1、控制理论 第五章习题 5-1 设一线性系统的传递函数为 )42)(42( )1(10204 )1(10)( 2 jsjs sss ssG 5-1 试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。 解 令 2js ，代入式（ 5-1），得 8.3625.1)458)(6.7140( 4.63510)422)(422( )12(10)2( jjjj jjG上述结果表明， 2 时，频率特性的幅值 25.1)2( jG ，相角 8.36 。给出不同的频率 值，重复上述的计算，就可求得对应的一组 )( jG 和 )( 值。据此，也可由下面的 MATLAB 函数绘制出图 5-2 所示的幅频特性曲线和相频特性曲线。 fu
2、nction exe51 G=tf(10*1,1,1,4,20； X=;Y=;w=logspace(-1,1,100)； x,y,w=bode(G)； %X=X,x;Y=Y,y； figure(1),plot(w,x(:),axis(0,10,0,3),xlabel(频率（弧度） ),ylabel(幅值 )； figure(2),plot(w,y(:),axis(0,10,-120,40),xlabel( 频 率 （ 弧 度 ）),ylabel(相角 ) 0 2 4 6 8 10-120-100-80-60-40-2002040频频频频频频频频0 2 4 6 8 1000.511.522.53
3、频频频频频频频频5-2 试绘制下列开环传递函数的 奈奎斯特曲线： )1.01)(1( 10)()( sssHsG 解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节 KsG )(1 、两个一阶惯性环节 ssG 1 1)(2和 ssG 1.01 1)(3 。这三个环节的幅、相频率特性分别为 1.0a r c t g23a r c t g221)1.0(111.011)(1111)(10)(jjejjGejjGjG因而开环系统的幅频特性为 22 )1.0(1110)()( jHjG相频特性为 1.0a r c tga r c tg)( 取不同的频率 值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图 5
4、-3 所示的开环系统的图 5-3 开环系统的奈氏图 Real AxisImaginary AxisNyquist Diagrams-2 0 2 4 6 8 10-6-4-20246From: U(1)To: Y(1)奈氏图。 事实上， MATLAB 中有专门的函数 Nyquist 用于绘制开环系统的极坐标图。 g=tf(10,conv(1,1,0.1,1) Transfer function： 10 - 0.1 s2 + 1.1 s + 1 Nyquist(g) 5-3 已知型系统、型系统和 II 型系统的开环传递函数分别为 30 )1()( sKsG 、)1(10)(1 sssG 、)1(1
5、0)( 22 sssG 试绘制它们对应的奈氏图。 解 型系统的频率特性为 )(323 )1()1()( jeKjKjG 式中： arctg3)( 。分别取 105或K ，计算出不同 值时的 )( jG 和 )( ，可得图 5-15 所示的奈氏图。根据第三章劳斯判据可知， 5K 时闭环系统稳定，表现在奈氏图上是极坐标图不包围（ 1， j0），这与后面将介绍的奈氏稳定判据是一致的。 I 型系统的频率特性为 Nyquist Diagrams -2 0 2 4 6 8 K=5 K=10 Imaginary Ax)(2110)1( 10)( jejjjG 式中： arc tg90)( 。将上式改写为 3
6、2222 101 1010)( jjjjjG由上式可知，当 0 时， jjG 10)0( ，即 90)0( jG ；当 时， 1800)( jG ，据此可得图 5-5 所示的奈氏图。 型系统的开环频 率特性为 )(222 110)1()( 10)( jejjjG 式中： a rc tg180)( 。将上式改写为 32222 10)1( 101110)( jjjG由上式可知，当 0 时， jjG )0( ；当 时， 0)( jG 270 ，与正虚轴相切，据此可得图 5-6 所示的奈氏图。 由于采用了 MATLAB 方法，对于 I、 II 型系统在无穷远处的极坐标无法在图中标明，但从图中可以看到，
7、当频率接近零时，对于 I 型系统，极坐标曲线渐近于平行于虚轴的 -10 线，而对于 II 型系统则无此性质，这一点可将幅值频率特性写成实频、虚频形式得到验证。 5-4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为 )5.01( )1.01(10)()( ss ssHsG 试绘制开环系统的伯德图。 解 1）系统的开环频率特性为 Nyquist Diagrams-15 -10 -5 0-40-30-20-10010203040From: G3Nyquist Diagrams-15 -10 -5 0-50-40-30-20-1001020304050From: G2图 5-6 II 型系统的奈氏图 图 5-5
8、 I 型系统的奈氏图 )21()101(10)( jjjjG 由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为 )()()()()( 4321 LLLLL 22 )10(1lg20)2(1lg20lg2010lg20 系统的相频特性为 )()()()()( 4321 10a r c tg2a r c tg900 2）系统的转折频率分别为 2 和 10。 3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段， 1v ，则渐近线的斜率为dB/dec20 。在 1 处，其幅值为 dB2010lg20 ；当 2 时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由 dB/dec
9、20 变为 dB/dec40 ；同理，当 10 时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升 dB/dec20 ，即由dB/dec40 变为 dB/dec20 。 4）对幅频特性曲线进行修正。 5）作系统相 频特性曲线，先求 )()( 41 ，然后叠加。 10-1100101-20-10010203010-1100101-180-160-140-120-100图 5-7 开环系统的频率特性 系统伯德图如图 5-7 所示。用 MATLAB 语句绘制 Bode 图的程序为 % exe5_4 function exe5_4 G=tf(10*0.1,1,conv(1,0,0.5,1)；
10、%得到传递函数 x0,y0,w=bode(G)； %由 Bode 函数获取幅值和相角 x,y=bode_asymp(G,w)； %得到转折频率 subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:),x,y)； %画幅频曲线和渐近线 subplot(212),semilogx(w,y0(:)； %现相频曲线 5-5 系统的开环传递函数为 )2)(1)(5.0( 5)()( ssssHsG试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解 当 由 变化时， )()( jHjG 曲线如图 5-8 所示。因为 )()( sHsG 的开环极点为 -0.5、-1 和 -2，在 s 的右半平面
11、上没有任何极点，即 P=0，由图 5-39 可知，奈氏曲线不包围（ -1， j0）点，因此 N 0，则 Z=N+P=0。所以，该闭环系统是稳定的。 5-6 反馈控制系统的开环传递函数为 )2)(1( 10)()( ssssHsG试判别该系统的稳定性。 Real AxisImaginary AxisNyquist Diagrams-2 0 2 4-4-2024图 5-8 0 Real AxisImaginary AxisNyquist Diagrams-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-8-7.5-7-6.5-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500
12、.511.522.533.544.555.566.577.58(-1,J0) 图 5-9 解 由于该系统为 I 型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，在 s 平面上的奈氏轨线如图 5-9 所示。该图的 2C 部分在 GH 平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆，若将它与图 5-9 的奈氏曲线 )()( jHjG 相连接，则有 N 2，而系统的 P 0，因而 Z 2，即闭环系统是不稳定的，且有 2 个闭环极点位于 s 的右半平面。 5-7 已知系统的开环传递函数为 )1( )1()()( 12 2 sTs sTKsHsG试分析时间常数 1T 和 2T 的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对
13、应的奈氏图。 解 由系统的开环传递函数得 21222)(1)(1)()(TTKjHjG 12 a r c t ga r c t g180)( TT 根据以上两式，在 21 TT ， 21 TT 和 21 TT 三种情况下的 )()( jHjG 曲线如图 5-43所示。当 21 TT 时， )()( jHjG 曲线不包围（ -1， j0） 点，闭环系统稳定。当 21 TT 时，)()( jHjG 曲线通过（ -1， j0） 点，说明闭环极点位于 j 轴上，闭环系统不稳定。当21 TT 时， )()( jHjG 曲线以顺时针方向包围（ -1， j0） 点旋转两周，这意味着有 2 个闭环极点位于 s
14、 右半平面上，闭环系统不稳定。 图 5-10 21 TT 21 TT21 TT5-8 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 1)()( TsKsHsG 试用奈氏判据确定该闭环系统稳定的 K 值范围。 解 该系统是一个非最小相位系统，其开环系统的幅频特性和相频特性为 221)( TKjG T a rc tg1 8 0)( 和惯性环节一样，它的奈氏图也是一个圆，如图 5-44 所示。由于系统的 P 1，当 由 变化时， )(jG曲线如果以逆时针方向围绕（ -1， j0）点旋转一周，即 N -1，则 Z 1 1 0，表示闭环系统是稳定的。由图 5-11可见，仅当 K 1 时映射曲线才会对（ -1， j
15、0）点产生围绕，所以系统稳定的条件是 K 1。 5-9 设一时滞 控制系统如图 5-12 所示。已知图中的 )2)(1(/1)(1 ssssG ，试分析滞后时间 对系统稳定性的影响。 解 系统的开环传递函数为 ss esGsss esG )()2)(1()( 1 （ 5-14） 图 5-13 给出了 值为 0、 2、 4 时的式（ 5-14）的奈氏曲线。由图可见，当滞后时间 0 时，系统相当于无时滞环节， )(1 jG 不包围（ -1，j0），闭环系统稳定；当 2 时， )(jG 刚好经过（ -1，j0），系统处于临界稳定状态；当 4 时， )(jG 包围（ -1， j0）点，闭环系统不稳定。
16、可见，时滞时间的增大，GH 平面 Im Re 图 5-11 非最小相位系统奈氏图 00K图 5-12 时滞控制系统 )(sR )(1sG)(sC se图 5-13 1.03.01.01.03.03.0对控制系统的稳定性是极为不利的。 5-10 已知单位负反馈最小相位系统 A 的开环频率特性曲线如图所示， （ 1）试求系统 A 的开环传递函数，并计算相位裕量； （ 2）如把曲线 1 的 abc 改为 abc 而成为系统 B，试定性比较 A 与 B 的性能。 （ 1）系统的传递函数为 由于 得 ，所以传递函数为 abc20204040604/1 2/1 12 5dB)12.0)(15.0)(14( )12()( ssss sKsG02.01lg205.01lg20 41lg2021lg201lg20lg20)1(2222 KL)12.0)(15.0)(14( )12(1.2)( ssss ssG1.2K 2.0a r c t a n 5.0a r c t a n4a r c t a n2a r c t a n90)( 43.140)( c
