1、量子力学例题 第二章 一求解一位定态薛定谔方程 1 试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 解 薛定谔方程 : 当 , 故有 利用波函数在 处的连续条件 由 处连续条件 : 由 处连续条件 : 给定一个 n 值 ,可解一个 , 为分离能级 . 2 粒子在一维 势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 解 体系的定态薛定谔方程为 当 时 对束缚态 解为 在 处连续性要求 将 代入得 又 相应归一化波函数为 : 归一化波函数为 : 3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 求束缚态的能级所满足的方程 解 束缚态下粒子能量的取值范围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为
2、 当 时 令 解为 当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数满足的连续性要求 ,有 要使 有非零解 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式 ,得方程 例题 主要类型 : 1.算符运算 ; 2.力学量的平均值 ; 3.力学量几率分布 . 一 . 有关算符的运算 1.证明如下对易关系 (1) (2) (3) (4) (5) 证 (1) (2) (3) 一般地 ,若算符 是任一标量算符 ,有 (4) 一般地 ,若算符 是任一矢量算符 ,可证明有 (5) =0 同理： 。 2. 证明哈密顿算符为厄密算符 解 考虑一维情况 为厄密算符 , 为厄密算符 , 为实数 为厄密算符 为厄密算符 3 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 , 取 : 试证明 : 也是 和 共同本征函数 , 对应本征值 分别为 : 。 证 。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数 又 : 可求出 : 二 .有关力学量平均值与几率分布方面 1. (1)证明 是 的一个本征函数并求出相应的本征值； (2)求 x 在 态中的平均值 解
