1、 三、计算题 1、已知 10),()( anuanx n ,求 )(nx 的 Z 变换及收敛域。（ 10 分） 解： 0)()(nnnnnn zaznuazX 10 1 1 1)( azza nn| az 2、设 )()( nuanx n )1()()( 1 nuabnubnh nn 求 )()()( nhnxny 。（ 10 分） 解： az znxzX )()( ， | az bz azbz abz znhzH )()( ， | bz bz zzHzXzY )()()( ， | bz 其 z 反变换为 )()()()()( 1 nubzYnhnxny n 3、写出图中流图的系统函数。 (1
2、0 分 ) 解 ： 21)( czbzazH 21 1241 32)( zz zzH 、利用共轭对称性，可以用一次 DFT 运算来计算两个实数序列的 DFT，因而可以减少计算量。设都是 N 点实数序列，试用一次 DFT 来计算它们各自的 DFT： )()( 11 kXnxD F T )()( 22 kXnxD F T （ 10 分）。 解 :先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()( 21 njxnxnw 即 )()()()( 21 njxnxD F TkWnwD F T nxjD F TnxD F T 21 )( )()( 21 kjXkX 又 )(Re)(1 nwnx 得 )()(
3、R e)(1 kWnwD FTkX ep )()()(21 * kRkNWkW NN 同样 )(1)(I m)(2 kWjnwD F TkX op )()()(21 * kRkNWkWj NN所以用 DFT 求出 )(kW 后，再按以 上公式即可求得 )(1 kX 与 )(2 kX 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为 )(9.0)( 5 nRnh n 求出系统函数，并画出其直接型结构。（ 10 分） 解： （） 1z 1z 1z 1z 9.0 29.0 39.0 49.0 （） 、略。 、设模拟滤波器的系统函数为 3111342)(2 sssssH a试利用冲激响应不变法，设计 IIR 数字滤
4、波器。（ 10 分） 解 TT ezTezTzH311 11)( TTTTTezeezeeTz423131)(1)( 设 T=1，则有 2111 8 3 1.04 1 7 7.013 1 8 1.0)( zzzzH 4)3(2)(2 jjH a21831.04177.013181.0)(jjjjeeeeH三 、 （ 12 分）序列 )(nx 为 ( ) ( ) 2 ( 1 ) ( 3 )x n n n n 1、 画出序列 )(nx 的图形； 2、计算线性卷积 )()( nxnx ； 3、计算 5 点圆周卷积 )(nx 5 )(nx 。 4、为了使 N 点的 )(nx 与 )(nx 圆周卷积可以
5、表示其线性卷积，最小的 N 值为多少？ 解： 1、序列 )(nx 的图形如下：（ 2 分） 2、 )6()4(4)3(2)2(4)1(4)()()( nnnnnnnxnx =1， 4， 4， 2， 4， 0， 1 （ 4 分） )(nx3210n1 123、 )(nx 5 )(nx )4(4)3(2)2(4)1(5)( nnnnn =1， 5， 4， 2， 4 （ 4 分） 4、为了使 N 点的 )(nx 与 )(nx 圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的 N 值为 4+4-1=7 （ 2 分） 四 、 （ 16 分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： )1(21)()2(81)1
6、(43)( nxnxnynyny 求该系统的系统 函数 H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。 2、画出其直接型和型的实现结构。 3、求该系统的单位脉冲响应 ()hn ，并判断该系统是 FIR 系统还是 IIR 系统？ 解 :1、 112112() 311 48zHzzz(3 分 ) 极点 : 14z , 12z 零点 : 0z , 12z (2 分 ) 收敛域 12z (因系统是因果系统 ) (1 分 ) 2、直接型实现结构 (2.5 分 ) 直接型实现结构 (2.5 分 ) 3、 112112() 311 48zHzzz=1143111124zz, 12z 系统的单位脉冲响应为 :
7、11( ) 4 ( ) 3 ( ) ( )24nnh n u n (3 分 ) 该系统是 IIR 系统 . (2 分 ) 五 、 （ 15 分）已知系统的单位取样响应 nnnh 其它,0 70,1)(1、 求该系统的频率响应即振幅、相位。并指出该系统属于哪一种类型的线性相位 FIR 滤波器？ 2、 求该系统的系统函数 H(z)，画出 H(z)的极点和零点，指出其收敛域。 3、 试判断该系统是否是稳定系统？ 4、画出其横截型实现结构。 解 1、系统的频率响应为 27870 )2/s in ()4s in (11)( jjjnnjj eeeeeH )2/s in ( )4s in ()( jeH
8、k 27)( ， k 为整数。 （ 3 分） 因系统单位脉冲响应的长度为 8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位 FIR 滤波器。 （ 2 分） 2、 系统函数 H(z)为 187170 111)( zzzzzzHnn （ 2 分） H(z)的极点为 0z （ 7 阶）， 零点为 kjez 82 ， 7,2,1 k （ 2 分） H(z)的收敛域为 0z （ 1 分） 3、 系统函 数 H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的 （ 2 分） 4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示 （ 3 分） 六、（ 10 分）设)3)(1( 2)( sssH a，试用双线
9、性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟系统函数转变为数字系统函数 )(zH ，采样周期 2T 。 解：双线性变换法：（ 5 分） )2(221)311)(111(2)()(121111111211 zzzzzzzsHzH zzTsa脉冲 响应不变法：（ 5 分） 3111)3)(1( 2)( sssssH a241313131 )(1 )(11)( zezee zeeTze TzeTzH TTTTTTT当采样周期 2T 28162162)(1 )(2)( zezee zeezH)(nx3210n1 12七、 (12 分 )有一连续信号 )2cos()( fttxa ，式中 Hzf 50 ， 1、
10、求出 )(txa 的周期； 2、用采样间隔 sT 002.0 对 )(txa 进行采样，写出采样信号 )( txa 的表达式； 3、 写出对应 )( txa 的时域离散信号（序列） )(nx ，并求出 )(nx 的周期。 4、 若 频谱分析时计算了 100 个采样的 DFT，试求频谱采样之间的频率间隔 F 。 解： 1、 )(txa 的周期是 02.01 fTa s (2 分 ) 2、 na nTtfn ttx )()2c o s ()( = n nTtnT )()100c o s ( (3 分 ) 3、 因 sT 002.0 , 则 )2.0cos()( nnx (2 分 ) )(nx 的数
11、字频率为 2.0 ， 102 周期 10N (3 分 ) 4、 频谱采样之间的频率间隔 HzNTNfF s 5002.0100 11 (2 分 ) 八、（ 10 分） 1、 图 1 所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出 1()Yk和 2()Yk与 1()Xk和2()Xk的关系。 2、若 MN 2 ，请给出 时间抽取法 FFT 总的复数乘法次数和复数加法次数。 3、 MN 2 时， DIT-FFT 共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？ 图 1 时间抽取法蝶形运算流图符号 解： 1、 )()()( 211 kXWkXkY kN （ 2 分） )()()( 212 kXWkXkY kN
12、 （ 2 分） 2()Yk1()Yk1()Xk2()XkkNW12、 总的复数乘法次数 NNMF 2log21（ 1.5 分） 总 的复数加法次数 NNAF 2log （ 1.5 分） 3、 DIT-FFT 共需 M 级分解，每级运算要计算的蝶形运算有 2N 个 . （ 3 分） 四、简答题 （每题 5 分，共 20 分） 1 用 DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 2 画出模拟信号数字化处理框图 ，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 3简述用双线性法设计 IIR 数字低通滤波器设计的步骤。 4 8 点序列的按时间抽取的（ DIT） 基 -2 FFT 如何表示？ 五、计算题 （共
13、 40 分） 1已知 2( ) , 2( 1 ) ( 2 )zX z zzz，求 x(n)。（ 6 分） 2 写出差分方程表示系统的直接型和 级联 型结构。 （ 8 分） )1(31)()2(81)1(43)( nxnxnynyny 3计算下面序列的 N 点 DFT。 （ 1） )0()()( Nmmnnx （ 4 分） （ 2） )0()( 2 Nmenx mnNj （ 4 分） 4 设序列 x(n)=1， 3， 2， 1； n=0,1,2,3 ，另一序列 h(n) =1， 2， 1， 2； n=0,1,2,3， （ 1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （ 4 分） （ 2）求两序列的 6
14、 点循环卷积 yC(n)。 （ 4 分） （ 3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（ 2 分） 5设系统由下面差分方程描述： )1()2()1()( nxnynyny （ 1）求系统函数 H（ z）； （ 2 分） （ 2）限定系统 稳定 ，写出 H（ z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应 h(n)。 （ 6 分） 四、简答题 （ 本题共 4 个小题， 每小题 5 分，共 20 分） 答案： 1.答： 混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 2.答： 第 1 部分：滤除模拟信号高频 部分；第 2 部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第 3 部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第 4 部分：数
15、字信号变为模拟信号；第 5 部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。 3.答： 确 定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。 4答： 五、计算题 （本题共 5 个小题，共 40 分） 本题主要考查学生的分析计算能力。 评分标准： 1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给 0 分。 2.部分步骤正确、答 案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。 3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。 答案： 1解：由题 部分分式展开 () ( 1 ) ( 2
16、 ) 1 2F z z A Bz z z z z 求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 232131)( z zz zzF （ 3 分） 收敛域 z2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 12( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( )33kkf k k k （ 3 分） 2解： (8 分 ) 3解：（ 1） knNWkX )( （ 4 分） （ 2） mk mkNkX ,0 ,)(（ 4 分） 4解：（ 1） yL(n)=1， 5， 9， 10， 10， 5， 2； n=0,1,2 6 （ 4 分） （ 2） yC(n)= 3， 5， 9， 10， 10，
17、5； n=0,1,2,4,5 （ 4 分） （ 3） c L1+L2-1 （ 2 分） 5解：（ 1） 1)(2 zz zzH（ 2 分） （ 2） 5 1 1 522z （ 2 分）； )1()2 51(51)()2 51(51)( nununh nn （ 4 分） 简答题： 1 在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在 A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通
18、滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽 样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 2 何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数 )(min ZH 有何特点？ 解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式 NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()( ，他的所有极点都应在单位圆内，即 1k 。但零点可以位于 Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)(1)( ZHZG 也是稳定因果的。这就需要 )(ZH 的零点也位于单位圆内，即 1r 。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定
19、义。 【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值 )( jweH 唯一确定。从 jwe 求 )(ZH 的过程如下：给定 jwe ，先求 2jwe ，它是 )cos(kw 的函数。然后，用 )(21 kk ZZ 替代 )cos(kw ，我们得到 )()()( 1 ZHZHZG 。最后，最小相位系统由单位圆内的 )(ZG 的极、零点形成。 一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即 )()()( m in ZHZHZH ap 完成这个因式分解的过程如下：首先，把 )(ZH 的所有单位圆外的零点映射到
20、它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数 )(minZH 是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(ZHap ，把与之对应的 )(min ZH 中的零点映射回单位圆外。 3 何谓全通系统？全通系统的系统函数 )(ZHap 有何特点？ 解： 一个稳定的因果全通系统，其系统函数 )(ZHap 对应的傅里叶变换幅值 1)( jweH ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 Nk kkNkkkMrrrap ZZZaZbZQZPZH1111011)()()(。因而，如果在kZ 处有一个极点，则在其共轭倒数点 kZ 1处必须有一个零点。 4 有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。 nh nx ny解： 频率响应： njj enheH )()( 系统函数： nZnhZH )()( 差分方程： )( )(1 ZX ZYZ
