1、1锐角三角函数知识点总结与训练1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 abc22cba2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：定 义 表达式 取值范围 关 系正弦 斜 边的 对 边AsincaAsin 1sin0(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边cobo o(A 为锐角)BAcosini1si22正切 的 邻 边的 对 边AtanbaAtn0tn(A 为锐角) SinA=cosA tanA3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角
2、的 正 弦值 。BcosinAi )90cos(inAi4、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90sin0 212231co1 310tan0 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当 0 90时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。6、正切的增减性：当 0 90时，tan 随 的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： ；角的关系：A+B=90 ；边角关系：三角函数22cba的定义。( 注意：尽量避免使用中间数据和除法 )8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯
3、角：视线在水平线下方的角。90得由 B 对边邻边斜边A CBbac2仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll (2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度( 坡比)。用字母 表示，即 。坡hl iil度一般写成 的形式，如 等。1:m1:5i把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角) ，那么 。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB 、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 45（东北方向） ， 南偏东 45
4、（东南方向） ，南偏西 45（西南方向） ， 北偏西 45（西北方向） 。3类型一：直角三角形求值例 1已知 Rt ABC 中， 求 AC、AB 和 cosB,12,43tan,90BCAC例 2已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点， 43sinAO求：AB 及 OC 的长例 3.已知 是锐角， ，求 ， 的值A178sinAcostan对应训练：1在 RtABC 中， C90，若 BC1，AB= ，则 tanA 的值为5A B C D2 525242在ABC 中，C=90， sinA= ，那么 tanA 的值等于（ ）.53A B. C. D. 354443类型二. 利
5、用角度转化求值：例 1已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tan B例 2 如图，直径为 10 的 A 经过点 和点 ，与 x 轴的正半轴交于点 D，B(05)C，(0)O，是 y 轴右侧圆弧上一点，则 cosOBC 的值为（ ）A B C D12323545对应训练:3.如图， O 是 的外接圆， A是 O 的直径，若 的半径为 32， AC，则 sinB的值是（ ）A D E CB F 第 18题 图 A 23 B 32 C 34 D 434. 如图 4，沿 折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处已知 ，EAD8
6、AB，AB=8, 则 的值为 ( )10BCtanF 5类型三. 化斜三角形为直角三角形例 1 如图，在ABC 中，A=30，B=45 ，AC=2 ，求 AB 的长3DCBAOyx 图85例 2已知：如图，在ABC 中，BAC 120，AB10，AC 5求：sinABC 的值对应训练1如图，在 RtABC 中，BAC=90 ，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若AB=2，求ABC 的周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC 中，AB9，BC 6，ABC 的面积等于 9，求 sinB3. ABC 中，A=60 ，AB=6 cm，AC =4 cm，则ABC 的面积是A.2 cm2 B.
7、4 cm23 3C.6 cm2 D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例 1 如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ）A B C D251025对应训练：1如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A =_.62正方形网格中， 如图放置，则 tan 的值是（ AOB AOB）A B. C. D. 212类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算： 60tan45si230cos2）计算： .3cossi6tan23)计算：3 1 +(21) 0 3tan30tan454)计算： 03tan245sin60co25)计算： ；tan45i31cs类型六
8、：解直角三角形的实际应用例 1如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45 ，如果此时热气球C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ）A200 米 B200 米 C220 米 D100（ ）米例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，CBA A B O 图 2 7DAE45点 D 到地面的垂直距离 ，求点 B 到地面的垂直距离 BCm23DE例 3 如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高 BD=30
9、m从水平面上一点 C 测得风力发电装置的顶端 A 的仰角DCA=60，测得山顶 B 的仰角DCB=30，求风力发电装置的高 AB 的长对应训练:1.如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向前进20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（ ）A10 米 B10 米 C20 米 D 米2如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 30方向上的 B 处.（1）B 处距离灯塔 P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长
10、线上，距离灯塔 200海里的 O 处已知圆形暗礁区域的半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达 B 处是否有触礁的危险，并说明理由8类型七:三角函数与圆：例 1已知：如图， BC 是 O 的直径， AC 切 O 于点 C， AB 交 O 于点 D，若AD DB23， AC10，求 sinB 的值例 2. 已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 的切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1) 求证：AOD=2C(2) 若 AD=8，tanC= ，求O 的半径。34对应训练:1.如图，DE 是O 的直径， CE 与O 相切，E 为切点.连接 CD 交O 于点 B，在 EC
11、 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是O 的切线 ;（2）若 , DE=9，求 BF 的长54Ccos2已知：如图， ABC 内接于 O，过点 B 作 O 的切线，交 CA 的延长线于点E， EBC2 C求证： AB AC；若 tan ABE ， （）求 的值；（）求当21BCAAC2 时， AE 的长DBOACCFDOBE9复习题1. 如图 4，沿 折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处已知 ，AEABCDBCF8AB，AB=8,则 的值为 ( )10BCtanF 3354图 4 图 5 图 62. 如图 5，在直角坐标系中，将矩形 沿 对折，使点 落在 处，已知OABCA1
12、， ，则点 的坐标是（ ）3OA1B13. 如图 6，在等腰直角三角形 中， ， ， 为 上一点，若906DC，则 的长为( )tan5DAA B C D 22124. 如图 8， 中， , 是直角边 上的点，且 ,Rt90AC2Ba，则 边的长为 15. 如图 10，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，AEFGHDA若 ，四边形 的周长为 ，则矩形 的面积为 _4tan3EH40图 86. 如图 12 所示， 中， ， 于 ， ， ，ABCBDAC6B12DCA则 _cos7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为_.8. 等腰三角形的三边的长分别为 1、
13、1、 ，那么它的底角为3A.15 B.30 C.45 D.609. ABC 中，A=60 ，AB=6 cm，AC =4 cm，则ABC 的面积是A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm23图 10 图 12A D E CB F 第 18题 图 1010. 在菱形 ABCD 中， ，AC=4,则 BD 的长是 （ ）60ABC83A、 43、 23、 8D、11. 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8 ，A 的平分线 AD=求 B 的度316数及边 BC、AB 的长.12. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图 13 所示，某学生在河东岸点 处观测到河对岸水边有一点 ，测得 在 北偏西 的方向上，ACA31沿河岸向北前行 20 米到达 处，测得 在 北偏西 的方向上，请你根据以上数B45据，帮助该同学计算出这条河的宽度（参考数值：tan31 ，sin31 ）532113. 在一次公路改造的工作中，工程计划由 点出发沿正西方向进行，在 点的南偏西AA方向上有一所学校 B，如图 14 ，占地是以 为中心方圆 的圆形，当工程60 B10m进行了 后到达 处，此时 在 南偏西 的方向上，请根据题中所提供的信2mC30息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校图 13图 14D A B C
