1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为2(,)1xy(,)xyA3 B2 C1 D02设复数 z 满足(1+i)z=2i ，则z=A B C D21223某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待
2、游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4( + )(2 - )5 的展开式中 3 3 的系数为xyxyA-80 B-40 C40 D805已知双曲线 C： (a0,b0) 的一条渐近线方程为 ,且与椭圆21ab 52yx有公共焦点，则 C 的方程为213xyA B C D2180xy2145xy2154xy2143xy6设函数 f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是3Af(x)的一个周期为2 By =f(x)的图像关于直线 x= 对称83Cf(x+) 的一个零点为 x= Df(x) 在( ,)单调递减62
3、7执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A5 B4 C3 D28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C D3449等差数列 的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 前 6 项的和na na为A-24 B-3 C3 D810已知椭圆 C： ，（a b0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2 为21xy直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为0bA B C D633231311已知函数 有唯一零点，则 a=21()()xfxaeA B C D112131
4、212在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若= + ，则 + 的最大值为PDA3 B2 C D25二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_xyy02xz34xy14设等比数列 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 = _n15设函数 则满足 的 x 的取值范围是_。0()xf， ， ， ()12fx16a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论
5、：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ cosA=0，a=2 ,b=237（1）求 c；（2）设 D
6、为 BC 边上一点， 且 AD AC,求ABD 的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 1
7、6 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值20（12 分）已知抛物线 C：y 2=2
8、x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2 ），求直线 l 与圆 M 的方程21（12 分）已知函数 =x1alnx()f（1）若 ，求 a 的值；0（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， m，求 m 的最小211+)n()(值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）-在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直线 l2 的参数方2+,
9、xyk程为 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C2,xmyk（ 为 参 数 ）（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos +sin)-=0， M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径23选修 4 5：不等式选讲（10 分）-已知函数 f（x） =x+1x2（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式 f（x ） x2x +m 的解集非空，求 m 的取值范围绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D7.D 8
10、.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -1 14. -8 15. 16. 1（ -， +）4三、解答题17.解：（1）由已知得 tanA= 23， 所 以 A=3在 ABC 中，由余弦定理得 2284cos+-4036c， 即解 得 （ 舍 去 ） ， =（2）有题设可得 ， 所 以2 6CADBADCAD故ABD 面积与ACD 面积的比值为A1sin261BDC又ABC 的面积为 142sin23， 所 以 的 面 积 为 3.BAABD18.解：（1）由题意知， 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知X21600.9P3.4.257009PX因此 的分
11、布列为 2350P0.2 0.4 0.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 205n 当 时，305n 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 ，则Y=6300+2（n-300）-4n=1200-2n;20， ,5若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n当 时，203n若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0
12、.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19.解：（1）由题设可得， ,ABDCADC从 而又 是直角三角形，所以AC0=9取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于 O是 正 三 角 形 ， 故所以 DOBACB为 二 面 角 的 平 面 角222220,RtADAB在 中 ，又 所 以 ， 故 O=9所 以 平 面 平 面（2）由题设及（1）知， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，OA,BDOAx为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则OA xyz-(， 0， ),(， 3， 0),(1
13、， 0， ),(， 0， 1)C由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离2为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 E .故12310， ，311， 0， ， ， ， 0， ， ， 2ACA设 是平面 DAE 的法向量，则=x,yzn0， 即 31， 2xzDyEAn可取 31,设 是平面 AEC 的法向量，则 同理可得m0，ACEm013,则 7cos,Anm所以二面角 D-AE-C 的余弦值为20.解（1）设 122Ax,yB,l:xmy由 可得2m1240则,又 =42211=故 =yyx,x因此 OA 的
14、斜率与 OB 的斜率之积为 12-4=xA所以 OAOB故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（1）可得 2121212+=+4=ym,xym故圆心 M 的坐标为 ，圆 M 的半径， 2r由于圆 M 过点 P（4，-2 ） ，因此 ,故0APB1120xy即 1212112+xyy由（1）可得 ，2=-， x所以 ，解得 .20m或 2m当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（ 3,1） ，圆 M 的半径为 ，圆10M 的方程为 2231xy当 时，直线 l 的方程为 ，圆心 M 的坐标为 ，圆 M 的半径1m40xy9， -42为 ，圆 M 的方程为85422
15、9185+621.解：（1） 的定义域为 .fx0， +若 ，因为 ，所以不满足题意；0a1=-2faln若 ，由 知，当 时， ；当 时， xfx0x,a 0fx， +a，所以 在 单调递减，在 单调递增，故 x=a 是 在 0fxf0,a， +fx的唯一最小值点 .， +由于 ，所以当且仅当 a=1 时， .1f0fx故 a=1（2）由（1）知当 时， +x1ln令 得 ，从而=+nx12nl22111+ +=-nnlll 故 21+ne而 ，所以 m 的最小值为 3.23122.解：（1）消去参数 t 得 l1 的普通方程 ；消去参数 m 得 l2 的普通方程12l:ykx2l:yxk设 P（x,y）,由题设得 ，消去 k 得 .21ykx240xy所以 C 的普通方程为 240xy（2）C 的极坐标方程为 2 2cosin,
