1、整式的乘除因式分解易错题分析整式的乘除例 1、 （a） 3（a） 2（a 5）=（ ）A、a 10 B、a 10C、a 30 D、a 30考点：同底数幂的乘法。分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可解答：解：（a） 3（a） 2（a 5）=（a 3）a 2（a 5）=a 3+2+5=a10故选 A点评：本题主要利用同底数幂的乘法的性质求解，符号的运算是容易出错的地方例 2、已知 a=8131，b=27 41，c=9 61，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A、abc B、acbC、abc D、bca考点：幂的乘方与积的乘方。分析：先把 81，27，9 转化为底数为 3 的幂，再根据
2、幂的的乘方，底数不变，指数相乘化简然后根据指数的大小即可比较大小解答：解：a=81 3=（3 4） 31=3124b=2741=（3 3） 41=3123；c=961=（3 2） 61=3122则 abc故选 A点评：变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便例 3、下列四个算式中正确的算式有（ ）（a 4） 4=a4+4=a8；（b 2） 22=b222=b8；（x） 32=（x）6=x6；（y 2） 3=y6A、0 个 B、1 个C、2 个 D、3 个考点：幂的乘方与积的乘方。分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘的性质计算即可 （a m） n=amn解答：解：应为（a 4） 4=a44
3、=a16，故不对；（b 2） 22=b222=b8，正确；（x） 32=（x） 6=x6，正确；应为（y 2） 3=y 6，故不对所以两项正确故选 C点评：本题考查了幂的乘方的运算法则应注意运算过程中的符号例 4、 （2004宿迁）下列计算正确的是（ ）A、x 2+2x2=3x4 B、a 3（2a 2）=2a 5C、 （2x 2） 3=6x 6 D、3a（b） 2=3ab 2考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。分析：把四个式子展开，比较计算结果即可解答：解：A、应为 x2+2x2=3x2；B、a 3（2a 2）=2a 5，正确；C、应为（2x 2） 3=8x 6；D、应为 3
4、a（b） 2=3ab2故选 B点评：本题考查了合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式的乘法的法则，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错例 5、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ）A、3 B、3C、0 D、1考点：多项式乘多项式。分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把 m 看作常数合并关于 x 的同类项，令 x 的系数为 0，得出关于 m 的方程，求出 m 的值解答：解：（x+m） （x+3）=x 2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又乘积中不含 x 的一次项，3+m=0，解得 m=3故选 A点评：本题主要考查了多项式乘多项式的运
5、算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于 0 列式是解题的关键例 6、计算 x5x3x2= x 10 考点：同底数幂的乘法。分析：根据同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答：解：x 5x3x2=x5+3+2=x10点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键例 7、计算：（a 3） 2+a5的结果是 a 6+a5 考点：幂的乘方与积的乘方。分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可解答：解：（a 3） 2+a5=a32+a5=a6+a5点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并例 8、已知 a3n=4，则 a
6、6n= 16 考点：幂的乘方与积的乘方。分析：运用幂的乘方的逆运算，把 a6n转化为（a 3n） 2，再把 a3n=4，整体代入求值解答：解：a 3n=4，a 6n=（a 3n） 2=42=16点评：本题考查幂的乘方的性质，灵活运用幂的乘方（a n） m=amn进行计算例 9、已知：2 x=4y+1，27 y=3x1 ，则 xy= 3 考点：幂的乘方与积的乘方。分析：在同底数幂的运算中，当底数相等且结果相等时，其幂也相等本题利用此知识点，借助底数幂的运算法则，进行运算，得到结果解答：解：2 x=4y+12 x=2（2y+2）x=2y+2 又27 x=3x1 3 3y=3x13y=x1解组成的方
7、程组得xy=3点评：本题主要考查幂的乘方的性质的逆用：a mn=（a m） n（a0，m，n 为正整数） 例 10、计算：（1） （2ab） （b+2a）（3a+b） 2= 5a 26ab2b 2 ；（2） = 3 ；（3）简便方法计算：（0.25） 200942010= 4 考点：单项式乘单项式。分析：（1）首先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式的乘法和平方，再计算整式的加减运算；（2）首先运用负整数指数幂、零指数幂的意义计算乘方，再进行加减运算；（3）首先将 42010改写成 420094，然后逆用积的乘方的运算性质，计算（0.25） 200942009，即可得出结果解答：解：（1）原
8、式=4a 2b 2（9a 2+6ab+b2）=4a2b 29a 26abb 2=5a 26ab2b 2；（2）原式=41=3；（3）原式=（0.25） 2009420094=（0.254） 20094=14=4点评：本题主要考查了整式及有理数的混合运算首先确定运算顺序，然后根据运算法则计算乘法公式使用例 1、x 2+ax+144 是完全平方式，那么 a=（ ）A、12 B、24C、12 D、24考点：完全平方式。分析：先根据平方项确定出这两个数是 x 和 12，再根据完全平方式：（ab）2=a22ab+b2表示出乘积二倍项，然后求解即可解答：解：两平方项是 x2和 144，这两个数是 x 与
9、12，ax=212x，解得 a=24故选 D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式此题解题的关键是利用平方项确定出这两个数例 2、下列计算中：x（2x 2x+1）=2x 3x 2+1；（a+b） 2=a2+b2；（x4）2=x24x+16；（5a1） （5a1）=25a 21；（ab） 2=a2+2ab+b2，正确的个数有（ ）A、1 个 B、2 个C、3 个 D、4 个考点：平方差公式；完全平方公式。分析：根据单项式乘多项式，应用单项式去乘多项式的每一项；完全平方公式展开应是三项；（a+b） （ab）=a 2b 2；按照相应的方法计算
10、即可解答：解：应为 x（2x 2x+1）=2x 3x 2+x，故不对；应为（a+b） 2=a2+2ab+b2，故不对；应为（x4） 2=x28x+16，故不对；应为（5a1） （5a1）=125a 2，故不对；（ab） 2=a2+2ab+b2，正确故选 A点评：此题主要考查了整式乘法，平方差公式及完全平方公式的运用例 3、计算（ab） （a+b） （a 2+b2） （a 4b 4）的结果是（ ）A、a 8+2a4b4+b8 B、a 82a 4b4+b8C、a 8+b8 D、a 8b 8考点：平方差公式；完全平方公式。分析：这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互
11、为相反数相乘时符合平方差公式得到 a2b 2，再把这个式子与 a2+b2相乘又符合平方差公式，得到 a4b 4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算解答：解：（ab） （a+b） （a 2+b2） （a 4b 4） ，=（a 2b 2） （a 2+b2） （a 4b 4） ，=（a 4b 4） 2，=a82a 4b4+b8故选 B点评：本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解例 4 已知 x+y=4，且 xy=10，则 2xy= 42 考点：完全平方公式。专题：计算题。分析：把原题中两个式子平方后相减，即可求出 xy 的值解答：解：x+y=4
12、，且 xy=10（x+y） 2=16， （xy） 2=100即 x2+2xy+y2=16 ，x 22xy+y 2=100 得：4xy=84所以 2xy=42点评：本题主要考查完全平方公式两公式的联系，两公式相减即可消去平方项，得到乘积二倍项，熟记公式结构是解题的关键解得 k=1例 5、已知 ab=3，a 2b 2=9，则 a= 3 ，b= 0 考点：平方差公式。分析：先根据 ab=3 和 a2b 2=9，利用平方差公式求出 a+b=3，再联立方程组，解方程组即可解答：解：a 2b 2=（a+b） （ab）=9，a+b=3，联立方程组 ，解得：a=3，b=0点评：本题考查了平方差公式，主要是对平
13、方差公式的灵活应用，也考查了对二元一次方程组的解法因式分解例 1.a-6a+9错解： a-6a+9= a-23a+3=（a+3）分析：完全平方公式括号里的符号根据 2 倍多项式的符号来定正解：a-6a+9= a-23a+3=（a-3）例 2. 4m+n-4mn错解：4m+n-4mn=(2m+n) 分析：要先将位置调换，才能再利用完全平方公式正解：4m+n-4mn=4m-4mn+n=（2m）-22mn+n=（2m-n）例 3.（a+2b）-10（a+2b）+25错解：（a+2b）-10（a+2b）+25=（a+2b）-10（a+2b）+5= (a+2b+5)分析：要把 a+2b 看成一个整体，再
14、运用完全平方公式正解：（a+2b）-10（a+2b）+25=（a+2b）-25（a+2b）+5=（a+2b-5）例 4.2x-32错 解 ： 2x-32=2(x-16)分 析 ： 要先提取 2，在运用平方差公式括号里能继续分解的要继续分解正 解 ： 2x-32=2（ x -16）=2（ x+4）（x-4）=2（ x+4）（x+2）（x-2）例 5.（ x-x） -（ x-1） 错 解 ： （ x-x） -（ x-1） =（ x-x） +（ x-1） （ x-x） -（ x-1） =（ x-x+x-1） （ x-x-x-1）=（ x-1） （ x-2x-1）分 析 ： 做题前仔细分析题目，看有没
15、有公式，此题运用平方差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解正 解 ： （ x-x） -（ x-1） =（ x-x） +（ x-1） （ x-x） -（ x-1） =（ x-x+x-1） （ x-x-x-1）=（ x-1） （ x-2x+1）=（ x+1） （ x-1） 例 6. -2ab+ab+ab错解：-2ab+ab+ab=-ab(-2ab+b+a)=-ab(a-b) 分析：先提公因式才能再用完全平方公式正解：-2ab+ab+ab=-（2ab-ab-ab）=-（ab2ab-abb-aba）=-ab（2ab-b-a）=ab（b+a-2ab）=ab（a-b）例 7.24a（a-b）-
16、18 （a-b）错解：24a（a-b）-18 （a-b）=（a-b）24a-18(a-b) =（a-b）(24a-18a+18b)分析：把 a-b 看做一个整体再继续分解正解： 24a（a-b）-18 a-b）= 6（a-b）4a-6（a-b）3（a-b）= 6（a-b）4a-3（a-b）=6（a-b）（4a-3a+3b）=6（a-b）（a+3b）例 8.（x-1）（x-3）+1错解：（x-1）（x-3）+1= x+4x+3+1= x+4x+4=（x+2）分析：无法直接分解时，可先乘开再分解正解：（x-1）（x-3）+1= x-4x+3+1= x-4x+4=（x-2）例 9.2（a-b）+8（
17、b-a）错解：2（a-b）+8（b-a）=2(b-a) +8（b-a）= 2(b-a) (b-a) +4分析：要先找出公因式再进行因式分解正解： 2（a-b）+8（b-a）= 2（a-b）-8（a-b）= 2（a-b）（a-b）-2（a-b）= 2（a-b）（a-b）-4= 2（a-b）（a-b+2）(a-b-2)例 10. （x+y）-4（x+y-1）错解： （x+y）-4（x+y-1）=（x+y）-(4x-4y+4)=(x+2xy+y)-(4x-4y+4)分析：无法直接分解时，要仔细观察，找出特点，再进行分解正解： （x+y）-4（x+y-1）=（x+y）-4（x+y）+4=（x+y-2）
18、1.对于任何整数 m,多项式(4m+5) 2-9 都能( )A.被 8 整除 B.被 m 整除C.被(m-1) 整除 D.被(2m-1)整除思路解析:因为(4m+5) 2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以(4m+5) 2-9 都能被 8 整除.答案:A2.满足 m2+n2+2m-6n+10=0 的是 ( )A.m=1,n=3 B.m=1,n=-3C.m=-1,n=3 D.m=-1,n=-3思路解析:m 2+n2+2m-6n+10=(m+1)2+(n-3)2=0,所以 m=-1,n=3.答案:C3.已知正方形的面积是 9x2+6xy+
19、y2(x0,y0),则该正方形的边长为_.思路解析:把 9x2+6xy+y2 分解因式可得 9x2+6xy+y2=(3x+y)2.答案:3x+y4.若 x2+mx+n 是一个完全平方式,则 m,n 的关系是_.思路解析:若 x2+mx+n 是一个完全平方式,则常数项 n 等于一次项系数 m 的一半的平方.答案:m 2=4n5.已知 a-2=b+c,则代数式 a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值是_.思路解析:因为 a-2=b+c,所以 a-b-c=2,所以原式=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-
20、b-c)2=4.答案:46.已知 x,y 满足 x2+4xy+4y2-x-2y+ =0,则 x+2y 的值为_.41思路解析:x 2+4xy+4y2-x-2y+ =(x+2y)2-(x+2y)+ =(x+2y- )2,由非负数性质可得 x+2y= .121答案: 17.当 x_取时,多项式 x2+4x+6 取得最小值是_.思路解析:因为 x2+4x+6=(x+2)2+2,且(x+2) 20,所以当 x=-2 时,(x+2) 2+2 有最小值为 2.答案:-2 214.观察下列各式 x2-1=(x-1)(x+1),x3-1=(x-1)(x2+x+1),x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1),
21、根据前面各式的规律可猜想 xn+1-1=_.思路解析:观察特点, 找出其内在的规律.答案:(x-1)(x n+xn-1+x+1)8.利用分解因式求值.(1)已知 x+y=1,xy=- ,利用因式分解求 x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值;21(2)已知 a+b=2,ab=2,求 a3b+a2b2+ ab3的值1(3)(m2-m)2+ (m2-m)+ .6思路分析:对于(1), 可将 x(x+y)(x-y)-x(x+y)2提取公因式 x(x+y);对于(2), 先提取公因式 ab,再21运用公式法分解.解:(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y) 2=x(x+y)(x-y)-(x+y)
22、=-2xy(x+y)=1;(2)原式= ab(a+b)2=4. (3)(m2-m)2+ (m2-m)+ =(m- )4116219.利用分解因式计算.(1) 19 15; (2) .173 0120923思路分析:对于(1), 可提取公因式 ;对于(2),可对分子、分母采取分步分解的方法进行化17简计算.解:(1) 19 15= (19+15)=-26;1733(2) 20)1(20920193 2019)(20192019210.n 为整数,试说明(n+5) 2-(n-1)2 的值一定能被 12 整除.思路分析:要证明(n+5) 2-(n-1)2 的值能被 12 整除,只要将此式分解因式,使
23、 12 成为其中的一个因式即可.解:(n+5) 2-(n-1)2=(n+5)+(n-1) (n+5)-(n-1)=(2n+4)6=2(n+2)6=12(n+2),因为 n 为整数,所以 n+2 也为整数,故 12(n+2)能被 12 整除,即(n+5) 2-(n-1)2 的值一定能被 12整除.11.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2(x-1)(x-9),而乙同学因看错了常数项而将其分解为 2(x-2)(x-4),请你将此二次三项式进行正确的因式分解.思路分析:解答此类问题的基本思路是 “将错就错”,找出在错误的答案下 ,依然正确的条件,运用整式乘法与因式分解的关系进行求解.解:2(x-1)(x-9)=2x 2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,因为甲同学看错了一次项系数,但没有看错常数项,乙同学看错了常数项但没有看错一次项系数,所以原多项式为 2x2-12x+18.分解因式得 2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
