1、 12015 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分） （2015 广东）若集合 M=x|（x+4） （x+1 ）=0 ，N=x|（x 4） （x1）=0，则MN=（ ）A 1，4 B 1，4 C 0 D 考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 求出两个集合，然后求解交集即可解答： 解：集合 M=x|（x+4 ） （x+1）=0= 1，4，N=x|（x4） （x1）=0=1 ， 4，则 MN=故选：D点评： 本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力2 （5
2、 分） （2015 广东）若复数 z=i（32i ） （i 是虚数单位） ，则 =（ ）A 23iB2+3i C3+2i D 32i考点： 复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可解答： 解：复数 z=i（32i）=2+3i，则 =23i，故选：A点评： 本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3 （5 分） （2015 广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）Ay= By=x+ Cy=2x+ Dy=x+ex考点： 函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 直接利用函数的奇
3、偶性判断选项即可解答： 解：对于 A，y= 是偶函数，所以 A 不正确；2对于 B，y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确；对于 C，y=2 x+ 是偶函数，所以 C 不正确；对于 D，不满足 f（x）=f（x）也不满足 f（x）=f（x） ，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确故选：D点评： 本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查4 （5 分） （2015 广东）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）ABCD1考点： 古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有
4、专题： 概率与统计分析： 首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从 15 个球任取 2 球的取法，而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球 ”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可解答： 解：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ；基本事件总数为 105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A；则 A 包含的基本事件个数为 =50；P（ A）= 故选：B点评： 考查古典概型的概念，以及古典概型的
5、求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理5 （5 分） （2015 广东）平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是（ ）A 2x+y+5=0 或 2x+y5=0 B 2x+y+ =0 或 2x+y =0C 2xy+5=0 或 2xy5=0 D 2xy+ =0 或 2xy =0考点： 圆的切线方程菁优网版权所有专题： 计算题；直线与圆分析： 设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程解答： 解：设所求直线方程为 2x+y+b=0，则，3所以 = ，所以 b=5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0 或 2x+y5=0故选：
6、A点评： 本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题6 （5 分） （2015 广东）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最小值为（ ）A4 BC6 D考点： 简单线性规划菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值解答：解：不等式组 对应的平面区域如图：由 z=3x+2y 得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，则由图象可知当直线 y= x+ ，经过点 A 时直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 A（1， ） ，此时 z=31+2 = ，故选：B
7、点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的4关键7 （5 分） （2015 广东）已知双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为 F2（5，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ）A =1B =1C =1D =1考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程解答：解：双曲线 C： =1 的离心率 e= ，且其右焦点为 F2（5，0） ，可得： ， c=5，a=4，b= =3，所求双曲线方程为： =1故选：C点评： 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质
8、的应用，考查计算能力8 （5 分） （2015 广东）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ）A至多等于 3 B至多等于 4 C等于 5 D大于 5考点： 棱锥的结构特征菁优网版权所有专题： 创新题型；空间位置关系与距离分析： 先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断解答： 解：考虑平面上，3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于 4，也不成立；在空间中，4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若 n4，由于任
9、三点不共线，当 n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理 n5，不成立故选：B点评： 本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题5二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 ） （一）必做题（1113 题）9 （5 分） （2015 广东）在（ 1） 4 的展开式中，x 的系数为 6 考点： 二项式定理的应用菁优网版权所有专题： 计算题；二项式定理分析：
10、根据题意二项式（ 1） 4 的展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） r ，分析可得，r=1 时，有 x 的项，将 r=1 代入可得答案解答：解：二项式（ 1） 4 的展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） r ，令 2 =1，求得 r=2，二项式（ 1） 4 的展开式中 x 的系数为 =6，故答案为：6点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10 （5 分） （2015 广东）在等差数列a n中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25，则 a2+a8= 10 考点： 等差数列的通项公式菁优网版权所有专题： 计算题；等差数列与等比数列分析
11、： 根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出 a5 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将 a5 的值代入即可求出值解答： 解：由 a3+a4+a5+a6+a7=（a 3+a7）+ （a 4+a6）+a 5=5a5=25，得到 a5=5，则 a2+a8=2a5=10故答案为：10点评： 本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11 （5 分） （2015 广东）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若a= ，sinB= ，C= ，则 b= 1 考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 由 sinB= ，可得
12、B= 或 B= ，结合 a= ，C= 及正弦定理可求 b解答： 解： sinB= ，B= 或 B=6当 B= 时，a= ，C= ，A= ，由正弦定理可得，则 b=1当 B= 时，C= ，与三角形的内角和为 矛盾故答案为：1点评： 本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12 （5 分） （2015 广东）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言 （用数字作答）考点： 排列、组合的实际应用菁优网版权所有专题： 排列组合分析： 通过题意，列出排列关系式，求解即可解答： 解：某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此
13、给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 =4039=1560 条故答案为：1560点评： 本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键13 （5 分） （2015 广东）已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则 P= 考点： 离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可解答： 解：随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X ）=30，D（X ）=20，可得 np=30，npq=20，q= ，则 p= ，故答案为： 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及
14、方差的求法，考查计算能力14 （5 分） （2015 广东）已知直线 l 的极坐标方程为 2sin（ ）= ，点 A 的极坐标为 A（2 ， ） ，则点 A 到直线 l 的距离为 考点： 简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： 把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可7解答： 解：直线 l 的极坐标方程为 2sin（ ）= ，对应的直角坐标方程为：yx=1，点 A 的极坐标为 A（2 ， ） ，它的直角坐标为（2， 2） 点 A 到直线 l 的距离为： = 故答案为： 点评： 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线
15、的距离公式的应用，考查计算能力15 （2015广东）如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=4，EC 是圆 O 的切线，切点为C，BC=1过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于 D 和点 P，则 OD= 8 考点： 相似三角形的判定菁优网版权所有专题： 选作题；创新题型；推理和证明分析： 连接 OC，确定 OPAC，OP= BC= ，RtOCD 中，由射影定理可得OC2=OPOD，即可得出结论解答： 解：连接 OC，则 OCCD，AB 是圆 O 的直径，BCAC，OPBC，OPAC，OP= BC= ，RtOCD 中，由射影定理可得 OC2=OPOD，4= OD，OD=8故
16、答案为：8点评： 本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础8三、解答题16 （12 分） （2015 广东）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 =（ ， ） ，=（sinx，cosx） ，x（0， ） （1）若 ，求 tanx 的值； （2）若 与 的夹角为 ，求 x 的值考点： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： （1）若 ，则 =0，结合三角函数的关系式即可求 tanx 的值；（2）若 与 的夹角为 ，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值解答： 解：（1）若 ，则 =（ ， ） （sin
17、x，cosx ）= sinx cosx=0，即 sinx= cosxsinx=cosx，即 tanx=1；（2）| |=1，| |=1， =（ ， ）（sinx ，cosx ） = sinx cosx，若 与 的夹角为 ，则 =| | |cos = ，即 sinx cosx= ，则 sin（x ）= ，x（0， ） x （ ， ） 则 x =即 x= + = 点评： 本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础17 （12 分） （2015 广东）某工厂 36 名工人年龄数据如图：工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄12404410113
18、63119202743282934399345678940413340454243121314151617183839434539383621222324252627413734423744423031323334353643384253374939（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值 和方差 s2；（3）36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01%）？考点： 极差、方差与标准差；系统抽样方法菁优网版权所有专题： 概率与统计分析：
19、（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值 和方差 s2；（3）求出样本和方差即可得到结论解答： 解：（1）由系统抽样知，36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为 2，所有样本数据的编号为：4n2， （n=1，2，9） ，其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由平均值公式得 = （44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40由方差公式得 s2= （4440） 2+（4040） 2+（3740） 2= （3）s 2= s= （3，4） ，36 名工人中年龄在 s 和 +
20、s 之间的人数等于区间37，43的人数，即 40，40，41，39，共 23 人36 名工人中年龄在 s 和 +s 之间所占百分比为 63.89%点评： 本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础18 （14 分） （2015 广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3，点 E 是 CD 的中点，点 F、G 分别在线段 AB、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB （1）证明：PEFG ； （2）求二面角 PADC 的正切值；（3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值10考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角
21、；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）通过POC 为等腰三角形可得 PECD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得 PGAD，则PDC 为二面角 PADC 的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结 AC，利用勾股定理及已知条件可得 FGAC，在PAC 中，利用余弦定理即得直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角PAC 的余弦值解答： （1）证明：在POC 中 PO=PC 且 E 为 CD 中点，PECD，又 平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD=CD，PE平面 PCD，PE平面 ABCD，又 FG平面 ABCD，PEFG；（2）解：由（1）知 PE平面 ABCD， PEAD，又 CDAD 且 PECD=E，AD平面 PDC，又 PD平面 PDC， ADPD，又 ADCD，PDC 为二面角 PADC 的平面角，在 RtPDE 中，由勾股定理可得：PE= = = ，tanPDC= = ；（3）解：连结 AC，则 AC= =3 ，在 RtADP 中，AP= = =5，AF=2FB，CG=2GB，FGAC，直线 PA 与直线 FG 所成角即为直线 PA 与直线 FG 所成角PAC，在PAC 中，由余弦定理得cosPAC=
