应求弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常数时，求面积图形不必确定形心位置）【解】求 B 点的竖向位移：0P4123VAyMdsEIIAyql求 A 点的竖向位移： 0P43514322DVAydsEIIyqlEll2=yAC1123=lyl2lAB21.5ql2ql28l(e
8、)34ql 342=qlA31=lA35ly43ly52yB第 3 章 静定结构位移计算 5EI例题 33 图【分析】构造单位力状态：能够在转角上做功的力是力偶，与 A 截面转角位移对应的单位力状态如图 c 所示。虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟单位力产生的弯矩图（如图 c 所示） 。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图 b 所示） 。图乘法应用：本题两个弯矩图都为直线图形，可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，由于 AC 杆直接图乘形心不易计算， 本题对AC、 DB 杆件进行一些特殊处理，方法如下：将 D
9、B 杆件弯矩图搬到 AC 上面（如图虚线部分）变成 AF，两个图都是三角形，可以直接图乘，三角形的形心容易确定，这样 AC、 DB一次图乘就可以了；CE、 ED 两个杆件图乘结果相同，只需计算一个即可。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出后标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。符号选取：图形在同侧内力虚功为正值，位移与虚拟力方向相同。(a) (b)(c)【例题 3-3】 计算图示结构 A 的转角位移。各杆 EI=常数。MPM图1=Al28MlA12=3y【解】 求 A 截面转角：0P123()4AyMdsEIIyll顺 时 针2llMABCDBCD0.50.5ABCD
10、0.50.5I21=3y EEFF6 结构力学典型例题解析例题 34 图【分析】构造单位力状态：重新画一个结构（如图 c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处 I 点，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态（如图 c 所示） 。作荷载、单位力轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的轴力图（如图 b、c 所示） 。位移计算公式应用：桁架结构位移计算仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负） ，对于杆件是等截面同材料，不需要作积分运算，对所有杆件求和即
11、可，要注意使用每个杆件的长度、弹性模量、面积。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，BJ 杆件轴力在 B 处分解成X、 Y 方向再对 A 点取矩可以方便求得；其它杆件轴力利用结点法按照 A、 C、 E、 D、 F、 G、 I顺序列投影平衡条件得到。ED、 GF 两个杆件为零杆，可先求得 。(a) (b)(c)【例题 3-4】 计算图示结构 I 点竖向位移。各杆 EI=常数。NF NPF图ABCD1l llllPFGIJE PFP 2PFP43P2103F1.5 2FP43PF0P23FPP3FP
12、P2300.1020.51.2.5220.1.5.5. 24【解】 NPNPPPP1024(103(.5)4.5)(22()3310.51.(2(0.5(4)4.26(IVFFdslEAlFlEAlEA第 3 章 静定结构位移计算 7a例题 35 图【分析】构造单位力状态：每个位移重新画一个结构（如图 b、c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求 A 处角位移的单位力状态如图 b 所示，求 C 点水平位移的单位力状态如图 c 所示。静定结构因支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形。虚拟力状态的内力也就不做内力虚功，在此情况下不需要作内力
13、图，虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功；只需要求出对应有支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图 a 体系的几何组成为三刚片类型结构，也称作三铰刚架。计算反力要用双截面法取两次隔离体，本题只需要 B 支座反力 ,计算过程为：(1)先取整体 ACDB 隔离体，对 A 点列力矩平衡条件，求出 B 竖向反力；(2)再取一个刚片 EDB 隔离体，对 E 点列力矩平衡条件，求出 B 水平反力。正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注意：位移计算公式
14、支反力虚功前面的负号，是公式自带的。本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式左端，移到右端加负号。(a) (b)(c)【例题 3-5】 图示结构 B 支座发生沉降,计算 A 的转角位移和 C 点水平位移。M【解】 A 的转角位移：12()RillFcab（位移方向与虚拟单位力相同，顺时针）C 点水平位移： 0.51RiHFcab（位移方向与虚拟单位力相反，向左）2llABCDABD1ABCD0.51b1l12l1EEE8 结构力学典型例题解析llEI PM图M图B例题 36 图(a) (b)(c) (d)【例题 3-6】计算图示结构 B 转角和 A 点水平位移（其中弹簧刚度为 k） 。CA32y3
15、EIlkPFPFl2=1PAFl BCPF2=PAFlBCA1 M图 BCA1l1l【解】求 A 点的水平位移：PRP0R312P5HBMFdsEIkyAlIkEI（位移方向：向右）求 B 截面的转角位移：PRP0R22P56BMFdsEIkAylFIkI（位移方向：逆时针）1【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图 c、d 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求 B 处角位移的单位力状态如图 c 所示，求A 点水平位移的单位力状态如图 d 所示。内力虚功：刚架在荷载作用下的位移计算，计算虚内力在实际弯曲变形上所做的内力虚
16、功，为此，需要作荷载、单位力产生的弯矩图。弹性支座计算：可以将弹性支座的弹簧当作结构的一部分；单位力产生的弹性支座反力 ，在弹簧变RF形 上做内力虚功，其内力虚功等于力 乘以位移，弹簧位移 等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度（ ） 。也可以将弹性支座按支座移动处理。RPFk位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注意：弯矩图在图乘时求面积 A 图与 y 在同一侧取正号，在不同侧取负号。弹簧内力虚功符号：两个支座反力 、 方向RFP相同做正功，方向相反做负功。=23y =23yl=123yl RPBFRBFl RBF第 3 章 静定结构位移计算 9ll M图B例题 37 图
17、(a)(b)(c)【例题 3-7】计算图示结构 B 转角和 C 点水平位移。已知线膨胀系数为 。CA102hBA BCA-1011lM图【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图 b、c 所示） ，将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求 B 处转角位移的单位力状态如图 b 所示，求 C 点水平位移的单位力状态如图 c 所示。作内力图： 对刚架由于温度改变引起的位移计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向变形两种因素对位移的影响，也就是要计算虚拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力图（如图 c、
18、d 所示） ；轴力标在杆件一侧。内力虚功正负号选择：弯矩图面积和杆件两侧温度差都取正值，杆件温度升高大的一侧与弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不同侧时取负号。轴力以拉力为正（压力为负） ，符号不用选择。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 注意：若杆件截面不对称时截面形心不在中间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面是否对称无关。【解】 1020()5,15ACBCttt3B 截面的转角位移： N0tFtdxMdxh5(1)2lAllh（转角位移方向：顺时针）C 点水平位移：N0HtFtdxMdxh02251ttlAlhll（
19、水平位移方向：向右）10NF图 NF图0=12l 2=Al10 结构力学典型例题解析ll PM图M图 B例题 38 图(a) (b)(c) (d)【例题 3-8】计算图示结构 C 点和 E 点的竖向位移。EI=常数，EA=常数。CA13ylPFPFl =12FlAllDGE BCPFPFlDGEBCADFGE M图 BCADGENF图 N图NF图1000 Pl23l 23l3l0P3l PFl【解】求 C 点的竖向位移：NPP031PVFdsdsEIAAylFlI求 E 点的竖向位移：NPP031PP()VFMdsdsIEAAylFlEII13yl【分析】构造单位力状态：求 C 点竖向位移的单位力状态如图 c 所示，求 E 点竖向位移的单位力状态如图 d 所示。作内力图： 对组合结构梁式杆件作弯矩图、桁架杆件作轴力图，FG 杆件当作梁式杆件处理（如图 b、c 所示） 。位移计算：梁式杆利用图乘法求，正负符号选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力为负）正负符号，代入。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 结构内力计算：本题为组合结构，其几何组成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部分为桁架。内力计算时按照先附属后基本的顺序进行。当附属部分不受外力时，也没有内力。注意：FG 杆件有弯矩，按照梁式杆计算。
