1、绝密启封并使用完毕前2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 则 （ ）2,Ax3,BxAB( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 323x53x（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）（A） （B）221xy2211xy（C） （D） （3）下列函数中为偶函数的是（ ）（A
2、） （B） （C） （D）2sinyx2cosyxlnyx2xy（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年人数为（ ）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300类别 人数老年教师 900中年教师 1800青年教师 1600合计 4300（5） 执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6（6）设 是非零向量， “ ”是“ / ”的（ ,ababab）（ A） 充 分 而 不 必 要 条 件（ B） 必 要 而 不 充 分 条 件（C） 充分必要条
3、件（D） 既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）(A) 1 （B） （B） (D) 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为（ ）加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日 12 350002015 年 5 月 15 日 48 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程（A）6 升 （B）8 升 （C）10 升 （D）12 升第二部分（非选择题共 110 分）2、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）复数 的
4、实部为 1i（10） 三个数中最大数的是 32,log（11）在 中， 则 ABC23,6,3abAB（12）已知 是双曲线 的一个焦点，则 2,0210yxb（13）如图， 及其内部的点组成的集合记为 D， 为 D 中任意一点，则 的最大ABC,Pxy23zxy值为 （14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出
5、文字说明，演算步骤或证明过程）（15） （本小题 13 分）已知函数 .2sin3sixfx（）求 的最小正周期；fx（）求 在区间 上的最小值。f20,3（16） （本小题 13 分）已知等差数列 满足na12430,2.aa（）求 的通项公式；n（）设等比数列 满足 ；问： 与数列 的第几项相等？nb237,ab6bna（17） （本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买。商品顾客人数甲 乙 丙 丁100 217 200 300 85 98 （）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（）估计
6、顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18） （本小题 14 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，VABCVABCV,且 , 分别为 的中点。ACB2COM,ABV（ ） 求 证 : /平 面 ;V（ ） 求 证 ： 平 面 平 面 ;V（）求三棱锥 的体积。A（19） （本小题 13 分）设函数 。2ln,0xfk（I）求 的单调区间和极值；fx（II）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点。ffx1,e(20)(本小题 14 分)已知椭圆 ： ,过点 且不过点 的直线与椭圆 交于
7、 两C23xy0,1D2,1EC,AB点，直线 与直线 交于点 。AE3xM（1）求椭圆 的离心率；C（II）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；BB（III）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由。DE绝密考试结束前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1 ） A （2 ）D （3）B （4）C （5 ）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10） （11） （12） （13） （14）乙 数学2log3三、解答题（共 6 小题，共 80 分
8、）（15） （13 分）解：（） sincosfxx2i3的最小正周期为 .fx2（） 0,33当 时，即 时， 取得最小值.x2xfx所以 在 上的最小值为f0,33.f(16)(共 13 分)解：（）设等差数列 的公差为 .nad432,.又 12110,0,4.aada42nn（）设等比数列 的公比为 .bq2328,16,a14.q66b由 28,3.n与数列 的第 63 项相等.6a（17 ） （共 13 分）解：（ ）从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 20.1（）从统计表可以看出，在这 1000 位
9、顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 0.3（）与（）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ，20.1顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ，30.6顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ，.0所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18 ） （共 14 分）解：（ ）因为 分别为 的中点，,OM,ABV所以又因为 平面 ,VC平面所以 平面BO（）因为 ， 为 的中点， ACA所以 .O又因为平面 平面 ，且 平面 ，VC
10、ABC平面 平面 BB所以 平面 ，又因为 平面OCVABOCM所以平面 平面M（）在等腰直角 中，2,所以 2,1.ABOC所以正 的面积V3.VABS又因为 平面 ，所以 ,133CVABVABOS又因为 , 所以 .VABCVAB3VABC(19) (共 13 分 )解：（）由 2ln0xfk所以 的定义域为f,2 .kxfx令 解得0,f与 在区间 上的情况如下：x,kk,kfx0减 1ln2k增所以， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；fx0,k,k在 处取得极小值 .fkf1ln2（）由（）知， 在区间 上的最小值为 .fx0,fk1ln2k因为 存在零点，所以 ，所以 .f1ln
11、2ke 当 时， 在区间 上单调递减，且 .kefx,e0f所以 是 在区间 上的唯一的零点.1 当 时， 在区间 上单调递减，且kefx0,e1,0.22ekff所以 在区间 上仅有一个零点.f,综上可知：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点。xfx1,e(20) (共 14 分 )解：（）椭圆 的标准方程为C21.3xy所以 ,a1b.c所以椭圆 的离心率C6.3ea（）因为直线 过点 且垂直于 轴， 所有可设AB1,0Dx11,.AyB直线 的方程为 .E12y令 ， 得 .3x1,2M所以直线 的斜率 .B13Byk（）直线 与直线 平行，证明如下：DE当直线 的斜率不存在时，由（ ）可知 .AB1BMk又因为 的斜率 所以DE10.2DEkDE当直线 的斜率存在时，设其方程为AB1.ykx设 则直线 的方程为12,xyAE12.yx令 ， 得点 .3x13,2xyM由 得21ykx223630.kxk所以 212613kx直线 的斜率 .BM123Bxyk因为 1212133BMxkxxk12123xx2221303kx所以 ， 所以1BMDEkBE综上所述，直线 与直线 平行.
