1、 FE DCBA第三讲 正方形的性质与判定1、知识要点1正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等2 角的性质：四个角都是直角3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形3：四边相等, 有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方
2、形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、典型例题例 1 如图 12-2-14，已知过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于 E，作PF CD 于 F试说明 APEF 四四四四四四四四四四四四分析：由 PE BC，PFCD 知，四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需证APCP ，由正方形对角线互相垂直平分知 APCP 解：连结 AC、 PC，四边形 ABCD 为正方形，BD 垂直平分 AC，APCPPE BC，PFCD，BCD 90，四边形 PECF 为矩形，PC EF，APEF注意：在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等无论是正方形
3、还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中思考：由上述条件是否可以得到 APEF提示：可以，延长 AP 交 EF 于 N，由 PEAB，有NPEBAN又BAN BCP ，而BCP PFE ，故NPE PFE ，而PFEPEF90 ，所以NPE PEF 90，则 APEF 例 2 如图 12-2-15，ABC 中，ABC 90，BD 平分 ABC，DEBC，DFAB，试说明四边形 BEDF 是正方形解：ABC 90，DEBC，DE AB，同理，DF BC ，BEDF 是平行四边形BD 平分 ABC，DEBC ，DFAB，DE DF又ABC 90，BEDF 是平行四边形，四边形 BED
4、F 是正方形思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形 DFBE 为矩形，然后证 BEDE，可得另一种方法，可证四边形 DFBE 为菱形，后证一个角为 90可得)注意：灵活选择正方形的识别方法例 3 如图 12-2-16 所示，四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系在(1)图中，ABE 和DCE 都是等腰三角形，顶角都是 150，可得底角AEB 与DEC 都是 15，则BEC 为 30而在(2) 图中，等边三角形在
5、正方形内部，ABE 和DCE 是等腰三角形，顶角是 30，可得底角AEB 和DEC 为 75，再利用周角可求得BEC150解：(1)当等边 ADE 在正方形 ABCD 外部时，ABAE，BAE9060 150，所以AEB 15 同理可得DEC15，则BEC601515 30(2)当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时，ABAE，BAE9060 30，所以AEB 75同理可得DEC75，则BEC360 757560 150 【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现正方形是特殊的平行四边形，
6、考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现【常见错误分析】已知如图 12-2-18，ABC 中，C90，分别以 AC 和 BC 为边向外作正方形 ACFH和正方形 BCED，HMBA 的延长线于 M，DK AB 的延长线于 K试说明 ABDKHM错解：延长 DK 到 S，使 KSHM，连结 SB23 ，2 490，34 90在ABC 和SDB 中，ACB SBD90 ，BC BD，2 9045ABC 与SDB 重合，AB SDSKDK，即 AB HMDK分析指导：由于 S、B 、C 三点共线未经证明，所以2 3 的理由是不充足的，因此又犯了思
7、维不严密的错误正解：如图 12-2-18，延长 DK 交 CB 延长线于 S，下面证 KSMH 在ACB 和SBD 中，BD BC，SBD ACB90，又23 5 ，ACB 与SBD 重合，AB DS，BSAC AH 在BKS 和AMH 中，12 3 ，AMH SKB90，BSAH，BKS 与AMH 重合，KS HM，AB DKHM【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分3、作业正方形的判定一选择题（共 8 小题）1已知四边形
8、 ABCD 是平行四边形，再从 AB=BC，ABC=90，AC=BD，AC BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A选 B选 C选 D选2下列说法中，正确的是（ ）A相等的角一定是对顶角B四个角都相等的四边形一定是正方形C平行四边形的对角线互相平分D矩形的对角线一定垂直3下列命题中是假命题的是（ ）A一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C一组邻边相等的平行四边形是菱形D一组邻边相等的矩形是正方形4已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）当 AB=BC 时，它
9、是菱形； 当 ACBD 时，它是菱形；当ABC=90时，它是矩形；当 AC=BD 时，它是正方形A1 组 B2 组 C 3 组 D4 组5四边形 ABCD 的对角线 AC=BD，AC BD，分别过 A、B、C 、D 作对角线的平行线，所成的四边形 EFMN 是（ ）A正方形 B菱形 C矩形 D任意四边形6如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）AAB=AD 且 ACBD BAB=AD 且 AC=BD C A=B 且 AC=BD DAC 和BD 互相垂直平分7下列命题中，真命题是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂
10、直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形8如图，在ABC 中， ACB=90，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）ABC=AC BCFBF CBD=DF DAC=BF二填空题（共 6 小题）9能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 _ （填上一个符合题目要求的条件即可）10如图，在 RtABC 中， C=90，DE 垂直平分 AC，DFBC ，当ABC 满足条件 _ 时，四边形 DECF 是正方形 （要求： 不再添加任何辅助线， 只需填一
11、个符合要求的条件）11如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件： _ ，使得该菱形为正方形12如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是 _ 13已知四边形 ABCD 中，A= B=C=90，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 _ 14要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 _ 三解答题（共 8 小题）15已知：如图，ABC 中，ABC=90 ，BD 是ABC 的平分线，DEAB 于点E，DF BC 于点 F求证：四边形
12、DEBF 是正方形16如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点P 作 PMAD，PN CD，垂足分别为 M，N （1）求证：ADB=CDB ；（2）若ADC=90 ，求证：四边形 MPND 是正方形17如图，在 RtABC 中， ACB=90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、 BE（1）求证：CE=AD；（2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形
13、 BECD 是正方形？请说明你的理由18如图，在ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE（1）求证：四边形 ADCF 是平行四边形（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说明理由19如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接 MN，交 AB 于点 D、C 是直线 MN 上任意一点，连接 CA、CB，过点D 作 DEAC 于点 E，DF BC 于点 F（1）求证：AEDBFD ；（2）若 AB=2，当 CD 的值为 _ 时，四边形 DECF 是正方形20如图，AB 是 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 M，过点 M 作 MEA C，MFAD ，垂足分别为 E、F（1）求证：CAB= DAB；（2）若CAD=90 ，求证：四边形 AEMF 是正方形
