1、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1 ）一般 一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2 ）两根 当抛物线 与x轴有交点时，即对应二次好方程a有实根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式0cbxa1x2，二次函数 可转化为两根式)(acbay2。如果没有交点，则不能这样表示。)(21ya 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3 ） 顶点式： )0,()(2akhaxay是 常 数 ，知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量
2、取值范21xab2围 内，若在此范围内，则当x= 时， ；若不在此范围21xabcy4最 值内，则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x 的增大而21x增大，则当 时， ，当 时， ；如2ca最 大 1xcbxa12最 小果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当 时， ，当y1最 大 2时， 。cba2最 小知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a 时，y随x的增大而增大，简记左ab2减右增；（4 ）抛物线有最低点，当x= 时，y有最ab2小值， cy4最 小 值（1 ）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2 ）对
3、称轴是x= ，顶点坐标是（ab2， ）；c4（3 ）在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的增大而减小，ab2简记左增右减；（4 ）抛物线有最高点，当x= 时，y有ab2最大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义：)0,(2 bxa是 常 数 ， cb、a表示开口方向： 0时，抛物线开口向上0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助
4、，可以大大节省做题的时间）(必须理解记忆)说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2axbcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yhk hk关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc
5、 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk 2yaxhk关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 2hk 2hk关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永a远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式1.二次函数 ，二次项
6、系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2. 函数y= x2的图象叫 线，它开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 . 3. 把二次函数 配方成 的形式为 ，它的图象是 ，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。4. 将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（ ）.A. B. C. D. 5.如图所示的抛物线是二次函数 的图象，那么 的值是 6.已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为 7已知二次函数 的图象如图所示，则点 在第 象限 8.二次函数 ，当 时， 。此抛物线与x轴有 个交点。9 抛物线 的顶点坐标是 （ ）A. （0，1） B.（0
7、，-1） C.（1,0） D.（-1,0）10.二次函数 与x轴的交点个数是（ ）A0 B1 C2 D311.在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为（ ）2013遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b则M，N，P中，值小于0的数有（ ）A3个 B2个 C1个 D 0个 D0个分析：根据图象得到x=-2时对应的函数值小于0，得到N=4a-2b+c的值小于 0，根据对称轴在直线x=-1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b-c的符号解答：
8、解：图象开口向下，a0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，a0，b0，图象经过y轴正半轴，c0，M=a+b-c0当x=-2时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，对称抽大于-1b2a，2a-b0，P=2a-b0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P故选：A（ 2013漳 州 ） 二 次 函 数 y=ax2+bx+c（ a 0） 的 图 象 如 图 所 示 ， 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）A a 0 B b2-4ac 0C 当 -1 x 3时 ， y 0 D 对 称 轴 等 于 1分 析 ： 根 据 二 次 函 数 的 图 象 与 系 数 的 关 系 对 各 选 项 进 行 逐
9、 一 分 析 即 可 解 答 ： 解 ： A、 抛 物 线 的 开 口 向 上 ， a 0， 故 本 选 项 错 误 ；B、 抛 物 线 与 x轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， =b2-4ac 0， 故 本 选 项 错 误 ；C、 由 函 数 图 象 可 知 ， 当 -1 x 3时 ， y 0， 故 本 选 项 错 误 ；D、 抛 物 线 与 x轴 的 两 个 交 点 分 别 是 （ -1， 0） ， （ 3， 0） ， 对 称 轴 =1（ 2013张 家 界 ） 若 正 比 例 函 数 y=mx（ m 0） ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 则 它 和 二 次 函 数 y=mx2
10、+m的 图 象 大 致 是 （ ）A B C D分 析 ： 根 据 正 比 例 函 数 图 象 的 性 质 确 定 m 0， 则 二 次 函 数 y=mx2+m的 图 象 开 口 方 向 向 下， 且 与 y轴 交 于 负 半 轴 1+32解 答 ： 解 ： 正 比 例 函 数 y=mx（ m 0） ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 该 正 比 例 函 数 图 象 经 过 第 二 、 四 象 限 ， 且 m 0 二 次 函 数 y=mx2+m的 图 象 开 口 方 向 向 下 ， 且 与 y轴 交 于 负 半 轴 综 上 所 述 ， 符 合 题 意 的 只 有 A选 项 故 选 A（ 2
11、013岳 阳 ） 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 如 图 所 示 ， 对 于 下 列 结 论 ： a 0； b 0； c 0； b+2a=0； a+b+c 0 其 中 正 确 的 个 数 是 （ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个考 点 ： 二 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 分 析 ： 由 抛 物 线 的 开 口 方 向 判 断 a与 0的 关 系 ， 由 抛 物 线 与 y轴 的 交 点 判 断 c与 0的 关 系 ，然 后 根 据 对 称 轴 及 抛 物 线 与 x轴 交 点 情 况 进 行 推 理 ， 进 而 对 所 得 结 论 进 行 判 断 解 答
12、 ： 解 ： 如 图 ， 抛 物 线 开 口 方 向 向 下 ， 则 a 0 故 正 确 ； 对 称 轴 x=-b/2a=1， b=-2a 0， 即 b 0 故 错 误 ； 抛 物 线 与 y轴 交 于 正 半 轴 ， c 0 故 正 确 ； 对 称 轴 x=- b/2a=1 b+2a=0 故 正 确 ； 根 据 图 示 知 ， 当 x=1时 ， y 0， 即 a+b+c 0 故 错 误 综 上 所 述 ， 正 确 的 说 法 是 ， 共 有 3个 故 选 C（ 2013乌 鲁 木 齐 ） 已 知 m， n， k为 非 负 实 数 ， 且 m-k+1=2k+n=1， 则 代 数 式 2k2-8
13、k+6的 最 小 值 为 （ ）A -2 B 0 C 2 D 2.5解 答 ： 解 ： m， n， k为 非 负 实 数 ， 且 m-k+1=2k+n=1， m， n， k最 小 为 0， 当 n=0时 ， k最 大 为 ： 1/2 0 k1/2 2k2-8k+6=2（ k-2） 2-2， a=2 0， k 2时 ， 代 数 式 2k2-8k+6的 值 随 x的 增 大 而 减 小故 选 ： D（ 2013黔 西 南 州 ） 如 图 所 示 ， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 中 ， 王 刚 同 学 观 察 得 出 了 下面 四 条 信 息 ： （ 1） b2-4ac 0； （
14、 2） c 1； （ 3） 2a-b 0； （ 4） a+b+c 0， 其 中 错 误 的 有 （ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个分 析 ： 由 抛 物 线 的 开 口 方 向 判 断 a与 0的 关 系 ， 由 抛 物 线 与 y轴 的 交 点 判 断 c与 0的 关 系 ，然 后 根 据 对 称 轴 及 抛 物 线 与 x轴 交 点 情 况 进 行 推 理 ， 进 而 对 所 得 结 论 进 行 判 断 解 答 ： 解 ： （ 1） 图 象 与 x轴 有 2个 交 点 ， 依 据 根 的 判 别 式 可 知 b2-4ac 0， 正 确 ；（ 2） 图 象 与 y轴 的 交 点 在
15、 1的 下 方 ， 所 以 c 1， 错 误 ；（ 3） 对 称 轴 在 -1的 右 边 ， -b/2a -1， 又 a 0， 2a-b 0， 正 确 ；（ 4） 当 x=1时 ， y=a+b+c 0， 正 确 ；故 错 误 的 有 1个 故 选 ： A（ 2013茂 名 ） 下 列 二 次 函 数 的 图 象 ， 不 能 通 过 函 数 y=3x2的 图 象 平 移 得 到 的 是 （ ）A y=3x2+2 B y=3（ x-1） 2 C y=3（ x-1） 2+2 D y=2x2分 析 ： 根 据 平 移 变 换 只 改 变 图 形 的 位 置 不 改 变 图 形 的 形 状 与 大 小
16、对 各 选 项 分 析 判 断 后 利用 排 除 法 求 解 解 答 ： 解 ： A、 y=3x2的 图 象 向 上 平 移 2个 单 位 得 到 y=3x2+2， 故 本 选 项 错 误 ；B、 y=3x2的 图 象 向 右 平 移 1个 单 位 得 到 y=3（ x-1） 2， 故 本 选 项 错 误 ；C、 y=3x2的 图 象 向 右 平 移 1个 单 位 ， 向 上 平 移 2个 单 位 得 到 y=3（ x-1） 2+2， 故 本 选 项 错 误 ； D、 y=3x2的 图 象 平 移 不 能 得 到 y=2x2， 故 本 选 项 正 确 故 选 D（ 2013聊 城 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y= 经 过 平 移 得 到 抛 物 线 y=2x， 其 对 称 轴 与 两 段 抛 物 线 所 围 成 的 阴 影 部 分 的 面 积 为 （ ）A 2 B 4 C 8 D 16
