1、江苏省扬州中学高二年级 12 月质量检测数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ）1命题“ 02,xR”的否定是_命题 （填“真”或“ 假”之一） 2双曲线1962y的两条渐近线的方程为 3 “m”是“直线 (2)10xmy和直线 30xmy垂直的” 条件(填“充要条件” 、 “ 充分不必要条件 ”、 “必要不充分条件” 、 “既不充分也不必要条件”之一)4已知函数 )1(2)(xff，则 )(f= 5若抛物线 28y的焦点 F 与双曲线213xyn的一个焦点重合，则的值为 6已知函数 axfsin)(在 ),(上单调
2、递增，则实数的取值范围是 7 若函数 x2l2在 处取得极大值，则正数的取值范围是 8 若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C，离心率为 2，且过点 (,3)，则曲线 C的方程为 9在平面直角坐标系 xoy中，记曲线),(2mRxy在 1x处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为 1，则 的值为 10设函数 ()f是奇函数 ()fR的导函数， (1)0f，当 时，()0xf，则使得 0x成立的的取值范围是 11在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x1) 2(y 1) 29，直线 l：ykx3 与圆C 相交于 A，B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2
3、为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范围为 12双曲线)0,(12bayx的右焦点为 F，直线xy34与双曲线相交于BA,两点.若 F，则双曲线的渐近线方程为 .2016.1213已知函数 2)(1xef（为自然对数的底数） 3)(2axg若存在实数 21,x，使得 0)(g且 121x，则实数的取值范围是 14设函数axef2)(，若 )(xf在区间 )3,(a内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本小题满分 14 分）已知命题 p：函数6)34()(23xa
4、xf在 ),(上有极值，命题：双曲线152axy的离心率 ),1(e若 qp是真命题， qp是假命题，求实数的取值范围16 （本小题满分 14 分）设函数 2lnxfk， 0（1）求 的单调区间和极值；（2）证明：若 fx存在零点，则 fx在区间 1,e上仅有一个零点 17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2:40Cxy及点 (1,)A， (,2)B（1）若直线平行于 AB，与圆 相交于 M， N两点， ，求直线的方程；（2）在圆 C上是否存在点 P，使得 21AB？若存在，求点 P的个数；若不存在，说明理由yxOBA C18 （本小题满分16分）如图，在平面
5、直角坐标系 xOy中，椭圆 :E21(0)xyab的左顶点为 A，与轴平行的直线与椭圆 E交于 B、 C两点，过 、 两点且分别与直线 B、 C垂直的直线相交于点 D已知椭圆 的离心率为 53，右焦点到右准线的距离为 45 （1）求椭圆 的标准方程； （2）证明点 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求 BC面积的最大值19 （本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地 ABCD， km， BC=km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区 EFG，筝形的顶点 ,AEFG为商业区的四个入口，其中入口 F在边 上（不包含顶点） ，入口 ,分别在边 BD上，且满足
6、点,A恰好关于直线 EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口 的选址范围；（2）设商业区的面积为 1S，绿化区的面积为 2S，商业区的环境舒适度指数为 21S，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？ xy DCOBA20 （本小题满分16分）设函数 lnfxaR.（1）若直线 31y是函数 fx图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数 f在 2,e上的最大值为 1ae（为自然对数的底数） ，求实数的值；（3）若关于的方程 2ln3lnttxt有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假 2. xy43 3. 充分不必要 4. 325. 1 6. 1,
7、 7. （0，2） 8 25y 9. -3 或-4 10 (,)(0,1 111 ，) 12. yx13. 12，33414.解：当 x2a 时，f（x）=|e xe2a|=exe2a，此时为增函数，当 x2a 时，f（x）=|e xe2a|=ex+e2a，此时为减函数，即当 x=2a 时，函数取得最小值 0，设两个切点为 M（x 1，f（x 1） ） ，N （x 2，f（x 2） ） ，由图象知，当两个切线垂直时，必有，x 12ax 2，即1 2a3 a，得a 1，k1k2=f（x 1）f（x 2）=e x1（ ex2）=e x1+x2=1，则 ex1+x2=1，即 x1+x2=0，1x 1
8、0，0x 21，且 x22a，2a1，解得 a，综上 a，故答案为：（， ） 15.解：命题 p：f（x）=3x 2+2ax+a+，函数 f（x）在（，+ ）上有极值，f（x）=0 有两个不等实数根，=4a243（a+）=4a 24（3a+4）0， 解得 a4 或 a1；命题 q：双曲线 的离心率 e（1，2） ，为真命题，则 （1，2） ，解得 0a15命题 “pq”为假命题， “pq”为真命题，p 与 q 必然一真一假，则 或 ，解得：a15 或 0a4 或 a116.所以， ()fx的单调递减区间是 (0,)k，单调递增区间是 (,)k；在 k处取得极小值 (1ln)2f.（）由（）知，
9、 ()fx在区间 (0,)上的最小值为 (1ln)()2kf.因为 ()fx存在零点，所以 1ln2k，从而 ke.当 ke时， f在区间 (,)e上单调递减，且 ()0f，所以 xe是 ()fx在区间 (1,e上的唯一零点.当 k时， 在区间 0)上单调递减，且 1()02f， ()02ekf，所以 ()fx在区间 (,e上仅有一个零点.综上可知，若 f存在零点，则 ()fx在区间 (1,e上仅有一个零点. 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.17.（2）假设圆 C上存在点 P，设 (,)xy，则2()4y，2222(1)(0)11PABxy
10、，即 3，即 ()， 10 分因为22|()，12 分所以圆 4xy与圆2(1)4xy相交，所以点 P的个数为14 分18. 解：（1）由题意得 53ca，25c，解得 3,ac，所以 24b，所以椭圆 E的标准方程为2194xy4 分（2）设 00(,)(,)BxyC，显然直线 ,ABCD的斜率都存在，设为134,k，则 01203ykx， 00343xkky，所以直线 ,D的方程为： 0000(),()xy，消去 y得 00 00()xxyy，化简得 3，故点 在定直线 3上运动 10 分（3）由（2）得点 D的纵坐标为2000039()Dxxyyy，又20194xy，所以2200x，则2
11、000 09354()4Dyxy y，所以点 到直线 BC的距离为 0005， 将 0y代入2194xy得234yx，所以 BCD面积209612ABCSh20201777414yy，当且仅当2014y，即 02y时等号成立，故 0时， BD面积的最大值为 16 分19解：（1）以 A 为原点，AB 所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则,A，设 2,Fa（ 04） ，则 AF 的中点为 1,a，斜率为，而 EG，故 的斜率为 ， 则 的方程为 1yax，令 0x，得 G； 2 分令 0y，得 21Exa； 4 分由40GEBF，得3201，231a，即入口 的选址需满足 的长度范围是
12、423,（单位：km）.6 分（2）因为 1 11AEGSaa，故该商业区的环境舒适度指数 121 18ABCDABCDSS， 9 分所以要使 21S最大，只需 最小 .设 3,23,1faa 10 分则 224222 2311133 aaafaa 令 0，得 或 （舍） ， 12 分 ,af的情况如下表： 2332,3,11fa0 减极小增故当 3a，即入口 F满足 23Bkm 时，该商业区的环境舒适度指数最大 16 分20解：（1） lnfxax， 1fax,设切点横坐标为 0，则 0013,ln1,axx2 分消去，得 0lnx，故 0，得 2. 4 分（2） 211,fxaxex当 2
13、e时， 0f在 2,上恒成立， fx在 21,e上单调递增，则 2max 1ffae，得 22ae,舍去; 5 分当 1时， 0x在 ,上恒成立， fx在 1,上单调递减，则 max1ffae，得 a,舍去; 6 分当 21e时，由 20fx，得 1x；由 20fxe，得 21xea，故 fx在 ,a上单调递增，在 ,ea上单调递减， 则 max1ln1ff，得 2ln0a, 8 分设 22l,geae,则 21,ge当 21,a时， 10g, a单调递减，当 ,e时 ae, g单调递增，故 min10g, 2ln0a的解为 1e.综上， ae. 10分（3）方程 22ln3lnxtxtxt可化为112t，令 ln2hxx，故原方程可化为 3hxhxt，12分由（2）可知 在 0,上单调递增，故20t有且仅有唯一实数根， 即方程 2xt（）在 ,t上有且仅有唯一实数根， 13分
