1、1线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打，错误打)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即. ( )cabcba2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( )3. 若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0. ( )4. 设 都是 阶矩阵，且 ，则 . ( ) CBA,nEABC5. 若矩阵 A 的秩为 r ，则 A 的 r1 阶子式不会全为零. ( )6. 若矩阵 A 与矩阵 B 等价，则矩阵的秩 R(A) = R(B). ( )7. 零向量一定可以表示成任意
2、一组向量的线性组合. ( )8. 若向量组 线性相关，则 一定可由 线性表示. ( )s,.21 1s,29. 向量组 中，若 与 对应分量成比例，则向量组 线性相关. ( )1s s,2110. 线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( )3,.21s11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( )12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若 为可逆矩阵 A 的特征值，则 为 的特征值. ( )1A14. 方程组 的解向量都是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量. ( )()Ex015. n 阶方阵 A 有 n 个不同特征值是
3、 A 可以相似于对角矩阵的充分条件 . ( )16. 若矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )BRB()二、单项选择题1. 设行列式 则行列式 ( ) , ,21321nama 23211an )A( )( )Bm )C( n )D2. 行列式 的元素 的代数余子式 的值为 ( )701256832121A23 )A(3 )B(56 )C(56 )D(3. 四阶行列式 中 x 的一次项系数为 ( )110 )A( )B(4 )C(4 )D(4. 设 则 D2 与 D1 的关系是 ( ),. ,. 112,21221112 nnnnnn aaaD )A( 12 )B(D2)( )C(1)(2 )(D
4、n5. n 阶行列式 的值为 ( )abbabDn0000 na )A(na)B( nnb1)()C)(Dba6. 已知 则 ( ),10231*A )( )(2 3 )(7. 设 A 是 n 阶方阵且 ，则 ( )51T)(15)(1 )B(n Cnn5 D8. 设 A 是 矩阵，B 是 矩阵 ，则下列运算结果是 m 阶方阵的是 ( )mm)( )(T )(ABA T)( B9. A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ，则必有 ( )22)(E )( E )B )C( AD10. 设 A、B 均为 n 阶方阵，满足等式 ，则必有 ( )OAO )(或 )( 0)B或 0)(B11. 设 A 是方
5、阵，若有矩阵关系式 ，则必有 ( )CB)( A )B(或O)(或 CA )D(或312. 已知方阵 ，以及初等变换矩阵 1312313232311 , aaaBA，则有 ( )10 ,1021PPBA2 )( BPA2 )( BAP12)C( BAP21 )D(13. 设 A、B 为 n 阶对称阵且 B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是 ( )1)(1)(1 )(214. 设 A、B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )(A) 若 A、B 均可逆，则 A+B 可逆 (B) 若 A、B 均可逆，则 AB 可逆(C) 若 A+B 均可逆，则 AB 可逆 (D) 若 A+B 可逆，则 A、 B
6、 均可逆15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C) 非奇异阵等价于单位阵(D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中 ( )(A) 所有 r1 阶子式都不为 0 (B) 所有 r1 阶子式全为 0(C) 至少有一个 r 阶子式不为 0 (D) 所有 r 阶子式都不为 017. 设 A、B 、C 均为 n 阶矩阵，且 ABC = E，以下式子(1) BCA = E， (2) BAC = E， (3) CAB = E， (4) CBA = E中，一定成立的是 ( )(A) (1)
7、 (3) (B) (2) (3) (C) (1) (4) (D) (2) (4)18. 设 A 是 n 阶方阵，且 (s 为正整数)，则 等于 ( )OA1)(AE1 )( 1 )B(s. C2 1. DsAE19. 已知矩阵 ， 是 A 的伴随矩阵，则 中位于(1, 2)的元素是 ( )41203A*A(A) 6 (B) 6 (C) 2 (D) 2420. 已知 A 为三阶方阵，R(A) = 1，则 ( )32 )B(R1CAR0 )D(AR21. 已知 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵 AT 的秩等于 ( )4(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 422. 设两个向量组 和 均线
8、性无关，则 ( )s .,21s .,21(A) 存在不全为 0 的数 使得 ,和0s. 21 0s. 21(B) 存在不全为 0 的数 使得 .,1)(.)( )(21 ss(C) 存在不全为 0 的数 使得s .,1 0)(.)( )(21 ss(D) 存在不全为 0 的数 和不全为 0 的数 使得s .,1 s .,21和. 21 . 2123. 设有 4 维向量组 ，则 ( )6., (A) 中至少有两个向量能由其余向量线性表示621., (B) 线性无关(C) 的秩为 4 .,(D) 上述说法都不对24. 设 线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( )321,)A(0 321 ,
9、 )B(1321 , , C 1 ,D25. n 维向量组 线性无关的充要条件是 ( )(.ns(A) 中任意两个向量都线性无关s ,21(B) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示.(C) 中任一个向量都不能用其余向量线性表示s ,(D) 中不含零向量.2126. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意 n 个 n+1 维向量线性相关 (B) 任意 n 个 n+1 维向量线性无关(C) 任意 n+1 个 n 维向量线性相关 (D) 任意 n+1 个 n 维向量线性无关27. 已知线性方程组 的系数行列式 D =0，则此方程组 ( )0.212121nnnxaxa5(A) 一定有唯一解 (B)
10、 一定有无穷多解(C) 一定无解 (D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组 的系数行列式 D =0，把 D 的第一列nnnbxaxa.2122 121换成常数项得到的行列式 ，则此方程组 ( )0D(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解(C) 一定无解 (D) 不能确定是否有解29. 已知 A 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是 ( )nm0Ax(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关(C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关30. 已知 A 为 矩阵，且方程组 有唯一解，则必有 ( )nbxmR),(bnR),( BmR, )C(b
11、nR),( DbA31. 已知 n 阶方阵 A 不可逆，则必有 ( )(D) 方程组 只有零解)( 1)( 0A ( 0x32. n 元非齐次线性方程组 的增广矩阵的秩为 n+1，则此方程组 ( )bx(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 不能确定其解的数量33. 已知 是非齐次线性方程组 的任意两个解，则下列结论错误的是 ( )21,(A) 是 的一个解 (B) 是 的一个解0Ax )(21bAx(C) 是 的一个解 (D) 是 的一个解21 34. 若 是线性方程组 的基础解系，则 是该方程组的 ( )43 ,v0x4321vv(A) 解向量 (B) 基础解系 (C)
12、 通解 (D) A 的行向量35. 若 是线性方程组 的解， 是方程 的解，则以下选项中是方程 的解bA0x bAx的是 ( ) (C 为任意常数)C )B( C )( )D(36. 已知 矩阵 A 的秩为 ， 是齐次线性方程组 的任意两个不同的解，knm1n2,0Ax为任意常数，则方程组 的通解为 ( )0x1 )(k2 )(k)21k)(21k37. n 阶方阵 A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于 n 0BA(C) A 的特征值都等于零 (D) A 的特征值都不等于零638. 已知 A 为三阶方阵， E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为 ，则下列矩阵中是3 ,21可
13、逆矩阵的是 ( ) )( B( EA3 )C(EA )D(39. 已知 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ( )21 , 21,(A) 和 线性相关 (B) 和 线性无关 12(C) 和 正交 (D) 和 的内积等于零1240. 已知 A 是一个 阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )3(n(A) 若存在数 和向量 使得 ，则 是 A 的属于特征值 的特征值A(B) 若存在数 和非零向量 使得 ，则 是 A 的特征值0E)(C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若 是 A 的三个互不相同的特征值， 分别是相应的特征向量，则 321 , 321, 有可
14、能线性相关 ,41. 已知 是矩阵 A 的特征方程的三重根， A 的属于 的线性无关的特征向量的个数为 k，0 0则必有 ( )3k3 )B(k3 )C(k3 )D(k42. 矩阵 A 与 B 相似，则下列说法不正确的是 ( )(A) R(A) = R(B) (B) A = B (D) A 与 B 有相同的特征值BA)43. n 阶方阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵 A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵 E (B) A 的 n 个列向量
15、都是单位向量(C) (D) A 的 n 个列向量是一个正交向量组1T45. 已知 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )必为 1)(2 )B(D) A 的行( 列)向量组是单位正交组T1 C46. n 阶方阵 A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵 E (B) A 相似于对角矩阵7(D) A 的 n 个列向量是一个正交向量组T1 )C(A47. 已知 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， ，则 ( )CBT(A) A 与 B 相似 (B) A 与 B 不等价(C) A 与 B 有相同的特征值 (D) A 与 B 合同3、填空题1. 已知 是五阶行列式中的一项且带正号，则 i
16、 = ，k = .45132aki2. 已知三阶行列式 ， 表示元素 对应的代数余子式，则与987654321DijAija对应的三阶行列式为 .2321cAba3. 已知 ，则 x = .02150x4. 已知 A，B 均为 n 阶方阵，且 ，则0 ,baBA， .T)2( 125. 已知 A 是四阶方阵，且 ，则 ， .31*43A6. 已知三阶矩阵 A 的三个特征值分别为 ，则 .1,7. 设矩阵 ，B 是方阵，且 AB 有意义，则 B 是 阶矩阵，AB 是 23211a行列矩阵.8. 已知矩阵 ，满足 ，则 A 与 B 分别是 ， 阶矩阵.nsijc)( ,CAC9. 可逆矩阵 A 满
17、足 ，则 .OE2110. 已知 ，若 线性相关，则 x，y 满足关系式T3TT1 )2,( ,)0 ,( ,)(yx 321 ,.811. 矩阵 的行向量组线性 关.321aA12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .13. 设 A 是 矩阵， ，若 为非齐次线性方程组 的两个不同的解，则4)(AR21 ,bAx该方程的通解为 .14. 已知 A 是 矩阵， ，则齐次线性方程组 的一个基础解系中含有nm)( )nr0解的个数为 .15. 已知方程组 无解，则 a = .321132xa16. 若齐次线性方程组 只有零解，则 需要满足 .0321x17. 已知矩阵 可相
18、似对角化，则 x = .5043A18. 已知向量 、 的长度依次为 2 和 3，则向量内积 ., 19. 已知向量 ，c 与 a 正交，且 ，则 ，c = . ,201ba cab20. 已知 为 的特征向量，则 a = ，b = .1x2351bA21. 已知三阶矩阵 A 的行列式 ，且有两个特征值 和 4，则第三个特征值为 .8122. 设实二次型 的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形),(54321xxf为 .),(54321zzf23. 二次型 的矩阵为 .23213214),( xxxf 24. 已知二次型 的矩阵为 ，则此二次型 .),(zyf 05),(zyxf25. 已知
19、二次型 是正定的，则 t 要满足 .312321321),( xtxxf 94、行列式计算1. 已知 A，B 为三阶方阵， ，求行列式 .2 ,1BAAB1*)2(2. 已知行列式 ，求 .20196342D4132153. 计算 n 阶行列式 ，其中主对角线上的元素都是 2，另外两个角落的元素2.01.nD是 1，其它元素都是 0.4. 计算 n 阶行列式 .xaDn5. 计算 n 阶行列式 .21.0.210.nD6. 计算行列式 .dxcbax7. 计算行列式 .yxD118. 计算行列式 .3.32121nnnxxD105、矩阵计算1. 设 ，求 (1) ；(2) .04213 ,12
20、043BATAB142. 已知 ，且 ，求 X.152 ,1243. 设 ，B 均为三阶方阵， E 为三阶单位阵，且 ，求 B.102A AEB24. 设 ，E 为四阶单位阵，且矩阵 X 满足关系式20134 ,10CB，求 X.ECXT)(5. 已知 ，且 ，求 X.3102 ,10623BABA6. 设 ，问：当 k 取何值时，有 (1) ；(2) ；(3) .321k 1)(R2)(A3)(R6、向量组的线性相关性及计算1. 设 ，求向量组 的秩和一个最大线性 1325 ,4 ,213 ,1 4321 , ,无关向量组，并判断 是线性相关还是线性无关.431 , ,2. 设 ，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其 7103 , ,39 ,04421 余向量用该最大无关组线性表示.
