1、第二章 设施选址10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批 ATM 自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图 2.13 所示。为了能确保任一村的人都可以在 20 分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?图 2.13 村落座落情况和相对距离要点： 1. 明确 N，M， ， 含义；() ()2. 分析正确后， 可参照 直接写出，无需再看网络图；() () ()3. 熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。 解：【集合覆盖模型】区域中需求点集合 N=1,2,3,4,5,6,7；ATM 取款机设施候选点集合 M=1,2,3,
2、4,5,6,7；由网络图确定候选设施点 j 可覆盖的需求点集合 和可覆盖需求点 i 的设()施节点的集合 ，见表 2.10.1。()2.10.1 候选点服务范围村落号 () ()1 1,2,3 1,2,32 1,2,4,5 1,2,4,53 1,3,4 1,3,44 2,3,4,6,7 2,3,4,6,75 2,5,6 2,5,66 4,5,6 4,5,67 4,7 4,7因为 =2,3,4,6,7，| |=5 为最大，故首先 =4。因无容量约束，指(4) (4) 派 2,3,4,6,7 归村落 4 服务。此时 N=1,5，M=1,2,3,5,6,7；则更新候选点服务范围，见表 2.10.2。
3、2.10.2 更新后的候选点服务范围村落号 () ()1 1 1,2,32 1,53 145 5 2,5,66 57因为 =1,5=N，恰好满足条件。则 =2。(2) 综上所述，银行需要 2 台自动取款机，分别至于村落号为 2 和 4 的位置，2 号为 1,5 村落服务，4 号为 2,3,4,6,7 村落服务。11. 个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在经过一定的精简之后，该公司有 5 个大的合作伙伴。在一个以 km 为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4) ，(4， 11)，(7 ，2)，(11 ，11)， (14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：w
4、l=3，w2=2， w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。1）请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。 要点：1. 补充交叉中值模型知识点关键句：将 n 点需求的选址问题转化为 点需求的选址问题。=12.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离；3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C 编程/
5、matlab 编程迭代+迭代终止条件解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y ),给题目已知的 5 个点编号 15。由于笛卡尔距离 =| - |+| - |。 则目标函数为时总运输距离 H 最短。|=5=1=5i=1| |+5=1| 4 3 3 4 3 34 2 5 11 2 57 2 7 2 2 711 4 11 11 4 1114 1 12 7 1 12为偶数，即 均在第六个、第七个点之间。=12 ,可得 ，=7 7,11。 =81。（2）设初始点为（ ）有题意得，阿基米德距离为0， 0= , (0) (0)2+(0)2目标函数 H(运输总费用)= ,5=1利用不动点算法，取一个初始的迭
6、代点（ , ）=(8,7),此时 =62.51(0)0(0)0 0令 = , , =(1)05=15=1 (1)0=5=15=1(1) (1)0)2+(1)0)2= =62.1415=1(1)由 EXCEL 迭代得，结果如图费用结果保留四位小数得最优解为x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为 H=62.1020（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地区以供选择。A 地的年固定成本为 800000 元，
7、可变成本为 14000 元/台；B 地的年固定成本为 920000 元，可变成本为 13000 元/台。产品最后售价为 17000 元/台。（1） 当产量为多少时，两地的总成本相等？（2） 当产量处于什么范围时，A 地优于 B 地？当产量处于什么范围时，B 地优于 A 地？解：答：设 x 为之制造商的年产量A 地，总成本 C(A)=800000+14000xB 地，总成本 C(B)=920000+13000x1)若两地成本相等，则 C(A)=C(B)解得：x=1202）若 A 地优于 B 地，则 C(A)120 时，B 地优于 A 地。13利用表 2.8 所示的因素评分，以最大综合得分为基础，
8、建模分析应选择地点 A、B、C 中的哪一个? 表 2.8 因素评分表解：权重矩阵设为 W，则 =0,15 0.20 0.18 0.27 0.10 0.10三个位置的因素评分作为 3 行构成因素矩阵 S。=80 72 88 94 98 9670 76 90 86 90 8560 92 90 80 82 75可得综合加权矩阵 E=S*W= 。87.0282.6280.90可知 E(A) E(B) E(C)。即选择 A 点。14.一个玩具制造商在全国的五个地区生产玩具，原材料将从一个新的中心仓库运出，而此仓库的地点还有待确定。运至各地的原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地的坐标位置如表 2.9 所
9、示。请确定中心仓库的坐标位置。表 2.9 各地的坐标位置解：设仓库的坐标为（ ,仓库到各生产地0， 0)，五个生 产 地 为 (,)的距离为 ,因运至各地的原材料数量相同，故可设 =1(=1,2,5） ;初始解： ，即 。nn()()j jx,y00110(0)=5， 0(0)=4直线距离为=(0) (0)2+(0)2目标函数运输总费用 H= ，其中5=1 =1(=1,2,5）(0)=5=1=13.6094根据下列进行迭代：= ， ， =(1)05=15=11 (1)0=5=15=11 (1) (1)0)2+(1)0)2直到运费无法减小。用 MATLAB 进行编码：运行结果得，迭代 78 次得
10、到最优解。其中选址坐标为（5.6235,4.9918） ，最小运费为 H=13.4550。或由 EXCEL 迭代得，结果如图费用结果保留三位小数得最优解为 X=5.5767，y=4.010,H=13.45615.某物流公司拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供应配送，各工厂的具体位置与年物料配送量见表 2.10，设拟建物流公司仓库对各工厂的单位运输成本相等。利用重心法计算确定物流公司的仓库坐标位置为多少。 表 2.10 各工厂的具体位置与年物料配送量解：设仓库的坐标为（ ,仓库到各生产0， 0)， 4个工厂的坐 标为 (,)地的距离为 ,目标函数运输总费用 H=(0)2+(0)2， 为工厂年配送量
11、， 为单位运输成本，因单位运5=1=5=1 输成本相等，故令 =1，于是有 1 =2000,2=1200,3 =1000,4=2500初始解 =37.5, =42.50=1 0=1= , (0) (0)2+(0)2此时 =192249.40令 = , , =(1)05=15=1 (1)0=5=15=1(1) (1)0)2+(1)0)2= =190400.415=1(1)由 EXCEL 迭代得，结果如图结果保留整数得最优解为（42.22076，33.82437）,H=188709或用 MATLAB 进行编码（文件见附件）：运行结果得，迭代 59 次得到最优解。其中选址坐标为（42.2865, 3
12、3.6732） ，最小运费为 H= 188707.914。16. 筹建一农副产品流通加工厂，可供选择的候选厂址有D、 E、F 三处，因地址不同各厂加工成本亦有区别，各厂址每年费用如表 2.7 所示。此外，为决定厂址还考虑了一些重要的非成本因素，如当地竞争能力、气候变化和周围环境是否适合农副产品流通加工等。对于竞争能力而言，F 地最强，D、E 两地相平；就气候来说，D 比 E 好，F 地最好；至于环境， E 地最优，其次为 F 地、D地。如果各主观因素的重要性指数 a、b、c 依次为 0.6、0.3 和 0.1，要求用因次分析法评定最佳厂址在何处。表 2.11 各候选厂址每年加工成本费用要点：P 中值法分 5 个步骤进行。解: （1）计算客观量度值 ， =11=523( 1523+1525+1551)1=0.3395同理可得： =0.3382,=0.3223。（2）计算主观评比值 （有 3 个不同的主观因素） 竞争能力（FD=E） 注：D=E，比较记为 0.5两两相比厂址 F E D 比重 D 0 0.5 0.5 0.167E 0 0.5 0.5 0.167F 1 1 2 0.666
