1、A BCPO xy例题定义类1，已知 12(5,0)(,F，一曲线上的动点 P到 21,F距离之差为 6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足 ，二要注意是一支还是两支12|aF， P的轨迹是双曲线的右支.其方程为 )0(1692xyx12|60PF2 双曲线的渐近线为 xy3，则离心率为 点拨：当焦点在 x 轴上时， 2ab， 13e；当焦点在 y 轴上时， 23ba， 1e3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定
2、当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0 ） ，B（1020，0） ，C（0，1020）设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为y=x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点
3、的双曲线 12byax上，依题意得 a=680, c=1020， 13405681222yxacb故 双 曲 线 方 程 为用 y=x 代入上式，得 ，|PB|PA|, 1068),5680,(,5680, POPy故即答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 m1068处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设 P 为双曲线 12yx上的一点 F1、F 2 是该双曲线的两个焦点，若 |PF1|：|PF 2|=3：2，则PF 1F2 的面积为（ ）A 36B12 C 31D24解析： 2:|:,13,2,11PFcba由 又 ,|21aPF由、 解得 .4|,6|
4、21,5|,| 21221FPF为21直角三角形， .1246|2121 PFSFP故选 B。5 如图 2 所示， 为双曲线 9:yxC的左焦点，双曲线 上的点 i与 3,217i关于 y轴对称，则 FPFP654321的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 615243，选 C6. P 是双曲线 )0,(12bayx左支上的一点，F 1、F 2 分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则 21FP的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A） a（B） b（C） c（D） cba解析设 21FP的内切圆的圆心的横坐标为 0x，由圆的切线性质知， axcxcPF0012 2|)(|7，若椭圆 与双曲线
5、 有相同的焦点 F1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则02nmyx21yab)(|PF1|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. a212mam【解析】椭圆的长半轴为 121mPF，双曲线的实半轴为 12aa，故选 A.21212144PFPFma：求双曲线的标准方程1 已知双曲线 C 与双曲线 162x 4y=1 有公共焦点，且过点（3 2，2）.求双曲线 C 的方程【解题思路】运用方程思想，列关于 cba,的方程组解析 解法一：设双曲线方程为 2x y=1.由题意易求 c=2 5.又双曲线过点（3 ，2） ， 2)3(a 24b=1.又 a2+b2=（2 5） 2， a2=12，
6、 b2=8.故所求双曲线的方程为 1x 8y=1.解法二：设双曲线方程为 k62 421，将点（3 2，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为 2x 8y1.2.已知双曲线的渐近线方程是 2xy，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为 24，当 0时，化为 142yx， 20145，当 0时，化为 142y， 20145，综上，双曲线方程为2105xy或 120x3.以抛物线 y382的焦点 F为右焦点,且两条渐近线是 03yx的双曲线方程为_.解析 抛物线 x的焦点 为 )0,32(，设双曲线方程为 2， 9)32(4，双曲线方程为 1392yx4.已知点 (
7、,0)M， (,)N， (1,0)B，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 、 N与圆 C相切的两直线相交于点 P，则 P点的轨迹方程为A21()8yxxB21()8yxxC2yx（x 0） D2()10yxx解析 2BNMP， P点的轨迹是以 M、 N为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支，选 B与渐近线有关的问题1 若双曲线 )0,(12bayx的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. 3 C. 5 D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 cba,的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故 2， 5122ae,所以 e【名师指引】双曲线的渐近线与离心
8、率存在对应关系,通过 cb,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线2149xy的渐近线方程是 ( )A. 3 B. 49yx C. 32yx D. 94yx解析选 C3.焦点为（0，6） ，且与双曲线 12yx有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A 124yx B 41 C 124xy D 124yx解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选 B4，过点（1，3）且渐近线为 的双曲线方程是xy2【解析】设所求双曲线为 14k点（1，3）代入： .代入（1）：359k即为所求.225443xyxy【评注】在双曲线 中，令 即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双
9、曲线为21xyab20xyxyabab，而无须考虑其实、虚轴的位置.2xykab5 设 CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为 ，221xya直线 CD：y=m.代入（1）： .故有：2m.22,CxmDx取双曲线右顶点 .那么：,0BaXOYC DA B2 2, ,BCxmaBDxma.即CBD=90.220,BCD 同理可证：CAD=90.几何1 设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（ P21yx12F， 12|:|3:PF12PF）A B C. D6334【解析】双曲线的实、虚半轴和半
10、焦距分别是： .设；1,2,1abc12123,. ,.PFrrPFr于是 ，2121216,4.5F故知PF 1F2 是直角三角形，F 1P F2=90. .选 B.12 64PS求弦1 双曲线 的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为 （ ）2yxA. B. C. D. 2xy32xy32xy【解析】设弦的两端分别为 .则有：1,2,AB.2221 1212110xy yxxyy弦中点为（2，1） ， .故直线的斜率 .124y1212xkyXYOF1 F2P2r则所求直线方程为： ，故选 C.1223yxyx“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，
11、只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是， “设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2 在双曲线 上，是否存在被点 M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.12yx如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 2222114302yxxx这里 ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.640此外，上述解法还疏忽了一点：只有当 时才可能求出 k=2.若 .说明这时直线与双曲线只有一个12x12120xy， 必 有公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.换
12、远（压轴题）1 如图，点 为双曲线 的左焦点，左准线 交 轴于点 ，点 P 是 上的一点，已知 ，且线段 PF 的中点FClxQl 1|FQP在双曲线 的左支上.M（）求双曲线 的标准方程；（）若过点 的直线 与双曲线 的左右m两支分别交于 、 两点，设 ，当ABFA时，求直线 的斜率 的取值范围. ),6k【分析】第（）问中，线段 PF 的中点 M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点 M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（）中，直线 的斜率 是主要变量，其它包括 都是辅助变量. 斜率 的几何意义是有关直线倾斜角 的正切，所以设置mk k直线 的参数方程，
13、而后将参数 用 的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】 （）设所求双曲线为： .其左焦点为 F（-c。0） ；左准线： .21xyab2axc由 ，得 P（ ，1） ；由|1Q2c 222| 1.abFQccFP 的中点为 .代入双曲线方程：2,aMc24ca224ca22b根据（1）与（2） .所求双曲线方程为 .22,1acabc2xy（）设直线 的参数方程为： .代入 得：mosinxty2 22cosincs4s03tttt当 ，方程（3）总有相异二实根，设为22016o818时 ，. 12124cs.ott ， 那 么已知直线 与双曲线 的左右两支分别交于 、 两点，mCABFA与
14、 同 向 ，.于是：210tFBA故 22121ttt.注意到 在 上是增函数，),6221149656t t（4）代入（5）：22224cos948cos9cs0coscs 22011sectan947k或AyxOMFPQBml双曲线 的渐近线斜率为 ，故直线 与双曲线 的左右两支分别交必须2xy1mC.综合得直线 的斜率 的取值范围是 .1k， mk17k， ，练习题1 已知中心在原点，顶点 A1、A 2 在 x 轴上，离心率 e= 的双曲线过点 P(6，6) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直
15、线 l 经过A 1PA2 的重心321G，与双曲线交于不同的两点 M、 N，问 头htp:/w.xjkygcom126.xckt126.hp:/w.jygo 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解 头htp:/w.xjkygcom126.xckt126.hp:/w.jygo (1)如图，设双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由已知得 ,解得 a2=9,b2=12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 所2ba 3,1622abeba
16、以所求双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 92(2)P、A 1、A 2 的坐标依次为(6,6) 、(3 ，0)、( 3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2）假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N (x2,y2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则有，k l= l 的方程为2121124984, 930xxyyy= (x2)+2,由 ,消去 y,整理得 x24x+28=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =164280,所求直线 l 不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
17、 34)2(3489xy2已知双曲线 12x,问过点 A（1，1）能否作直线 l,使 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l的方程，若不存在，说明理由。错解 设符合题意的直线 l存在，并设 ),(21xP、 ),(2yQ则 )2(1221yx（1） )(得 )(2121xx )3()(1212yy 因为 A（1，1）为线段PQ 的中点， 所以)5(421yx将(4) 、(5)代入（3）得 )(2211yxA1 A2M NGPoy x若 21x，则直线 l的斜率 21xyk 所以符合题设条件的直线 l存在。 其方程为 012yx 剖析 在（3）式成立的前
18、提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6) 式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由12yx得 0342x 根据 08,说明所求直线不存在。3 已知点 N（1，2） ，过点 N 的直线交双曲线 于 A、B 两点，且 （1）求直线 AB 的方程；（2）若过 N12yx )(21OBAN的直线 l 交双曲线于 C、D 两点，且 ，那么 A、B、C 、D 四点是否共圆？为什么？0解：（1）设直线 AB： 代入 得 （）)1(xky12yx 02)()()(2 kxkx令 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）
19、 ，则 x1、x 2 是方程的两根 且 02221 N 是 AB 的中点 )(ON 12x k = 1 AB 方程为：y = x + 1 2)2(k（2）将 k = 1 代入方程（）得 或 由 得 ， ，03x31xy042y)0,1(A CD 垂直平分 AB CD 所在直线方程为)4,3(B0ABCD即 代入双曲线方程整理得 令 ， 及 CD 中点 则xyy3 0162x),(3C),(4xD),(0yxM， ， ， 64314x3430xy|CD| = ， ，即 A、B 、C、D 到 M 距离相等1012|CDMC 102|MBA A、B、C、D 四点共圆4. 已知椭圆 1532nymx和双曲线 132nymx有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程（2）直线 l过焦点且垂直于 x 轴，若直线 l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 4，求双曲线的方程解析（1）依题意，有 22353n，即 28n，即双曲线方程为2163xyn，故双曲线的渐近线方程是206xyn，即 x4，
