1、 高等数学一第5章课后习题详解课后习题全解习题5-11.利用定积分的定义计算由抛物线 2 1y x= + ，直线x a= ，x b= ( )b a 及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义思路：根据求定积分的三步骤做解:将 ,a b 分成n等分,取 ( 1,2 , )i i nx = L 为第i个小区间 1 ( ), ( )i ia b a a b an n-+ - + - 的右端点,则 ,i b ax nl -= D = ,i b aa i nx -= + g 显然, 0 ,nl 于是根据定积分的几何意义,该图形面积0 0lim ( )nbi iaiA ydx y xlx= =
2、 D 21lim ( ) 1nn ib a b aa in n =- -= + +g22 221( )lim 1 2 nn ib a b a b aa ai in n n =- - -= + + +22 221 1( )lim ( 1) 2 n nn i ib a b a b an a a i in n n = =- - -= + + +邋222 32 ( ) ( 1) ( ) 1lim( ) 1 ( 1)(2 1)2 6na b a n n b ab a a n n nn n- + -= - + + + + +g g22 1 ( ) 1 1( )lim 1 ( ) (1 ) ( 1)( 2)
3、6nb ab a a a b an n n-= - + + - + + + +g22 2 ( )( ) 1 3b ab a a ab a -= - + + - + 3 3 ( ).3b a b a-= + -2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义思路：根据求定积分的三步骤做(1) baxdx ( )a b 的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:因为 2 2( )( ) ( ) ( )2 2b a a bx a b x x- +- - = - - 是以 2a b+ 为圆心， 2b a- 为半径的上半圆，其面积为：22 21 (
4、 )( )2 2 2 8b a b aS r p pp - -= = =由定积分的几何意义知： 2( )( )( ) .8bab ax a b x dx p - - =5.试将和式的极限 11 2limp p ppnnn + + +L ( 0)p 表示成定积分.知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过 可知,求和的极限 式可表示为定积分解: 11 2 1 1 2lim lim ( ) ( ) ( ) p p pp p ppn nn nn n n n n+ + + + = + + +L L11lim ( )n pn iin n =( ) pf x x= ，则用定义求 10( )f x d
5、x为：等分0,1为n个小区间： 1 1 , , 1,2, , ii i i n xn n n- = D =L求和：取区间 1 , i in n- 上的右端点为 ix ， i inx = ，作和：1 11( )n ni ii iif xn nx= =D =邋求极限：0 1 1 11 1lim ( ) lim ( ) lim ( )n n np pi i n ni i ii if xn n n nl x = = =D = 邋11 011 2 1lim lim ( )p p p n p ppn nin i x dxn n n+ =+ + + = =L .有 ， 为2 ，从 正 2 ， 得数据 下：x
6、 2 4 1 12 14 1 1 2 y 2 5 11 1 1 21 15 11 3试用梯形 式求 横 面面积的值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分曲边梯形面积的第步：用小形面积currency1小曲边梯形面积， 1( ) ( )iixi i xf x f x dxx-D ，用小梯形面积currency1小曲边梯形面积则为：111 ( ) ( ) ( )2iixi i i xf x f x x f x dx- + D “解:积分区间 , 0,200 ,a b = 并 该区间作1 等分，则区间分点 ( 1,2, , )ix i n= L 及其 的函数值 iy 表所示，第if
7、i的梯形横 面面积： 11 ( )2 i i b ay y n- -+横 面面积 0 10 1 2 91 ( ) 23302b aA y y y y yn- + + + + = L 习题5-21.fl明定积分 :(1) ( ) ( )b ba akf x dx k f x dx=蝌 .(k是数)知识点：定积分 思路：利用定义推导定积分的 证明： ( )f x 在 ,a b 上可积， 意的分法与取法，记max ixl = D ( 1,2, , )i n= L0 01 1( ) lim ( ) lim ( ) ( )n nb bi i i ia ai ik f x dx k f x kf x kf
8、 x dxl lx x = =D = D = 邋蝌(2) 1 =b ba adx dx b a-蝌 .知识点：定积分的定义证明：因为 ( ) 1,f x = 于是 意的分法，有0 01lim 1 lim( ) .nbiaidx x b a b al l = D = - = -g2.计下列 积分的值:(1)4 21( 1)x dx+知识点：定积分 思路：定被积函数在积分区间上的 小值，从而定积分值的取值围解：因为 2x 及 2 1x + 在区间1,4上”，故 22 1 17, 1,4x x ，而区间 4 1 3b a- = - = ， 所以4 212 3 6 ( 1) 17 3 51.x dx=
9、 4 216 ( 1) 51x dx(2) 210xe dx知识点：定积分 思路：定被积函数在积分区间上的 小值，从而定积分值的取值围解：记 2( ) xf x e= ， 求 ( )f x 在 0,1 上的值，由于 2 2( ) 2 2 0, 0,1 ,x xf x e x xe x= = 澄g 所以 ( )f x 在 0,1 上”，因 0 10,1 0,1min ( ) (0) 1,max ( ) (1)x xf x f e f x f e e= = = = = = ， 1 ( )f x e ，由定积分的 ，得： 21 1 10 0 01 1 xdx e dx edx e= =蝌(3)313
10、arctanx xdx知识点：定积分 思路：定被积函数在积分区间上的 小值，从而定积分值的取值围解：记 1( ) arctan , , 33f x x x x= ，因为 2 1( ) arctan 0, ( , 3),31 xf x x xx= + + 所以 ( )f x 在 1 , 33轾犏臌 ”1 1 3min ( ) ( ) arctan ,33 3 6 3m f x f p= = =3min ( ) ( 3) 3 arctan 3 ,3M f x fp= = = =3131 1( 3 ) arctan ( 3 ),6 3 3 3 3x xdxp p- 3132arctan9 3x xd
11、xp p(4)221 1x dxx+知识点：定积分 思路：定被积函数在积分区间上的 小值，从而定积分值的取值围解： 2( ) ,1 xf x x= + 因为当1 2x ，( )f x 在 0x ， 00lim ( ) ( ) 0x x f x f x= ，由极限的 ： 0 0( , ) ( , )x x a bd d$ - + ， 当 0 0( , )x x xd d+ 时， 有 ( ) 0f x ，从而 00( ) 0xxf x dxdd+- ( ) 0baf x dx ，与条 ( ) 0baf x dx= ( ) 0f x ， ( , )x a b ，可fl：当x a= x b= 时， (
12、 ) 0, ( ) 0f a f b= =所以 ( ) 0f x ， , x a b(2)在 ,a b 上, ( ) 0f x , ( ) 0f x ,则 ( ) 0baf x dx 知识点：定积分 思路：反fl法和(1)的 求fl证明：因为 ( ) 0( , )f x x a b澄 ，所以 ( ) 0baf x dx ，而 ( )baf x dx是数值， 有 两可 ( ) 0baf x dx = ，则由上面 fl，在上必有 ( ) 0f x = ， 与 ( ) 0f x ，从而 ( ) 0baf x dx .(3)在 ,a b 上, ( ) ( )f x g x , ( ) ( )b ba
13、af x dx g x dx=蝌 ,则在 ,a b 上, ( ) ( )f x g x .知识点：定积分 思路：由定积分 和(1) 求fl证明： ( ) ( ) ( ), , F x f x g x x a b= - ，则由 可知： ( ) 0, , F x x a b澄因为 ( ) ( ) ( ) 0b b ba a aF x dx f x dx g x dx= - =蝌 ，由(1)得， ( ) ( ) ( ) 0F x f x g x= - = ，从而( ) ( ), , f x g x x a b何4.根据定积分 下列 积分的小:(1) 1 20x dx， 1 30x dx知识点：定积分
14、 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小解：当 (0,1)x 时， 3 2x x . 1 2 30( ) 0x x dx- 1 12 30 0x dx x dx蝌(2) 10xe dx， 210xe dx知识点：定积分 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小解：因为当 (0,1)x 时， 2x x ，故 2x xe e .因 ： 21 10 0x xe dx e dx蝌(3)10xe dx， 10( 1)x dx+知识点：定积分 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小解： ( ) (1 )xf x e x= - + ，则 ( ) 1 0xf x e= - ，
15、 0,1x ， 当 0x= 时， (0) 0f = ，所以在 0,1 上， ( )f x ”( ) (1 ) 0 (0), (1 )x xf x e x f e x= - + 因为在 0,1 上， (1 )xe x ， ( )f x 为0.所以1 10 0( ) (1 ) 0,xf x dx e x dx= - + 蝌1 10 0( 1)xe dx x dx +蝌(4) 20xdxp， 20sin xdxp知识点：定积分 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小解： ( ) sinf x x x= - ，则 ( ) 1 cos 0, 0, .2f x x x p轾= - 澄 犏臌 当
16、 0x= 时， (0) 0f = ，故在 0, 2p轾犏臌 上， ( )f x ”( ) sin 0 (0),f x x x f= - sin ,x x 在 0, 2p轾犏臌 上， sinx x， ( ) 0,f x2 20 0sinxdx xdxp p蝌(5) 02sin xdxp- ， 20 sin xdxp知识点：定积分 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小解：当 ,02x p轾犏臌 ，sin 0x ，从而02sin 0xdxp- ；当 0, 2x p轾犏臌 ，sin 0x ，从而 20sin 0xdxp所以0 202sin sinxdx xdxpp-蝌( ) 01ln(1
17、 )x dx+ ， 01 1 x dxx+知识点：定积分 思路： 过被积函数在积分区间 的小， 定积分值的小： ( ) ln(1 ) 1 xF x x x= + - + ，则 2 21 1( ) 0, (0,1).1 (1 ) (1 )xF x xx x x= - = + + +所以 ( )F x 在(0,1)”， (0) 0F = ， 故 ( ) 0, (0,1)F x x ，所以1 0 0 00 1 1 1( ) 0 ( ) 0 ln(1 ) 1 xF x dx F x dx x dx dxx + 5.利用积分值定 fl明：120lim 01nnx dxx =+知识点：定积分 思路：利用定
18、积分的值定 求极限证：由积分值定 知，在 点 10, 2nx 轾犏臌 ， 12011 1 2nnnx dxxxx=+ + g ，因为 10 2nx ，所以lim 0nn x = lim 01 nnnxx + ，所以1201lim lim 0.1 1 2nnn n nx dxxxx = =+ + g . 函数 ( )f x 在 0,1 上 ，在(0,1) 可导，1233 ( ) (0)f x dx f=fl明：在(0,1) 在 点x， ( ) 0f x = .知识点：定积分 思路： 利用积分值定 ，得 定 条 ，求fl证：由积分值定 知，在 2 ,13轾臌 上在 点c， 12323 ( ) 3
19、( )(1 ) ( ) (0)3f x dx f c f c f= - = =g ，故 ( )f x 在区间 0,c 上 定 条 ，因 在 点 (0, ) (0,1)cx翁 ， ( ) 0f x =习题5-31 0sinxy tdt= ,求 (0)y , ( )4y p .知识点：积分上限函数求导 式思路： 利用积分上限函数导数 式求导数, 点计算解：因为 ( ) sin ,y x x= 所以 2(0) 0, ( ) .4 2y y p = =2计算下列 导数:(1)2301xd t dtdx + 知识点：积分上限函数求导 式解：2 23 2 3 60( )1 1 ( ) 2 1 .xd d
20、xt dt x x xdx dx+ = + = +(2) 32 41xxd dtdx t+ 知识点：积分上限函数求导 式解 ：3 3 223 24 4 4 3 4 2 40 01 ( ) 1 ( ) .1 1 1 1 ( ) 1 ( )x x xxd dt d dt dt d x d xdx dx dx dxt t t x x= - = -+ + + + +蝌212 83 21 1x xx x= -+ +(3) cos 2sincos( )xxd t dtdx p 知识点：积分上限函数求导 式解：cos cos sin2 2 2sin 0 0cos( ) cos( ) cos( ) x x x
21、xd dt dt t dt t dtdx dxp p p= -蝌2 2cos( cos )(cos ) cos( sin )(sin )x x x xp p= -2 2sin cos( sin ) cos cos( sin )x x x xp p p= - - - 2cos( sin )(sin cos ).x x xp= -3 230( ) 1x dxg xx= + ，求 (1)g “知识点：积分上限函数求导 式思路： 利用积分上限函数导数 式和的求导 式求 导数, 点计算解： 62( ) ,1 xg x x= + 6 5 66 2 6 22(1 ) 6 2 2 10( ) ,(1 ) (1 )x x x xg xx x+ - - = =+ +g 所以 22 10(1) 2.(1 1)g- = = -+4 函数 ( )y y x= 由 0 0cos 0y xtedt tdt+ =蝌 定，求dydx知识点：积分上限函数求导 式思路： 两边 时 x求导求得
