1、 1学科教师辅导讲义教学内容(一)元二次方程的解法23题型 1 二次函数的图像和性质例题 1（2012贵港一模）若直线 y=b（b 为实数）与函数 y=|x24x+3|的图象至少有三个公共点，则实数 b 的取值范围是 0b1 考点： 二次函数的性质菁优网版权所有分析： 先求 x24x+3=0 时 x 的值，再求 x24x+30 和 x24x+30 时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的 b 的值的范围4解答： 解： 当 x24x+3=0 时，x=1 或 x=3，当 x 1 或 x3 时，x 24x+30，即：y=|x 24x+3|，函数值大于 0，当 1x3 时
2、，1 x24x+3 0，即：y=|x 2+4x3|，函数最大值为 1，故符合条件的实数 b 的取值范围是 0b1点评： 本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的 b 值范围例题 2（2014牡丹江）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，对称轴是直线 x=1，则 a+b+c= 0 考点： 二次函数的性质菁优网版权所有专题： 常规题型分析： 根据二次函数的对称性求出抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为（1，0） ，由此求出 a+b+c 的值解答： 解： 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（ 3，0） ，对称轴是直线 x=1，y=
3、ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为（ 1，0） ，a+b+c=0故答案为：0点评： 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为（1，0）是解题的关键 我 来 试 一 试 ！（2014武汉模拟）直线 y=mx+n 和抛物线 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+nax 2+bx+c0 的解集是 1x2 5考点： 二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有分析： 从图上可知，mx+n ax 2+bx+c，则有 x1 或 x ；根据 ax2+bx+c0，可知1x2；综上，不等式mx+nax 2+bx+c
4、0 的解集是 1x2解答： 解：因为 mx+nax 2+bx+c 0，由图可知，1x2点评： 此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细题型 2 二次函数与一元二次方程例题 1根据下列表格中的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）的根的个数是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04A0 B1 C2 D1 或 2考点： 图象法求一元二次方程的近似根菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由表格中的对应值可得出，方程的一个根在 6.176.18 之间
5、，另一个根在 6.186.19 之间解答： 解： 当 x=6.17 时，y=0.02 ；当 x=6.18 时，y= 0.01；当 x=6.19 时，y=0.02 ；方程的一个根在 6.176.18 之间，另一个根在 6.186.19 之间，故选 C点评： 本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的根在这两个自变量之间6我 来 试 一 试 ！观察下列表格，求一元二次方程 x2x=1.1 的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2x 0.11 0.24 .39 0.56 0.75 0.96 1.19
6、1.44 1.71A0.11 B1.6 C1.7 D1.19考点： 图象法求一元二次方程的近似根菁优网版权所有分析： 设 y=x2x，根据表格，可以看出 y=x2x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程 x2x=1.1 的一个近似解解答： 解：令 y=x2x，根据表格，可以看出 y=x2x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，当 x2x=1.1，即 y=1.1 时，y=x 2x 的值域是【0.96，1.19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】 ，与 0.96 相比，y=1.1 更接近于 1.19，方程 x2x=1.1 的定义域更接近于 1.7故选 C点评
7、： 本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题题型 3 实际问题与二次函数例题 1运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高 y（m ）与水平的距离 x（m ）之间的函数关系式为y= x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（ ）A6m B12m C8m D10m考点： 二次函数的应用菁优网版权所有专题： 应用题分析： 铅球落地才能计算成绩，此时 y=0，即 x2+ x+ =0，解方程即可在实际问题中，注意负值舍去解答： 解：由题意可知，把 y=0 代入解析式得：7 x2+ x+ =0，解方程得 x1=10，x 2=2（舍去） ，即该运
8、动员的成绩是 10 米故选 D点评： 本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即 y=0，测量运动员成绩，也就是求 x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题例题 2（2014仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为 米考点： 二次函数的应用菁优网版权所有专题： 函数思想分析： 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y=1 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案解答： 解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，
9、则通过画图可得知 O为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5 ，所以抛物线解析式为 y=0.5x2+2，当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=1 与抛物线相交的两点之间的距离，8可以通过把 y=1 代入抛物线解析式得出：1=0.5x2+2，解得：x= ，所以水面宽度增加到 米，故答案为： 点评： 此题主要考
10、查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键我 来 试 一 试 ！（2014杨浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y（米）关于水平距离 x（米）的函数解析式 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米考点： 二次函数的应用菁优网版权所有分析： 直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离解答： 解： 函数解析式为： ，y 最值 = = =2故答案为：2点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键9题型 4 二次函数压轴题例题 1定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就
11、称为：“美丽抛物线” 如图，直线 l：y= x+b 经过点 M（0， ） ，一组抛物线的顶点 B1（1，y 1） ，B 2（2，y 2） ，B 3（3，y 3） ，B n（n，y n） （n为正整数） ，依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0） ，A 2（x 2，0） ，A 3（x 3，0） ，An+1（x n+1， 0） （n 为正整数） 若 x1=d（0d1） ，当 d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A或 B或 C或 D考点： 二次函数综合题菁优网版权所有专题： 压轴题；新定义分析： 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶
12、点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半又 0d1，所以等腰直角三角形斜边的长小于 2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于 1，即抛物线的定点纵坐标必定小于 1解答： 解：直线 l：y= x+b 经过点 M（0， ） ，则 b= ；直线 l：y= x+ 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半0 d 1，该等腰直角三角形的斜边长小于 2，斜边上的高小于 1（即抛物线的顶点纵坐标小于 1） ；当 x=1 时，y 1= 1+ = 1，当 x=2 时，y 2= 2+ = 1，当 x=3 时，y 3
13、= 3+ = 1 ，美丽抛物线的顶点只有 B1、B 2若 B1 为顶点，由 B1（1， ） ，则 d=1 = ；10若 B2 为顶点，由 B2（2， ） ，则 d=1（2 ） 1= ，综上所述，d 的值为 或 时，存在美丽抛物线故选 B点评： 考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键 我 来 试 一 试 ！如图，OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15，点 B 在抛物线 y=ax2（a0）的图象上，则 a的值为（ ）ABC 2D考点： 二次函数综合题菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 连接 OB，过 B 作 BDx 轴于 D，若 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15，那么 BOD=30；在正方形 OABC 中，已知了边长，易求得对角线 OB 的长，进而可在 RtOBD 中求得 BD、OD 的值，也就得到了 B 点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数 a 的值解答： 解：如图，连接 OB，过 B 作 BDx 轴于 D；则BOC=45， BOD=30；已知正方形的边长为 1，则 OB= ；RtOBD 中，OB= ，BOD=30，则：BD= OB= ，OD= OB= ；故 B（ ， ） ，代入抛物线的解析式中，得：
