1、 1第一章反比例函数知识点：1.定义：形如 y （k 为常数，k0）的函数称为反比例函数。其中 xx是自变量，y 是函数，自变量 x 的取值是不等于 0 的一切实数。说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为 0 的常数，因此其解析式也可以写成 xy=k ； ； （k 为常数，k0）1kxyx3）反比例函数 y （k 为常数，k0）的左边是函数，右边是分母为自变量 x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是 x 的一次单项式，如 ， 等都是反比例函数，xy123但 就不是关于 x 的反比例函数。21xy2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由
2、于反比例函数 y 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出 k 的xk值，从而确定其解析式。3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，2使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图
3、像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线 y=x 和 y= x；对称中心是：原点5. 性质:反比例函数 y （k 为常数，k0）xk 的取值 k0 k0图像性质 a) x 的取值范围是 x0；y 的取值范围是 y0;b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大。a) x 的取值范围是 x0；y 的取值范围是 y0;b) 函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小。说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。2）
4、反比例函数图像的两个分只可以无限地接近 x 轴、y 轴，但与 x 轴、y 轴没有交点。3） 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直 越小，图象的弯曲度越大4）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上3图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲线的另一支上6. 反比例函数 y （k0）中的比例系数 k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两xk坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线 y （k0）上的任xk意一点 P（x , y）做 x 轴、y 轴的垂线 PA、PB，所得矩形 OBPA 的面积
5、S=PAPB=xy=k。推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为 2k7. 经典例题考察：1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果 xy=k（k0） ，那么 x 与 y 这两个量成反比例的关系，这里的 x、y 可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如 y1与 x+1 成反比例，则 ；若 y 与 x2 成反比例，则 成反比例关系，x 和 y 不一1k 2ky定是反比例函数；但反比例函数 （k0）必成反比例关系。2）坐标系中的求不规则图形的面积3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题8 反比例函数与一次函数的联系（1）双曲线的两个分支是断开的，研
6、究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论4（2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称8. 实际问题与反比例函数的应用1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型利用反比例函数解决相关问题，建立反比例函数模型是解决问题的关键。思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函数关系式，并解决问题。2）反比例函数的应用（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积（2）反比例函数在其他学科中的应用，a) 物理学中，
7、电压一定时，电阻 R 与电流强度 I 成反比例函数， RUIb) 当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 （单位：kg/m 3）是体积 的反比例函数，解析式可以表达为v vkc) 收音机刻度盘的波长 与频率 关系式: lffkl5d) 压力 F 一定时，压强 P 与受力面积 S 成反比例关系，即 SFPe) 当汽车输出功率 P 一定时，汽车行驶速度 与汽车所受的负载即阻力 F 成反比例关系，v(3) 反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。 v注：实际问题中一定要注意自变量 x 的取值范围。重点：反比例函数的概念的理解和掌
8、握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用难点：（1）反比例函数及其图象的性质的理解和掌握反比例函数的图像是双曲线，在利用它的增、减性解题时，必须注意“在每一象限内”的条件。（2）反比例函数的应用：从实际问题中抽象出反比例函数的模型。用待定系数法求出反比例函数的解析式，再用反比例函数的规律解决实际问题。考点：与反比例函数有关的问题，几乎在历届中考中都可以找到。其主要命题点为：（1）反比例函数的定义；（2）反比例函数的图像及性质；（3）求反比例函数的解析式；（4）反比例函数与实际问题的应用；（5）反比例函数与一次函数的综合。题型主要有选择题、填空题、还有解答题。二次函数知识点：1.定义：一般
9、地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2axy(1)抛 物 线 的 顶 点 是 坐 标 原 点 ， 对 称 轴 是 轴 .）（ 0y(2)函 数 的 图 像 与 的 符 号 关 系 .2 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ；0a 当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶 点 为 其 最 高 点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cbxay2 y64.二 次 函 数 用 配 方 法 可 化 成 ： 的 形 式 ， 其 中cbxay2 khxay2.kbh4，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几
10、种形式： ； ； ； ； .2axykaxy22hxaykhxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ：a当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 相 等 ， 抛 物 线 的 开 口 大 小 、 形 状 相 同 .00aa平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口a方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法： ，顶点是 ，abcxacbxy4222 ）
11、，（ abc422对称轴是直线 .(2)配 方 法 ： 运 用 配 方 法 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 的 形 式 ，khxay2得 到 顶 点 为 ( , )， 对 称 轴 是 .hkhx(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线 中， 的作用cbxay2ba,(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya(2) 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 .由 于 抛 物 线 的 对
12、 称 轴 是 直 线 ,故 ：b cbxy2 abx2 时 ， 对 称 轴 为 轴 ； (即 、 同 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 左 侧 ；0y0aby (即 、 异 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 右 侧 .aby(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.c cbxy27当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：0xcycbxay2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0c0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy
13、( 轴)0xy(0,0)k( 轴) (0, )k2hh( ,0)hxy x( , )cba2当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为( )ycbxay2 c,0(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbxay2 hcba2(3)抛物线与
14、 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbxay2 1x2的 两 个 实 数 根 .抛 物 线 与 轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别02cba x式 判 定 ：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.x(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点x同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，8设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图
15、像 的交点，由方0nxyl 02acbxyG程组的解的数目来确定：cbak2方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.l(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故 021， BA1x202xacb1, acbacxxx 44222121212113二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程 就是二次函数 当函数 y 的值为 0 时的情况cbxay2 cbxy2(2)二 次 函 数 的 图 象 与 轴 的 交 点 有 三 种 情 况 ： 有 两 个 交 点
16、 、 有 一 个 交 点 、 没有 交 点 ； 当 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 时 ， 交 点 的 横 坐 标 就 是 当2时 自 变 量 的 值 ， 即 一 元 二 次 方 程 的 根 0yx 02cbxa(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程cbay2有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个cxy2 cbxay2x交点时，则一元二次方程 有两个相等的实数根；当二次函数02x的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根014、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后
17、，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk92. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2axbcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；hk hk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 hk hk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk根据对称
18、的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式15.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；
19、(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等重难点：二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。考点：二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）值（4）抛物线 （a0）与 a,b,c 的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次2yaxbc10函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识
20、、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点：1.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。2.圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是圆的直径。90（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。3.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径） ；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。4.弧长及扇形的面积弧长公式：圆弧是圆的一部分，若将圆周分为 360 份，1的圆心角所对的弧是圆周长的 ，因为半1360
