1、 1 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 = 1843 , (2)生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数 = ,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出 2 个次品就停止，或检查 4个产品就停止检查，记录检查的结 果。用“ 0”表示次品，用“ 1”表示正品。 = 1 1 1 11 1 1 01 1 0 10 1 1 11 0 1 11 0 1 01 1 0 00 1 1 00 1 0 10 1 0 01 0 000 , (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐
2、标 = |),( 122 yxyx (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 = ,|),( 1000 zyxzyxzyx 其中 zyx , 分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10 只产品中有 3 只次品 ，每次从其中取一只 (取后不放回 ) ，直到将 3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间 U = “ 在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取 ” 写出抽取次数的基本空间 U = 解 : ( 1 ) U = e3 ， e4 ， e10 。 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei
3、 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1) | ax 与 | ax 互不相容 (2) 20x 与 20x 对立事件 (3) 20x 与 18x 互不相容 (4) 20x 与 22x 相容事件 (5)20 个产品全是合格品与 20 个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20 个产品全是合格品与 20 个产品中至少有一个废品 对立事件 2 解 : 互不相容 : AB ; 对立事件 : AB)1( 且 BA 3、设 A,B,C 为三事件，用 A,B,C 的运算 关系表示下列各事件 (1)A发生， B与 C
4、不发生 - CBA (2)A与 B都发生，而 C不发生 - CAB (3)A,B,C 中至少有一个发生 - CBA (4)A,B,C 都发生 -ABC (5)A,B,C 都不发生 - CBA (6)A,B,C 中不多于一个发生 - CBCABA (7)A,B,C 中不多于两个发生 - CBA (8)A,B,C 中至少有两个发生 - BCACAB 4、盒内装有 10个球，分别编有 1- 10 的号码，现从中任取一球，设事件 A表示“取到的球的号码为偶数”，事件 B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件 C 表示“取到的球的号码小于 5”，试说明下列运算分别表示什么事件 . (1) BA 必然事件
5、(2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的号码不小于 5 (4) CA 1 或 2或 3 或 4 或 6或 8 或 10 (5)AC 2 或 4 (6) CA 5 或 7或 9 (7) CB 6 或 8或 10 (8)BC 2或 4 或 5或 6或 7 或 8或 9或 10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立 . (1) BBABA 成立 (2) BABA 不成立 (3) CBACBA 不成立 (4) )( BAAB 成立 (5)若 BA ，则 ABA 成立 (6)若 AB ，且 AC ，则 BC 成立 (7)若 BA ，则 AB 成立 (8)若 AB ，则 ABA 成立 7、设一个工人
6、生产了四个零件， iA 表示事件“他生产的第 i 个零件是正品 ” ),( 4321i ，用 1A , 2A , 3A , 4A 的运算关系表达下列事件 . (1)没有一个产品是次品； (1) 43211 AAAAB (2)至少有一个产品是次品； (2) 432143212 AAAAAAAAB 3 (3)只有一个产品是次品； (3) 43214321432143213 AAAAAAAAAAAAAAAAB (4)至少有三个产品不是次品 4) 432143214321432143214 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB 8. 设 E、 F、 G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列
7、各式 ： (1) FEFE (2) FEFEFE （ 3） GFFE 解 :(1) 原式 EFFFEFEEE (2) 原式 EFFEFFEFEFE (3) 原式 GEFGFFFGEFE 9、设 BA, 是两事件 且 7060 .)(,.)( BPAP ，问 (1)在什么条件下 )(ABP 取到最大 值，最大值是多少？ (2)在什么条件下 )(ABP 取到最小值，最小值是多少？ 解 : (1) 6.0)(, ABPBA (2) 3.0)(, ABPSBA 10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件 A， B， C 表
8、示 ： (1) D = ABC ； (2) D = CBA 。 a bc11、设 A,B,C 是三事件，且 81041 )(,)()(,)()()( ACPBCPABPCPBPAP ， 求 A,B,C 至少有一个发生的概率 . 解 : )()()()()()()()( A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP 8500810414141 ABCAB 0)()(0 ABPA B CP 0)( ABCP 4 12. (1)设事件 A , B 的概率分别为 51 与 41 ，且 A 与 B 互 斥，则 )( BAP = 51 . (2).一个盒中有 8 只红球， 3 只白球， 9 只蓝球
9、，如果随机地无放回地摸 3 只球 ，则取到的 3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _14285 _。 (3) 一 袋中有 4 只白球， 2只黑球，另一只袋中有 3 只白球和 5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _1324 _。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验 E的三个相互独立的事件， 已知 P(A1) = , P(A2) = ， P(A3) = ，则 A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1 (1 )(1 )(1 ) . (5) 一个盒中有 8 只红球， 3 只白球， 9 只蓝球，如果
10、随机地无放回地摸 3只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _3457 _。 13、在 1500 个产品中有 400 个次品， 1100 个 正品，任取 200 个，求 (1)恰有 90 个次品的概率； (2)至少有 2个次品的概率 . 解 : 2001500110110090400)1(C CCP 2 0 0 01 5 0 01 9 91 1 0 014 0 02 0 01 5 0 02 0 01 1 0 01)2(C CCCCP 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.9，乙击中的概率为 0.8，两射手 同时击中的概率为 0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中
11、”的， 求“中”的概率 . 解 : A “甲中” B “乙中” 98.072.08.09.0)()()()( ABPBPAPBAP 15、 8封信随机地投入 8 个信箱 (有的信箱可能没有信 )，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解 : 888!)( AP5 16、房间里有 4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：设所求事件 A “至少有两个人的生日在同一个月的” A “任何两个人的生日都不在同一个月” 4 2 7.0121)(1)(,12)( 44124412 AAPAPAAP 17、将 3个球随机 地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概
12、率各是多少？ 解： 3个球放入 4 个杯子中去共有 34 种放法，设 iB 表示杯子中球的最大个数为 n的事件 ),( 321n , 1B 表示每只杯子最多只能放一个球，共有 34A 种方法，故8343341 ABP )( ; 2B 表示有一只杯子中放 2 个球，先在 3 个球中任取 2 只放入 4 个杯子中的任意一只，共有 423C 种方法，剩下的一个球可以放入剩下的 3 只杯子中的任一只 ，有 3 种 放法 ，故 2B 包含 的基 本事 件数 为 363423 C ，于是16943632 )(BP ; 3B 表示有一只杯子中放 3 个球， 共有 4 种方法 ，故1614433 )(BP .
13、 18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ， y = 0 ， x + y = 2 所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。y21o 2 xD14322 2121211 )()( DDAP19、 (1)已知 504030 .)(,.)(,.)( BAPBPAP ，求 )|( BABP (2)已知 213141 )|(,)|(,)( BAPABPAP ，求 )( BAP 6 解 : (1) 250.)|( BABP (2) 31 )(
14、 BAP 20、 一批产品共 100 个 ,其中有次品 5 个，每次从中任取一个，取后不放回 , 设 iA ( i =1， 2， 3， )表示第 i 次抽到的是次品，求： 99412 AAP ， 999512 AAP ， 99512 AAP 999412 AAP ， 983213 AAAP ， 9894213 AAAP 21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率为 95%， 乙厂的合格率是 80%。若用事件 A 、 A 分别表示甲、乙两厂产品， B表示合格品。 试写出有关事件的概率 . (1) )(AP 70% (2) )(AP 30% (3) )|( AB
15、P 95% (4) )|( ABP 80% (5) )|( ABP 5% (6) )|( ABP 20% 22、 袋中有 10 个球， 9 个是白球， 1 个是红球， 10 个人依次从袋中各取一球，每人 取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概 率各是多少？ 解 : 解： 设 iA 第 i 个人取得红球的事件 ),( 1021 i , 则 iA 为第 i 个人取得白球的事件， 显然 101)(1 AP, )( 212121212 AAAAAAAAA 10191109)|()()()( 121212 AAPAPAAPAP 同理101!10 !9)()( 1092110 AA
16、AAPAP 23、某种动物由出生活到 20 年以上的概率为 0.8，活 25 年以上的概率为 0.4，问现 年 20 岁的这种动物活 支 25 岁以上的概率是多少？ 解：设 A 为 由出生活到 20 岁 的事件， B 为 由出生活到 25岁 的事件 7 则所求事件的概率为)( )()|( AP ABPABP BABAB 2180 40 .)( )()( )()|( AP BPAP ABPABP24、十个考签中四个难的，三人参加抽签， (不放回 )甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求 )(),(),(),( A B CPBAPABPAP . 解： 152)(,
17、104)( ABPAP 154)( BAP 301)( ABCP 25. 设 0 P(C) 1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A， B，恒 有 P ( A B )C = PAC + PBC 证 : CP CBAPCBAP CP BCACP CP BCPACP CBPCAP 26、设事件 A 与 B互斥，且 10 )(BP ，证明)( )()|( BP APBAP 1. 证明：由于 AB ，故 BABBAA )( )1)()(1 )()( )()|( BPBP APBP BAPBAP 27、一批零件为 100 个，次品率为 10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才
18、 能取得正品的概率是多少？ 解：设 iA 为 第 i 次取到正品 ， )3,2,1( i 由于次品率为 10%，故 100 个零件约有 90 个正品，次品 10 个，设 A 为 第三次抽到正品 ，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得 )|()|()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAPAP 0083.0989099910010 28、设每 100 个男人中有 5 个色盲者，而每 10000 个女人中有 25 个色盲者，今在 3000 个男人和 2000 个女人中任意抽查 一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。 解 : 8 A ：“ 抽
19、到的一人为男人”； B ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 2011 0 05,53 ABPAP 40011000025,52 ABPAP 1 0 0 0314 0 015220153 ABPAPABPAPBP 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有 n只白球， m只红球；乙袋中装有 N只白球， M 只红 球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白 球的概率是多少？ 解：设 1H 表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件， 2H 表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件， B表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件， 所求事件 21 BHBHB 由全概率公式：
20、 )|()()|()()( 2211 HBPHPHBPHPBP 易知： mn mHPmn nHP )(,)(211)|(,11)|( 21 MN NHBPMN NHBP 于是 111)( MN Nmn mMN Nmn nBP 30、 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为 25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是 5%,4%,2% (1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？ 解：设 A “所取出的一件产品是废品”， 1B “产品系甲车间生产”， 2B “产品 系乙车间生产”，
21、 3B “产品系丙车间生产” 已知 25.0)( 1 BP 35.0)( 2 BP 4.0)( 3 BP 05.0)|( 1 BAP 04.0)|( 2 BAP 02.0)|( 3 BAP (1)由全概率公式： 3 1 0 3 4 5.002.04.004.035.005.025.0)()|()( i ii BPBAPAP (2)由贝叶斯公式： 9 3623.00345.0 05.025.0)( )()|()|( 111 AP BPBAPABP 4 0 5 8.00 3 4 5.0 04.035.0)( )()|()|( 222 AP BPBAPABP 2 3 1 9.00 3 4 5.0 4
22、.002.0)( )()|()|( 333 AP BPBAPABP 所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的 . 31、 如图 1,2,3,4,5 表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 p ，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率 . 解 : 设 iA 为第 i 只继电器闭合的事件， B 为有电流从 L 流向 R 的事件， 已知 )5,2,1()( npAP i 显然 4325315421 AAAAAAAAAAB 故 )()()()()()( 52414325315421 AAAAPAAAPAAAPAAPAAPBP )()()()( 4352315432
23、415321 AAAAPAAAAPAAAAPAAAAP )()()( 352413524142531 AAAAAPAAAAAPAAAAAP )()()( 543212534143152 AAAAAPAAAAAPAAAAAP 5432 2522 pppp 32、 在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的， 7 盒是乙厂生产的， 4盒是丙厂生产的，其 余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8， 0.7， 0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？ 解 : Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一
24、盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 1851 AP， 1872 AP， 1843 AP， 1824 AP 2.01 ABP ， 3.02 ABP ， 4.03 ABP ， 5.04 ABP 由 全 概 率 公 式 : iii ABPAPBP 41= 57180 由 贝 叶 斯 公 式 : 1 3 2 4 5 L R 10 5710,5716,5721,5710 4321 BAPBAPBAPBAP 故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大 33、 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击 中的概率分别为 0
25、.4, 0.5, 0.7。 飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6。若 三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率 . 解：设 )3,2,1,0( nAi 表示“恰有 i 人击中飞机”， B 为飞机被击落， 36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)( 1 AP 同理 41.07.05.04.07.05.06.03.05.04.0)( 2 AP 14.07.05.04.0)( 3 AP 易知 2.0)|(,0)|( 10 ABPABP ， 1)|(,6.0)|( 32 ABPABP 由全概率公式 )()|()()|()()|()()
26、|()( 33221100 APABPAPABPAPABPAPABPBP 458.014.0141.06.036.02.009.00 34、袋中装有 1N 只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白 球，这样继续摸下去，问第 k 次摸球时摸到白球的概率是多少？ 解：设事件 A 表示第 k 次摸到白球，则事件 A 表示第 k 次摸到红球。 因为袋中只有 1 只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第 k 次摸到红球，前 k-1 次 一定不能摸到红球，因此 A 等价于下列事件 : 在前 k-1 次摸球时都摸到白球而第 k 次摸出红球， 所以 NNNNAP kk k 1)11(1)1()( 11 因此 NNAPAP k 1)11(1)(1)( 1 第 2 章 一维 随机变量 习题 2 一 . 填空 题 ： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 xPxF ， 则 用 F (x) 表 示 概
