1、- 1 -解析几何知识点总结第一部分 :直线1、 直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角 。(2)范围：（ 0,180）2.斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 .k=tan（ 1） .倾斜角为 90的直线没有斜率。（ 2） .每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 轴时，x其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3 ）设经过 A（x1,y1）和 B（x2,y2）两点的直线的斜率为 K，则当 X1X2 时，k=tan=Y1-
2、Y2/X1-X2；当 X1=X2 时，=90；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点 P（x 0,y0）及直线的斜率 k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意： 当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x=x0；2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 ，斜率为 ，则直bk线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2 ）两点，且（X1X2，y1 y2）则直
3、线的方程：；1212xy注意：不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式 时，方程可以适应在于0)()(1212 xyx任何一条直线。4 截距式：若已知直线在 轴， 轴上的截距分别是 a，b（a0，b0 ）则直线方程：y；1byax注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为 x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B 不同时为零） ；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。3、 两条直线的位置关系位置关
4、系 2211:bxkyl 0:2211CyBxAl- 2 -平行 ，且21k21b(A1B2-A2B1=0)21CA重合 ，且2121 2121相交 21k21BA垂直 21 01设两直线的方程分别为： 或 ；当 或221:bxkyl:02211CyBxAl 2k时它们相交，交点坐标为方程组 或 解；121BA21bk021yx5、点到直线的距离公式：1.点 P(X0，Y0)到直线 L:Ax+By+C=0 的距离为： ；20|BACyxd2.两平行线 L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0 的距离为： ；21|六、直线系：（1）设直线 L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2
5、x+B2y+C2=0，经过 L1,L2 的交点的直线方程为（除去 L2） ；0)(221CyBxACyBxA如：Y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过 y-1=0 与 x=0 的交点(0,1)除去 x=0 的直线方程。直线 L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5 恒过一个定点 。（2）和 L:Ax+By+C=0 平行的直线为 Ax+By+C1=0（3）与 L:Ax+By+C=0 垂直的直线为 Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 A（a.b）关于 C（c,d）的对称点（2c-a,2d-b）直线关于点的对称：、在已
6、知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再- 3 -由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用 L1/L2 由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线 关于点 对称的直线 的方程。0632:1yxl )1,(P2l（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点 关于直线 对称的坐标。)5,3(A043:yxl直线关于直线对称：（设 关于 对称）ba,l、若 a.b 相交，则 a
7、 到 L 的角等于 b 到 L 的角；若 aL，则 bL，且 a.b 与 L 的距离相等。、求出 a 上两个点 关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程。BA,l、设 为所求直线直线上的任意一点，则 关于 的对称点 的坐标适合),(yxPPlP的方程。如：求直线 关于 对称的直线 的方程。042:a0143:yxl b第二部分：圆与方程2.1 圆的标准方程： 圆心 ，半径22)()(rbyx ),(baCr特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： .22yx2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3) 点在圆内
8、dr2.给定点 及圆 .),(0yxM22)()(:byaxC 在圆 内 在圆 上 0rMC2020)()rbyax（ 在圆 外 22)(yx2.3 圆的一般方程： .0FED当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 .042FED2,EDC24FEDr当 时，方程表示一个点 .22,- 4 -当 时，方程无图形（称虚圆）.042FED注：（1）方程 表示圆的充要条件是： 且 且022 FEyDxCyBxA 0B0CA.2圆的直径系方程：已知 AB 是圆的直径 0)()(),(),( 212121 yxyxA2.4 直线与圆的位置关系： 直线 与圆 的位置关系有BA22)()(rbyax三种，
9、d 是圆心到直线的距离，( 2Cbad(1) ；(2) ；（3）0交r 0交r。d2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， 。dO21（1 ） ；（2） ；交交421rd 交交3r（3 ） ；（4） ； 121（5 ） ；交交210r外离 外切 相交 内切 内含2.6 圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径 r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出
10、切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7 圆的弦长问题：半弦 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2L 22dRL第三部分:椭圆一椭圆及其标准方程- 5 -1椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F 2距离的和等于常数 的点的轨迹叫做21Fa椭圆，即点集 M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F 1F2|=2c；这里两个定点 F1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（ 时为线段 ， 无轨迹） 。ca2221ca212标准方程： 2ab焦点在 x 轴上： （ab0） ； 焦点 F（c，0）12y焦点在 y 轴上： （ab0） ； 焦点 F（0
11、, c） 2xa注意：在两种标准方程中，总有 ab0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；22cb一般形式表示： 或者 21xymn),0(1nmnyx二椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆 （ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb12yx（2）椭圆 （ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa22.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a，0） ，A 2（a，0） ，B 1（0，-b） ，B 2（0，b）（2）线段 A1A2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于
12、 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ，即 称为椭圆的离心率，2ca- 6 -记作 e（ ） ， 奎 屯王 新 敞新 疆 10221()beace 越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；5椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab（2）点 在椭圆 的外部 .0(,)2()206.几何性质 （1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦） abAB2（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）： 其中2tan21bSFM1MF7 直线与椭圆的位
13、置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没 有 交 点相 离 有 一 个 交 点相 切 相 交有 两 个 交 点0(2)弦中点问题:（用点差法解决）斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于两点 是 AB 的中点，),0(12nmnymx ),(),(21yxBA、 ）（ 0,M则： 02yxkAB(3)弦长公式： 4)(121212xxky）（ ）（第四部分：双曲线双曲线 标准方程（焦点在 轴） 标准方程（焦点在 轴）y- 7 -)0,(12bayx )0,(12baxy第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对
14、值是常数（小于 ）的点的1F2 12F轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMF2121定义范围 ，xayR，yaxR对称轴 轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为2ab对称中心 原点 (0,)O1Fc2(, 1(0,)Fc2(,)焦点坐标焦点在实轴上， ；焦距：2ab顶点坐标 （ ,0） ( ,0)a(0, ,) (0， )a离心率 1)ec重要结论（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦） abAB2（2）焦点三角形： 2cottan221 bSFM渐近线方程xaby yx共渐近线的双曲线系方程（ ）kb20（ ）kba20xyP12xyP 1F2- 8 -补充知识点：等轴双
15、曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为 其中 C0；Cyx2（3）离心率 ；e（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结图象)0(2pxy )0(2pxy )0(2pyx )0(2pyx定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线Fl F的焦点，直线 叫做抛物线的准线。 =点 M 到直线 的距离l Fl范围 0,xyR0,xyR,0xy,0xRy对称性 关于 轴对称 关于 轴对称( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p焦点焦点在对称轴上顶点 (0,)O离心率 =1e准线方程 2px2px2
16、py2py焦点到准线的距离焦半径 1(,)Axy12pFx12pAFx12pAFy12pAFyxyOlF xyOlFlFxyOxyOlF- 9 -焦点弦 长 AB12()xp12()xp12()yp12()yp1. 直线与抛物线的位置关系直线 ，抛物线 ， ，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l0，直线 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 ： 抛物
17、线 ，lbkxy)0(p1 联立方程法：pxy2)(22bxp设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出)1yA2B021,x，bxkbxky)(12121 212)(在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦 AB 的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2b. 中点 , ， )(0xMx02 点差法：设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得),(1yA),(2B- 10 -121pxy22pxy将两式相减，可得 )()(212121xpy2121xya. 在涉及斜率问题时， 21ypkABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ，),(0yxM，02121 ypypxy即 ，0kAB同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点 是)0(2pyxlBA、 ),(0yxM弦 的中点，则有 pxkAB021（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
