1、初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点E、F，则 AGDEGC EAB 。分析：关键在找“角相等” ，除已知条件中已明 确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶 角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGD EGC。再1=2（对顶角） ，由 ABDG 可得4=G，所以EGCEAB。评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似” 。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三
2、角形记下来。例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平 分线，求证：ABCBCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共 角，B G 初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 是等腰三角形，ABC= C=72 又 BD 平分ABC ，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC 公用。所以DBE=ABC，要证的DBE 和ABC，有一对角相等，要证两
3、个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE 和ABD 中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ BCA= ED即： =在DBE 和ABC 中CBE=ABD, DBC 公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且 BCE= ADDBEABC例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。分析：本题要找出相似三角
4、形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ E(2)如图：其中1= 2，则 ADEABC 称为“相交线型 ”的相似三角形。 EE1242(3)如图：1=2，B= D，则ADEABC，称为 “旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与ECA解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得 AE= a2， 在EAF 与ECA 中，AEF 为公共角，且2AECF所以EAFECA（两边对应成比例且夹角相等的两
5、个三角形相似）注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理 2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 1、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BC FE分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，DKAB，DF ：FE=BK：BE又AD=BE，DF ：FE=BK ：AD，而 BK：AD=BC ：AC即 DF：FE= B
6、C ：AC ，DF AC=BC FE例 2：已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA 2=MDME；（2） DEA2证明：（1）BAC=90 0，M 是 BC 的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=90 0-B，1=D，2=2，MAEMDA，AB CDEM12 初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ MAED，MA 2=MDME，（2）MAEMDA， DAE， E M2评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证明 MA2=MDME，经常
7、可以把其中的 MA 看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相似的三角形。（2）本例的关键是证明MAEMDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题 1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB 2=ADAC。命题 2 如图，如果 AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。A BCD1例 3：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ DGBA交 CF 于 G，得AEFDEG， DGAFE
8、。与结论 BFAE21相比较，显然问题转化为证 BD21。证明：过 D 点作 DGAB 交 FC 于 G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） DGAFE（1）D 为 BC 的中点，且 DGBFG 为 FC 的中点则 DG 为CBF 的中位线， BFDG21 （2）初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ FBADEA2评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意
9、待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 1：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 31ADFBE。求证：AEF=FBD分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作 FGBD，垂足为 G。设 AB=AD=3k则 BE=AF=k，
10、AE=DF=2k，BD= k23 AB CDE F G初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 0，FGD=90 0DFG=45 0DG=FG= kDF2BG= 3 21BGAE又A=FGB=90 0AEFGBF AEF=FBD评注：本例是通过构造一对相似三角形，而证明两个角相等，而证明两个三角形相似又运用了代数法，设参数，计算边长，从而证明两个三角形的对应边成比例。运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正三角形的条件时效果很好，同学们可以试试看。例 2、在平行四边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQAB，RP BC分析：要证明两线平行较多采用平行线
11、的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB，只需证明 AR：AS=BR：DS。证明：在ADS 和ARB 中。 初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 21 DAB，DCP=PCB= 21ABCADS ABR DSBRA但ADS CBQ，DS=BQ，则 BQRAS，SQAB ，同理可证，RPBC例 3、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且ABED，BCFE ，求证：AFCD分析：要证明 AFCD ，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD ，只要证明 ODFCA即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：ABED，BCFE ODBEA， FC两式相乘可得：例 4、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于F，FG AC 交 AB 于 G，求证：FC=FG 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平
