1、IIR 数字滤波器设计原理利用双线性变换设计 IIR 滤波器（只介绍巴特沃斯数字低通滤波器的设计） ，首先要设计出满足指标要求的模拟滤波器的传递函数 ，然后由 通过)(sHa)(sa双线性变换可得所要设计的 IIR 滤波器的系统函数 。z如果给定的指标为数字滤波器的指标，则首先要转换成模拟滤波器的技术指标，这里主要是边界频率 的转换，对 指标不作变化。边界频spw和 sp和率的转换关系为 。接着，按照模拟低通滤波器的技术指标根据)21tan(T相应设计公式求出滤波器的阶数 和 截止频率 ；根据阶数 查巴特沃NdB3cN斯归一化低通滤波器参数表，得到归一化传输函数 ；最后，将 代)(pHa cs
2、p入 去归一，得到实际的模拟滤波器传输函数 。之后，通过双线性)(pHa s变换法转换公式 ，得到所要设计的 IIR 滤波器的系统函数 。12zTs )(zH步骤及内容1) 用双线性变换法设计一个巴特沃斯 IIR 低通数字滤波器。设计指标参数为：在通带内频率低于 时，最大衰减小于 ；在阻带内 频率区间2.0dB1,3.0上，最小衰减大于 。dB152) 以 为采样间隔，绘制出数字滤波器在频率区间 上的幅频响应02. 2/,特性曲线。3) 程序及图形程序及实验结果如下：%iir_1.m%lskyp%rp=1;rs=15;wp=.2*pi;ws=.3*pi;wap=tan(wp/2);was=ta
3、n(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s);z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k);bs,as=lp2lp(bp,ap,wap);bz,az=bilinear(bs,as,.5);h,f=freqz(bz,az,256,1);plot(f,abs(h);title(双线性 z 变换法获得数字低通滤波器，归一化频率轴);xlabel(omega/2pi);ylabel(低通滤波器的幅频相应);grid;figure;h,f=freqz(bz,az,256,100);ff=2*pi*f/100;absh=abs(h);plot(ff(1
4、:128),absh(1:128);title(双线性 z 变换法获得数字低通滤波器,频率轴取0,pi/2);xlabel(omega);ylabel(低通滤波器的幅频相应);grid on;运行结果：0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91 一一一z一一一一一一一一一一一一一一一一一一一/2一一一一一一一一一一0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91 一一一z一一一一一一一一一一一一,一一一一0,/2一一
5、一一一一一一一一窗函数法设计 FIR 数字滤波器原理如果所希望的滤波器的理想频率响应函数为 ，则其对应的单位脉冲)(jwdeH响应为 dweHnhjndd)(21)(窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应 逼近 。由于)(nh)(d往往是无限长序列，且是非因果的，所以用窗函数 将 截断，并)(nhd w进行加权处理，得到： )()(nwhnd就作为实际设计的 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应)(函数 为jweH10)()(NnjwnjweheH式中，为所选窗函数 的长度。)(用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数 的类型及窗口长度 的取)(nwN值。设计过程中，要根据对阻
6、带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度。设待求滤波器的过渡带用 表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带 近似与窗口长度成反比， ， 决定于窗口形式。wAN/例如，矩形窗 A=4，海明窗 A=8 等。按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下， 尽量选择主瓣窄的窗函数。这样选定窗函数类型和窗口长度 后，求出单位脉冲响应N，再求出 。 是否满足要求，要进行验算。一般)()(nwhdn)(jweH)(jw在 的尾部加零使长度满足的整数次幂，以便用 FFT 计算 。如果要)(jweH观察细节，补零点数增多即可。如果 不满足要求，则要重新选择窗函
7、数)(jwe类型和长度 ，再次验算，直至满足要求。N如果要求线性相位特性，则 还必须满足：)(nh)1()nhn根据上式中的正、负号和长度 的奇偶性又将线性相位 FIR 滤波器分成四N类。要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类。例如，要设计线性相位低通特性，可选择 一类， 而不能选 一类。)1()nhn )1()nNhn1) 根据下列技术指标，设计一个线性相位的 FIR 数字低通滤波器。通带截止频率 ，通带允许波动 ；阻带截止频率 ，阻2.0pwdBAp25.02.0Sw带衰减 。dBAS5程序如下：%fir_1.m%lskyp%wp=0.2*pi;N=10;b=fir1(N,wp/pi,bo
8、xcar(N+1);t=0:10;subplot(211)stem(t,b);title(滤波器的单位脉冲响应);h,w=freqz(b,1,256,1);h=abs(h);subplot(212)plot(w,h)title(幅频响应)运行结果：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.2 一一一一一一一一一一0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.500.51 一一一一2) 写出）中所设计的低通滤波器的单位脉冲响应；并调用 fir1()函数得到所设计的低通滤波器的单位脉冲响应，调用 fft()函数进行频响验证。
9、打印输出各部分结果。答：单位脉冲响应： 25.0sin)(Mhd验证程序：%fir_2.m%lskyp%wp=0.2*pi;N=10;b=fir1(N,wp/pi,boxcar(N+1);t=0:10;subplot(211)stem(t,b);title(滤波器的单位脉冲响应);h=fft(b,16);h=abs(h);subplot(212)f=linspace(0,0.5,8)plot(f,h(1:8)title(用 fft 验证 )运行结果：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.2 一一一一一一一一一一0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
10、0.3 0.35 0.4 0.45 0.500.51 一fft一一3) 编程验证窗长和窗形状对实际滤波器性能的影响。如要求用窗函数法设计一个线性相位 FIR 数字低通滤波器，用理想低通滤波器作为逼近滤波器，截止频率 ，用四种窗函数（矩形窗，汉宁窗（升余弦窗） ，哈明radwc4窗（改进的升余弦窗） ，布莱克曼窗）设计该滤波器，选择窗函数的长度两种情况。3,15N程序如下：%fir_3.m%lskyp%wc=pi/4;N=15;window=boxcar(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(221)pl
11、ot(w,h)grid on;title(矩形窗，N=15)N=33;window=boxcar(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(223)plot(w,h)grid on;title(矩形窗,N=33)N=15;window=hanning(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(222)plot(w,h)grid on;title(汉宁窗,N=15)N=33;window=hanning(N+1);b=fi
12、r1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(224)plot(w,h)grid on;title(汉宁窗,N=33)figure(2)wc=pi/4;N=15;window=hamming(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(221)plot(w,h)grid on;title(汉明窗，N=15)N=33;window=hamming(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=
13、abs(h);subplot(223)plot(w,h)grid on;title(汉明窗,N=33)N=15;window=blackman(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(222)plot(w,h)grid on;title(blackman 窗,N=15)N=33;window=blackman(N+1);b=fir1(N,wc/pi,window);h,w=freqz(b,1,256,1)h=abs(h);subplot(224)plot(w,h)grid on;title(blackman 窗,N=33)运行结果：0 0.2 0.4 0.6 0.800.511.5 一一一一N=150 0.2 0.4 0.6 0.800.511.5 一一一,N=330 0.2 0.4 0.6 0.800.51 一一一,N=150 0.2 0.4 0.6 0.800.511.5 一一一,N=330 0.2 0.4 0.6 0.800.51 一一一一N=150 0.2 0.4 0.6 0.800.511.5 一一一,N=330 0.2 0.4 0.6 0.800.51 blackman一,N=150 0.2 0.4 0.6 0.800.51 blackman一,N=33
