1、12017 年高考数学解析几何真题汇编1.（北京卷（理） ）已知抛物线 过点 ,过点 作直线 与抛物线 交于2:Cypx(1)P(0,)2lC不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点.,MNON,ABO（）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： 为线段 的中点.AB解：（）因为抛物线 过点 ，把 代入 ，得C(1,)P(,)2ypx12 2:yx焦点坐标 ，准线为 。(,0)44x（）设过点 的直线方程为 ，1,21:2lyk12(,)(,)MxyN直线 ，直线:OPyx2:Nx由题意知 112(,)(,)yAB由 ，可得2ykx()04kx1212,
2、4xkk1212 121()xyxkx2111()24kxxA 为线段 BM 中点。22.（北京卷（文） ）已知椭圆 的两个顶点分别为 A(2,0)，B(2,0)，焦点在 轴上，离心率Cx为 32（）求椭圆 的方程；（）点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ，过 作 的DxDxC,MNDA垂线交 于点 .求证： 与 的面积之比为 4:5BNEBN解：（） 焦点在 轴上，且顶点为(2,0)a32ceab1椭圆方程为24xy（）设 ，000,DMNxy直线 的方程是 ，A02y， ，E0DExky直线 的方程是 ，直线 的方程是 ，002BN02yx直线 与 直线联立BNE，00
3、02xy整理为： ，即 0022xyxy22004xxy即 ，解得 ，220004xx05E3代入求得 20044155Exyy54NE又 SBDN和 面积的比为 4:5E3.（全国卷）已知椭圆 C：2=1xyab（ ab0） ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ， P3（1，32） ， P4（1， 32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明： l 过定点.解：（1）由于 两点关于 轴对称，故由题设知 经过 两点34,yC34,又由 知， 不经过点 ，所以点
4、 在 上221ab12因此 解得2,134ab241a故 的方程为C2xy（2）设直线 与直线 的斜率分别为2PA2B12,k如果 与 轴垂直，设 ，由题设知 ，且 ，可得 的坐标分别为lx:lxt0t|t,AB2244(,),()t则 ，得 ，不符合题设2212 1ttk2t从而可设 ，将 代入 得:()lykxmykxm14y22(41)840k由题设可知 6(1)设 ，则12(,),)AxyB221284,4kxxk4而 1212ykx121kxmkx1212()x由题设 ，故12k1212()0k即 ，解得48() 04mmmk当且仅当 时， ，于是 ，所以 过定点1:2lyxl(2,
5、1)4.（全国卷）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，OMC2yMx垂足为 ，点 满足 .NP2N（1）求点 的轨迹方程；（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左Q3x1OPQPOQlC焦点 . F解：（1）设 ， ，则(,)Py0(,)My000(,)(,)(,)NxxyNMy由 得，2N02,x因为 在 上，所以 ，因此点 的轨迹方程为0(,)xyC21yP2xy（2）由题意知 ，设 ，则(1,F(3,),Qtmn，(3,),3OQtPOFtA()mnt由 得1A221n又由（1）知 ，故230mt所以 ，即 .又过点 存在唯一直线垂直于 ，
6、0OQPFPF OQ所以过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 .lCF55.（全国卷）已知抛物线 ，过点（2，0）的直线 交 于 ， 两点，圆 是以:Cyx=lCABM线段 为直径的圆AB（1）证明：坐标原点 在圆 上；OM（2）设圆 过点 （4， ），求直线 与圆 的方程P2-l解：（1）设 1(,)(,):2xylxmy由 可得 ，则2my240124又 ，故12,yx2112()yx因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以OAB1241xAOAB故坐标原点 在圆 上M（2）由（1）可得2121212,()4ymym故圆心 的坐标为 ，圆 的半径(+)+r由于圆 过点 ，因此 ，4,P0APB
7、故 ，1212()()xy即 ()y由（1）可得 12124,x所以 ，解得 或20mm12当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆l0xyM(3,1)10的方程为M22(3)(1)x当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为1l40xy9(,)42M，圆 的方程为854229185()()666.（山东卷（理）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为xOyE21xyab0，焦距为 .2（）求椭圆 的方程；E（）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的l132ykxE,ABCEOC斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， MA的
8、半径为2k124MOC:2:3B， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值MC,OSTA,STO时直线 的斜率.l解：（）由题意知 ， ，所以 ，2ceac2,1ab因此 椭圆 的方程为 .E21xy（）设 ，12(,)(,)AyB联立方程 ，得 ，21,3,xyk2114430kxk由题意知 ，且 ，0112221,xxkk所以 .221121 8ABk由题意可知圆 的半径 为：Mr 22118|3kAB7由题意知 ，所以124k214k由此直线 的方程为 .联立方程OC14yxk21,4xyk得 ，因此 .221218,44kxyk 2218OCxy由题意可知 ，1si
9、nSTrr而 ，212211843kOCr2134k令 ，则 ，21tk,0t因此 ，2 223313194OCrttt当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，12tt 1k所以 ，因此 ，所以 最大值为 .sinSOT26SOTSOT3综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 .3l12k87.（山东卷（文）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C: (ab0)的离心率为xOy21xyab，椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 .22（）求椭圆 C 的方程；（）动直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的:(0)lykxm对称点，圆 N 的半
10、径为 . 设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与圆 N 分别相切于点 E，F，求|O的最小值.EDF9108.（天津卷（理）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已21(0)xyabFA12知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .A2(0)ypFl12（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线lPQxAPBA与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.BxD 62（）解：设 的坐标为 .F(,0)c依题意， ， ， ，解得 ， ， ，12cap12aa12cp于是 .所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .34b243yx24yx（）解：设直线 的方程为 ，AP1(0)m与直线 的方程 联立，可得点 ，故 .l1x2,2(1,)Qm将 与 联立，消去 ，整理得 ，xmy243yx23460y解得 ，或 .026由点 异于点 ，可得点 .BA2246(,)3mB
