1、1初中数学规律题题型与解题方法（一）数列或数式的找规律一、基本方法 看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数可以表示为：a+（n-1）b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅， （n-1）b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式 a+（n-1）b。 强调：均匀变化的数列规律可用待定系数法来求一次函数的解析式来求解。 例：4、10、16、22、28、，求第 n 位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅相都是 6，所以，第 n 位数是：4+（n-1）66n-2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增
2、幅的增幅相等，也即增幅为等差数列） 。如增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第1 位数加上总增幅即是第 n 位数。举例说明：2、5、10、17、，求第 n 位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅是：3+2（ n-2）=2n-1，总增幅为：3+（2n-1） （n-1） 2（n+1）（n-1）n 2-1。所以，第 n 位数是 2+ n2 -1= n2+1。此解法虽然
3、较烦，却是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出。强调：增幅不均匀变化的数列规律可尝试用待定系数法来求二次函数的解析式来求解，一定要验证。（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等） 。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律
4、写出的第 100 个数是 。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号：1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 n2 -1，第 100 项是 1002 -1。 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n2、n 3 或 2n、3 n 或 2n、3n有关。例如：1，9，25，49， （ ） ， （ ） ，的第 n 为（2n -1） 2（三）看例题：A： 2、9、 28、65、，增幅是 7、19、37、，增幅
5、的增幅是 12、18 ，答案与 3有关，即：n 3+1； B：2、4、8、16，增幅是 2、4 、8、，答案与 2 的乘方有关，即：2 n。（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一） 、 （二） 、 （三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4、16、36、64、？、144、196，？（第一百个数是多少）同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四） 、 （五）一样，有的可对每位数同加、或
6、减、或乘、或除同一数（一般为 1、2、3） 。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。2三、基本步骤：1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、如不相等，综合运用技巧（一） 、 （二） 、 （三）找规律；3、如不行，就运用技巧（四） 、 （五） 、 （六） ，变换成新数列，然后运用技巧（一） 、（二） 、 （三）找出新数列的规律；4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、 【典型例题】例 1、观察下列算式： ,6513,287,93,246541 用你所发现的规律
7、写出 的末位数字是_。20183例 2、观察下列式子：； ； ； ；64145542063653027请你将猜想得到的式子用含正整数 n 的式子表示来_。五、 【过关练习】1、观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 5，9，13，17， ， 。 4，5，7，11，19， ， 。 10，20，21，42，43， ， ，174，175。 60，63，68，75， ， 。 45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。 4，9，19，34，54， ， ，144。 6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。 0，1，1，2，3，5， ， 。 180，155，131，108， ， 。 5，15，
8、45，135， ， 。2、你能很快算出 吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为 5 的自然数的平方，任意一个个位数29为 5 的自然数可写成 10 +5，即求 的值（ 为自然数） ，你试分析 这些简n2)10(nn ,32,1n单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果） 。（1）通过计算，控索规律： 可写成 ； 可写成5225)1(625)1(0可写成 ； 可写成 ；253)13(02045)14(可写成 ； 可写成 67 78（2）从第（1）的结果，归纳、推测得： 2)5(n（3）根据上面的归纳、推测，请算出： 193、观察下列几个算式，找出规律：121=
9、4；12321=9；1234321=16；123454321=25；利用上面规律，请你迅速算出：1239910099321= 。据你会算出 123100 是多少吗？据上你能推导出 123 的计算公式吗？n4、给出下列算式：， ， ， ，观察上面的一183228163523824574832792系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。5、研究下列算式，你会发现有什么规律？3； ； ； 2413239124165251请将你找出的规律用公式表示出来： 。6、如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写： 所表示的数： 。 所表示的数： 。a
10、b7、已知下列等式： 131 2； 132 33 2； 132 33 36 2； 132 33 34 310 2 ；由此规律知，第个等式是 第 n 个等式是 8、将 1， ， ， ， ， ，按一定规律排成右表：2456试找出- 在第 行第 个数069、观察等式： ， ， ，194128619按照这种规律写出第 n 个等式： 10、将 1 至 1001 个数如下图的格式排列。用一个长方形框入 12 个数，要使这 12 个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989 是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1098796528726542
11、311143098 11、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 。12、观察下列各式： ， ， ，根据观察计算：13213521572 （n 为正整数）1357()n13、阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序 ab = n，可以使：（a+c） b= n+c，a （b+c）=n2c，如果 11=2，那么 20102010 = 14、下面两个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第3 位数字，后面的
12、每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是 。15、一组按规律排列的数： ， ， ， ， ， 请你推断第 9 个数是 419367251316、观察下列各式；、1 +1=12 ； 、2 +2=23； 、3 +3=34 ；请把你猜想到的规律用自然2 2数 n 表示出来 。17、观察下面的几个算式：、1+2+1=4； 、1+2+3+2+1=9； 、1+2+3+4+3+2+1=16；根据你所发现的规律，请你直接写出第 n 个式子 151ba15413210987615402 84 246224684
13、4 m6418、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第 2017 个数是 。19、有一列数： ，第 9 个数是 。41,3,20、计算：12345678910111219931994199519961997（二）图形找规律 “图形找规律”的一般步骤： 寻找数量关系； 用代数式表示规律； 验证规律。例 1、用火柴棒按下图的方式搭三角形填写右表：照这样的规律搭建下去，搭 n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？练习：1、四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？n 棱柱呢？2、问题 1、若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼
14、法？问题 2、若按右图方式摆放桌子和椅子：一张桌子可坐 6 人，2 张桌子可坐 人。按照上图方式继续排列桌子，完成下表：问题 3、如果按图 3 的方式将桌子拼在一起：2 张桌子拼在一起可坐多少人？3 张呢？n 张呢？教室有 40 张这样的桌子，按上图方式每 5 张拼成 1 张大桌子，则 40 张桌子可拼成 8 张大桌子，共可坐 人。在中，改成每 8 张桌子拼成 1 张大桌子，则共可坐 人。3、探索图表的规律：下面是 2000 年八月份的日历：日历中的绿色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？这个关系对任何一个月的日历都成
15、立吗？为什么？5你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？用代数式表示。 你还能提出那些问题？4、如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 点开始按 的ABCDEFGA顺序沿菱形的边循环运动，行走 2010 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点5、图 3-4是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图 3-4；再分别连结图 3-4中间的小三角形三边的中点，得到图 3-4，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。（1）将下表填写完整（2）在第 n 个图形中有_个三角形（用含 n 的式子表示） 。例 2、如图，把一个面积为 1 的正方形分等分成两个面积
16、为 的矩形，21接着把面积为 的矩形等分成两个面积为 的正方形，再把面积为 的414矩形等分成两个面积为 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：81。25664328142练习：1、把棱长为 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层 1 个，a第二层 3 个，按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 。2、观察下列图形并填表。个数 1 2 3 4 5 6 n周长 5 8 11 14 3、用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：（1）第 4 个图案中有白色地面砖 块；（2）第 个图案中有白色地面砖 块。n图形编号 1 2 3 4 5 三角形个数 1 5 9 3214
17、86112第三个第一个 第二个CA FDEBG64、下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有 个棋子，)2(n每个图案棋子总数为 S，按下图的排列规律推断，S 与 之间的关系可以用式子 来表示。n5、如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚棋子，摆第 n 个图案需要 枚棋子。6、如图， ，45AOB过 上到点 的距离分别为 1、3、5、7、 的点作 的垂线与 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S1、S 2
18、、S 3、S 4、则第一个黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，第 n（n 为正整数）个黑色梯形的面积 n7、搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图，图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管 8、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）四面体 4 7长方体 8 6 12正八面体 8 12正十二面体 20 12 30你发现顶点数（V） 、面数（ F） 、棱数
19、（E）之间存在的关系式是_。（2）一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是_。（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表三角形的个数为 个，八边形的个数为 个，求 的值。xyyx第 5 题图第 6 题四面体 长方体 正八面体 正十二面体71 条 2 条 3 条9、直线上有 2010 个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入 1 个点，经过 3 次这样的操作后，直线上共有个点。10、观察下列球的排列规律（其中是实心球， 是空心球）： ，从第 1 个球起到第 20
20、05 个球止，共有实心球 个11、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 45，第 1 次旋转后得到图，第 2 次旋转后得到图，则第 10 次旋转后得到的图形与图中相同的是 。12、如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图） ；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图） ；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形13、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正
21、方形再剪成四个小正方形，共得到 7 个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10 个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到 2017 个小正方形，则需要操作的次数是 次。14、电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=AC=BC=6 如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0 处，BP0=2 跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1（第 1 次落点）处，且 C P1= C P0；第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2（第 2 次落点）处，且 A P2= A P1；第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3（第 3 次落点）处，且 B P3= B P2；跳蚤按
22、照上述规则一直跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数） ，则点 P2016 与点 P2017 之间的距离为_15、一质点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OA 的中点 处，第二次从 点跳1A1动到 O 的中点 处，第三次从 点跳动到 O 的中点 处，如此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，12223A该质点到原点 O 的距离为 。16、如下图是小明用火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼”，则搭 n 条“金鱼”需要火柴 根.第 13 题AB CP0P1P2P3第 14 题图8图 1 图 2 图 3 第 21题 图 17、如图，在图 1 中，互不重叠的三角形
23、共有 4 个，在图 2 中，互不重叠的三角形共有 7 个，在图 3 中，互不重叠的三角形共有 10 个，则在第 个图形中，互不重叠的三角 形共有 个（用含 的n n代数式表示） 。18、已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n（n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示） （1）当 n = 5 时，共向外作出了 个小等边三角形。（2）当 n = k 时，共向外作出了 个小等边三角形（用含 k 的式子表示） 19、观察图形，并完成下列表格：序号 1 2 3 n图形 （此空不填）的个数 8 24 的个数 1 4 20、如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖
24、按如下所示的规律，拼成若干个图案：（1）第 4 个图案中有白色地面砖_块；（2）第 n 个图案中有白色地面砖_块21、观察下面图形我们可以发现：第 1 个图中有 1 个正方形，第 2 个图中共有 5 个正方形，第 3 个图中共有 14个正方形，按照这种规律下去的第 5 个图形共有_个正方形。22、右上图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 块石子23、如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第 个图案所需花盆的总数是_ n* * * * * * * * * * * * * * * * *24、下面由火柴棒拼出的一列图形中，第 个图形由 个正方
25、形组成，通过观察可以发现：n（1）第 4 个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第 个图形中火柴棒的根数是 ；nn=3 n=4 n=5（第 18 题）n=1 n=2 n=3 n=49(3)(2)(1)32125、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线） 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕如果对折 n 次，可以得到 条折痕26、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_；第（n）堆三角形的个数为_.27、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第 5 个图案中白色正方形的个数
26、为 ；第 n 个图案中白色正方形的个数为_。28、 、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第 n 个图案中正方形的个数是 29、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案：（1）第 4 个图案中有白色纸片 张；（2）第 n 个图案中有白色纸片 张.30、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（ 1） 在 和 后 面 的 横 线 上 分 别 写 出 相 应 的 等 式 ；（ 2） 通 过 猜 想 写 出 与 第 n 个 点 阵 相 对 应 的 等 式 。31、如果依次用 分别表示图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）中三角形的个数，那么
27、1234,a；13,85,_第 1 个 第 2 个 第 3 个n=3n=2n=1 1=12； 1+3=2 2； 1+3+5=3 2； ； ；10如果按照，上述规律继续画图，那么 与 之间是：9a8，又 。98_a_n32、观察下列图形，则第 个图形中三角形的个数是（ ）A、 ；B 、 ；C、 ；D、第 1 个 第 2 个 第 3 个 2n44nn33、古 希 腊 著 名 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 把 1、 3、 6、 10、 ， 这 样 的 数 称 为 “三 角 形 数 ”， 而 把 1、 4、 9、16、，这样的数称为“正方形数” 从图 7 中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”
28、都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（ ）A、13 = 3+10 ； B、25 = 9+16；C36 = 15+21；D 、49 = 18+3135、在平面直角坐标系中，直线 l：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形 A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、正方形 AnBnCnCn1 ，使得点 A1、A 2、A 3、在直线 l 上，点C1、C 2、C 3、在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 36、把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成 4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么 2017，2018，2019
29、，2020 这四个数中_可能是剪出的纸片数.37、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10 个小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，依次规律，第 6 个图形有 个小圆第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形38、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 -_块，第 个图形中需要黑色瓷砖_块（用含 的代数式表示） n n（1）（2）（3）39、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 n个图中所贴剪纸“”的个数为 4=1+3 9=3+6 16=6+10图 7
