1、概率论与数理统计 习题 解答 1 第一章 思 考 题 1事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2医生在检查完病人的时候摇摇头 “你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活 . ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说 “但你是幸运的 .因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死 ” ，医生的说法对吗？为什么？ 圆周率 1415926.3 是一个无限不循环小数 , 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位 , 这个记录保持了 1000多年 ! 以后有人不断把它算得更精确 . 1873年 , 英国学者沈克士公布了一个 的数值 , 它的数目在小数点后一
2、共有 707 位之多 ! 但几十年后 , 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑 . 他统计了 的 608 位小数 , 得到了下表 : 67584462566468676260 9876543210出现次数 数字你能说出他产生怀疑的理由吗 ? 答：因为 是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于 0.1，但 7 出现的频率过小 .这 就是费林产生怀疑的理由 . 4你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ 两事件 A、 B 相互独立与 A、 B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？ 条件概率是否是概率？为什么？ 习 题
3、 1写出下列试验下的样本空间： （ 1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下 4 个样本点组成 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反 （ 2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下 36 个样本点组成 ( , ) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 i j i j （ 3） 调查城 市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答： 结果可以用（ x， y）表示， x， y 分别是烟、酒年支出的元数 .这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 . ( , ) 0 , 0 x y x y 2甲，乙，丙三人各射一次靶，记 A “甲中靶
4、” B “乙中靶 ” C “丙中靶 ” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶 ”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶 ”： ;BA (3) “三人中只有丙未中靶”： ;CAB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;CBACBACBA (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;CBA 概率论与数理统计 习题 解答 2 (6)“三人中至少有一人未中靶”： ;CBA 或 ;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BCACBACAB (8)“三人中至少两人中靶”： ;BCACAB (9)“三人均未中靶”： ;CBA (10)“三人中至多一人中靶”： ;CBACBACBACB
5、A (11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或 ;CBA 3 .设 ,AB是两随机事件，化简事件 (1) ( )( )A B A B (2) ( )( )A B A B 解 :(1) ( ) ( )A B A B A B A B B B, (2) ( )( )A B A B ()A B A B B A A B B . 4 某城市的电话号码由 5 个 数字组成，每个数字可能是从 0-9 这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率 . 解： 5105 0.302410PP . 5 n 张奖券中含有 m 张有奖的， k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 解法一：试验
6、可模拟为 m 个红球， nm 个白球，编上号，从中任取 k 个构成一组，则总数为 knC ，而全为白球的取法有 kmnC 种，故所求概率为knkmnCC1。 解法二：令 iA 第 i 人中奖， ,.,2,1 ki B 无一人中奖，则 kAAAB 21 ，注意到kA，A，A 21 不 独 立 也 不 互 斥 ： 由 乘 法 公 式 )()()()()( 11213121 kk AAAPAAAPAAPAPBP ( 1 ) ( 2) ( 1 )1 2 1n m n m n m n m kn n n n k ! , 1kkn m n mnnCCk 同 除 故 所 求 概 率 为.6从 5 双不同的鞋子
7、中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件 A）的概率是多少？ 解： 1 2 25 8 5410() C C CPA C 7在 1,1 上任取一点 X ，求该点到原点的距离不超过 15 的概率 . 概率论与数理统计 习题 解答 3 解： 此为几何概率问题： 11 ， ,所求事件占有区间 5151 ，从而所求概率为 12 1525P . 8在长度为 a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解：设一段长为 x ，另一段长为 y ，样本空间 : 0 , 0 , 0x a y a x y a ， 所求 事件满足： 0202()axayx y a x y
8、从而所求概率 14CDEOABSS . 9 从区间 (0,1) 内任取两个数，求这两个数的乘积小于 14的概率。 解： 设所取两数为 ,XY 样本空间占有区域 ,两数之积小于 14: 14XY,故所求概率 ( ) ( ) 1 ( )( ) 1S S D S DP S , 而 11 411( ) ( 1 ) 1 ( 1 l n 4 )44S D d xx ,故所求概 率为1(1 ln4)4 。 10设 A 、 B 为两个事件， ( ) 0.9PA ， ( ) 0.36P AB ，求 ()PAB 。 解： ( ) ( ) ( ) 0 . 9 0 . 3 6 0 . 5 4P A B P A P A
9、 B ; 11设 A 、 B 为两个事件， ( ) 0.7PB ， ( ) 0.3P AB ，求 ()PA B . 解： ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 . 7 0 . 3 0 . 6P A B P A B P A B P B P A B . 12假设 ( ) 0.4PA ， ( ) 0.7P A B ，若 A 、 B 互不相容，求 ()PB ；若 A 、概率论与数理统计 习题 解答 4 B 相互独立，求 ()PB。 解： 若 A 、 B 互不相容， ( ) ( ) ( ) 0 . 7 0 . 4 0 . 3P B P A B P A ； 若 A 、 B 相互独立，则由
10、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B 可得 ()PB =0.5. 13飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中 1， 2， 3 号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率 . 解 ： 设 A 命中仓库 ，则 A 没有命中仓库 ，又设 iA 命中第 i 仓库 )3,2,1( i 则 03.0)(,02.0)(,01.0)( 321 APAPAP ， 根据题意 321 AAAA （其中 321, AAA 两两互不相容） 故 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A =0.01+0.02
11、+0.03=0.06 所以 94.006.01)(1)( APAP 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为 0.94 14某市有 50%住户订日报，有 65%的住户订晚报，有 85%的住户至少 订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比 解： 设 A 用户订有日 报 ， B =用户订有晚报 ，则 BA 用户至少订有日报和 晚 报 一 种 ， AB 用 户 既 订 日 报 又 订 晚 报 ，已知85.0)(,65.0)(,5.0)( BAPBPAP ，所以 3.085.065.05.0)()()()( BAPBPAPABP 即同时订这两种报纸的住户的百分比为 30% 15一批零件共 100
12、 个，次品率为 10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正 品的概率。 解：设 A 第一次取得次品 ， B 第二次取得正品 ，则 AB 第二次才取得正品 ，又因为 9990)(,10010)( ABPAP ，则 0909.0999010010)()()( ABPAPABP 16.设随机变量 A 、 B 、 C 两两独立， A 与 B 互不相容 . 已知 0)(2)( CPBP 概率论与数理统计 习题 解答 5 且 5()8P B C ，求 ()PA B . 解：依题意 0)( ABP 且 )()()( BPAPABP ，因此有 0)( AP . 又因
13、2 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 8P B C P B P C P B P C P C P C ，解方程 085)(3)(2 2 CPCP 1 5 1( ) ( ) ( )4 4 2P C P C P B 舍 去， ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 5 .P A B P A P B P A B P B 17设 A 是小概率事件，即 ()PA 是给定的无论怎么小的正数 .试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件 A 迟早总会发生（以概率 1 发生） . 解 ：设事件 iA 第 i 次试验中 A 出现 ( 1, 2, , )in ， ( )
14、, ( ) 1iiP A P A ， ( 1,2, , )in ， n 次试验中，至少出现 A 一次的概率为 1 2 1 2( ) 1 ( )nnP A A A P A A A121 ( )nP A A A 121 ( ) ( ) ( )nP A P A P A （独立性） 1 (1 )n 12lim ( ) 1nn P A A A ，证毕 . 18三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是 15， 13， 14，求此密码被译出的概率。 解 :设 A， B， C 分别表示 第一、二、三人译出密码 ， D 表示 密码被 译出 ，则 ( ) ( ) 1 P D P A B C P A B
15、C 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) P AB C P A P B P C 4 2 3 31 . .5 3 4 5 . 19求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件 i 的可靠度为 ip ，各元件正常工作或失效相互独立 概率论与数理统计 习题 解答 6 解： (1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为 1 2 3ppp ，从而所求概率为 31 2 31 (1 )p p p ； （ 2） 同理得 23121 (1 ) pp . 20三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概 率依次为 0.9， 0.8， 0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 . 解：设
16、1A 第一第三台机器发生故障， 2A 第一第三台机器发生故障， 3A 第一第三台机 器发生故障， D 三台机器中至少有一台发生故障，则 1 2 3( ) 0 . 1 , ( ) 0 . 2 , ( ) 0 . 3P A P A P A ，故 ( ) ( ) 1 P D P A B C P A B C 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 4 9 6 P A B C P A P B P C 21设 A 、 B 为两事件， ( ) 0.7PA , ( ) 0.6PB , ( ) 0.4BP A ，求 ()PA B . 解：由 ( ) 0.4BP A
17、 得 () 0 .4 , ( ) 0 .1 2 , ( ) ( ) ( ) 0 .4 8()P A B P A B P A B P B P A BPA ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8 2P A B P A P B P A B . 22.设某种动物由出生算起活到 20年以上的概率为 0.8, 活到 25年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的这种动物 , 它能活到 25 岁以上的概率是多少 ? 解 ： 设 A 某种动物由出生算起活到 20 年以上， ( ) 0.8PA ， B 某种动物由出生 算起活到 25 年以上， ( ) 0.4PB ，则所求的概率为 概率论与数理统计 习
18、题 解答 7 ( ) ( ) 0 . 4( ) ( ) 0 . 5( ) ( ) 0 . 8P A B P BBBPPAA P A P A 23 某地区历史上从某年后 30 年内发生特大洪水的概率为 80%， 40 年内发生特大洪水的概率为 85%，求已过去了 30 年的地区在未来 10 年内发生特大洪水的概率。 解 ：设 A 某地区后 30 年内发生特大洪灾， ( ) 0.8PA ， B 某地区后 40年内发生特大洪灾， ( ) 0.85PB ，则所求的概率为 ( ) ( ) 0 . 1 5( ) 1 ( ) 1 1 1 0 . 2 50 . 2( ) ( )P B A P BBBPPAA
19、P A P A . 24设甲、乙两袋，甲袋中有 2 只白球， 4 只红球；乙袋中有 3 只白球， 2 只红球 .今从甲袋中任意取一球放入 乙袋中，再从乙袋中任意取一球。 1）问取到白球的概率是多少？ 2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？ 解： 设 A：取到白球， B：从甲球袋取白球 2 4 4 31 ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) 5 / 9 6 6 6 6P A P A B P B P A B P B ( / ) ( ) 2 / 92 ) ( / ) ( ) / ( ) 2 / 5( ) 5 / 9P A B P BP B A P A B P A PA 25、一
20、批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率 . 解： 设 iB 表示第 i 次抽出次品 , ( 1,2)i ,由全概率公式 222 1 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )BBP B P B P P B PB B= 2 1 10 2 112 11 12 11 6 . 26.一批晶体管元件，其中一等品占 95%，二等品占 4%，三等品占 1%，它们能工作500h 的概率分别为 90%， 80%， 70%，求任取一个元件能工作 500h 以上的概率 . 解：设 iB 取到元件为 i 等品 (i =1,2,3) ， A 取到元件
21、能工作 500 小时以上 则 %1)(%,4)(%,95)( 321 BPBPBP %70)(%,80)(%,90)( 321 BAPBAPBAP 所以 )()()()()()()(332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP %70%1%80%4%90%95 0.894 27某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供概率论与数理统计 习题 解答 8 货量分别占 40%， 35%和 25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0.65， 0.70和 0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率 .如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率 解
22、：以 Bi 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地， A=抽到优等品 ，则有：1 2 3( ) 0 . 3 5 , ( ) 0 . 2 5 ,P B P BP ( B ) = 0 . 4 , 1( ) 0.65,AP B 32( ) 0 . 7 , ( ) 0 . 8 5AAPPBB所求概率为 ( ).PA 由全概率公式得： 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A AP A P B P P B P P B PB B B 0 . 6 5 0 . 4 0 . 7 0 . 3 5 0 . 8 5 0 . 2 5 0 . 7 1 7 5 . 1 1 11
23、( ) ( ) ( | ) 0 . 2 6( ) 0 . 3 6 2 4( ) ( ) 0 . 7 1 7 5P B A P B P A BBP A P A P A 28用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为 0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为 0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为 0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率 . 解：设 A= 检 查 结 果 为 阳 性 ， B= 癌症患者 . 据题意有( ) 0 . 9 5 , ( ) 0 . 9 0 ,AAPPB B( ) 0.0005,PB 所求概率为 ( )
24、.BP A ( ) 0 . 1 0 , ( ) 0 . 9 9 9 5 .AP P BB 由 Bayes 公式得 ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )AP B P BBPA AAP B P P B PB B 0 . 0 0 0 5 0 . 9 5 0 . 0 0 4 7 0 . 4 7 %0 . 0 0 0 5 0 . 9 5 0 . 9 9 9 5 0 . 1 0 29 3 个射手向一敌机射击，射中的概率分别是 0.4， 0.6 和 0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为 0.2；二人射中，被击落的概率为 0.6；三人射中则必被击落 .（ 1）求敌机被击落的概率；（ 2）已知敌
25、机被击 落，求该机是三人击中的概率 . 解 :设 A=敌机被击落 ， Bi=i 个射手击中 ， i=1,2,3. 则 B1,B2,B3 互不相容 .由题意知：132( ) 0 . 2 , ( ) 0 . 6 , ( ) 1A A AP P PB B B ，由于 3 个射手射击是互相独立的，所以 1( ) 0 . 4 0 . 4 0 . 3 0 . 6 0 . 6 0 . 3 0 . 6 0 . 4 0 . 7 0 . 3 2 4PB 2( ) 0 . 4 0 . 6 0 . 3 0 . 4 0 . 7 0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 6 0 . 4 3 6PB 概率论与数理统计 习
26、题 解答 9 3( ) 0 .4 0 .6 0 .7 0 .1 6 8PB 因为事件 A 能且只能与互不相容事件 B1,B2,B3 之一同时发生 .于是 （ 1）由全概率公式得 31( ) ( ) ( | ) 0 . 3 2 4 0 . 2 0 . 4 3 6 0 . 6 0 . 1 6 8 1 0 . 4 9 4 4iiiP A P B P A B （ 2）由 Bayes 公式得 333 31( ) ( | ) 0 . 1 6 8( | ) 0 . 3 40 . 4 9 4 4( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B . 30 某厂产品有 70%不需要调试即可出
27、厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求 （ 1）该厂产品能出厂的概率；（ 2）任取一出厂产品未经调试的概率 . 解： A 需经调试 A 不需调试 B 出厂 则 %30)( AP ， %70)( AP ， %80)|( ABP ， 1)|( ABP （ 1）由全概率公式： )()()()()( ABPAPABPAPBP %941%70%80%30 . （ 2）由贝叶斯公式：9470%94)()()( )()( ABPAPBP BAPBAP. 31 进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是 p ，求在试验成功 2 次之前已经失败了 3 次的概率 . 解： 所求的概率为 234 (
28、1 )pp . 32 10 个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第 n 次才取 k 次 ()kn 红球的概率。 解： 所求的概率为 11 1910 10k n kknC 33 灯泡使用寿命在 1000h 以上的概率为 0.2，求 3 个灯泡在使用 1000h后，最多只有一个坏了的概率。 解：由二项概率公式所求概率 为 概率论与数理统计 习题 解答 10 3 1 23 3 3(0 ) ( 1 ) 0 . 2 (0 . 2 ) 0 . 8 0 . 1 0 4P P C 34（ Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有 n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完
29、时，试求：另一盒还有 r 根的概率。 解 ：设试验 E 从二盒火柴中任取一盒， A 取到先用完的哪盒， 1()2PA ， 则所求概率为将 E 重复独立作 2nr 次 A 发生 n次的概率，故所求的概率为 2 222 11( ) ( ) ( ) 222 nn n n r nr nrn r n r CP n C . 第二章 思 考 题 1. 随机变量的引入的意义是什么？ 答：随机变量的引入 ,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 .引入随机 变量后 ,对随机现象统计规律的研究 ,就由对事件及事件概率
30、的研究转化为随机变量及其取值规律的研究 ,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究 . 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象 ,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究 . 2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？ 答： 随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高 等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入 . 3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？ 答：有，称为混合型 . 例：设随机变量 2,0UX ，令 .21,1 ;10,)( xxxxg则随机变量 )(XgY 既非离散型又非连续型 . 事实上，由 )(XgY 的定义可知 Y 只在 1,0 上取值，于是当 0y 时， 0)( yFY ；1y 时， 1)( yFY ；当 10 y 时， 2)()( yyXPyXgPyF Y 于是
