1、二次函数专题复习一、二次函数与最值问题（面积最值、线段最值、周长最值）1.（2011 安顺）如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且A（一 1，0） 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判断 ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是 x轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求 m的值解：（1） b = 解析式 y= x2- x-2. 顶点 D ( , - ).（2）当 x = 0 时 y = -2, C（0，-2） ， OC = 2。 B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. ABC 是直角三角形.（3）作出点
2、C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，2） ， OC =2，连接 C D交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC + MD 的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E.EDy 轴, OC M=EDM,C OM=DEM C OM DEM. ， m = 解法二：设 直线 C D 的解析式为 y = kx + n ,则 ，解得 n = 2, . . 当 y = 0 时， ， . .2、 （09 江津）如图，抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在
3、点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将 A(1，0)，B(3，0)代 中得 抛物线解析式为：(2)存在 理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴对称直线 BC 与 的交点即为 Q 点， 此时AQC 周长最小 C 的坐标为：(0，3) 直线 BC 解析式为：Q 点坐标即为 的解 Q(1，2)（3）答：存在 理由如下：设 P 点 若 有最大值，则 就最大， 当 时， 最大值 最大 当
4、 时，点 P 坐标为3、 （2010 常德）如图，已知抛物线 与 轴交于 A (4,0) 和 B(1,0)两点，与 轴交于 C 点（1）求此抛物线的解析式；（2）设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF/AC 交 BC 于 F，连接 CE，当CEF 的面积是BEF 面积的 2 倍时，求 E 点的坐标;（3）若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标解：（1）故所求二次函数的解析式为 （2）S CEF =2 SBEF , EF/AC , ,BEFBAC, 得 E 点的坐标为( ,0
5、).（3） 的解析式为 若设 点的坐标为 ，又 点是过点 所作 轴的平行线与直线 的交点，则 点的坐标为（则有： 即当 时，线段 取大值，此时 点的坐标为（2，3）二、二次函数与等腰三角形、直角三角形4.（2011 湘潭）如图，直线 交 轴于 A 点，交 轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线交 轴于另一点 C（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3（2）y=-x 2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为 x=1设 Q 点坐标为（1，m） ，
6、则 ，又 .当 AB=AQ 时， ，解得： ，Q 点坐标为（1， ）或（1， ） ；当 AB=BQ 时， ，解得： ，Q 点坐标为（1，0）或（1，6） ；当 AQ=BQ 时， ，解得： ，Q 点坐标为（1，1） 抛物线的对称轴上是存在着点 Q（1， ） 、 （1， ） 、 （1，0） 、 （1，6） 、 （1，1） ，使ABQ 是等腰三角形5、如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0)和点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所
7、有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标6、 （2014兰州）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点
8、 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标考点： 二次函数综合题分析： （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出 m、n 的值即可；（2）由（1）的 解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出 CD 的值，再以点 C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作 CE 垂直于对称轴与点 E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出 BC 的解析式，设出 E 点的坐标为（a ， a+2） ，就可以表示出 F 的坐标，由四边形 CDBF 的面积=S BC
9、D +SCEF +SBEF 求出 S 与 a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答： 解：（1）抛物线 y= x2+mx+n 经过 A（1，0） ，C（0，2） 解得： ，抛物线的解析式为：y= x2+ x+2；（2）y= x2+ x+2，y= （x ） 2+ ，抛物线的对称轴是 x= OD= C（0，2） ，OC=2在 Rt OCD 中，由勾股定理，得CD= CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，CP 1=CP2=CP3=CD作 CHx 轴于 H，HP 1=HD=2，DP 1=4P 1（ ，4） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） ；（3）当 y=0 时，0= x2+ x+2x
10、1=1，x 2=4，B（4，0） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得，解得： ，直线 BC 的解析式为：y= x+2如图 2，过点 C 作 CMEF 于 M，设 E（a， a+2） ，F（a， a2+ a+2） ，EF= a2+ a+2（ a+2）= a2+2a（0x4） S 四边形 CDBF=SBCD +SCEF +SBEF = BDOC+ EFCM+ EFBN，= + a（ a2+2a）+ （4a） （ a2+2a） ，=a 2+4a+ （ 0x4） =（a2） 2+a=2 时，S 四边形 CDBF 的面积最大 = ，E（2，1） 7、 （2014 绵阳）如图，抛物线 ya
11、x 2bxc（a 0）的图象过点 M（2， ） ，顶点坐标为 N（1， ） ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线对称轴上的动点，当PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使 QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由分析： （1）先由抛物线的顶点坐标为 N（1， ） ，可设其解析式为 ya（x1） 2，再将 M（ 2， ）代入，得 a（ 21） 2 ，解方程求出 a 的值即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线 y x2 x 与 x 轴交点 A、B ，与 y 轴
12、交点 C 的坐标，再根据勾股定理得到 BC 2 设 P（1，m） ，显然 PBPC，所以当PBC 为等腰三角形时分两种情况进行讨论：CP CB； BPBC；（3）先由勾股定理的逆定理得出 BCAC，连结 BC 并延长至 B，使 BCBC ，连结BM，交直线 AC 于点 Q，由轴对称的性质可知此时QBM 的周长最小，由 B（ 3，0） ，C（0， ） ，根据中点坐标公式求出 B（3，2 ） ，再运用待定系数法求出直线 MB的解析式为 y x ，直线 AC 的解析式为 y x ，然后解方程组，即可求出 Q 点的坐标解答： 解：（1）由抛物线顶点坐标为 N（1， ） ，可设其解析式为 ya（x1） 2，将 M（2， ）代入，得 a（ 21） 2 ，解得 a ，故所求抛物线的解析式为 y x2 x ；（2）y x2 x ，x 0 时， y ，C（0， ） y0 时， x2 x 0，解得 x1 或 x3，A（ 1， 0） ，B（3，0） ，BC 2
