1、第 1 页（共 27 页）2015 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标 II）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=2，1，0，1，2，B=x|（x1） （x+2）0，则 AB=（ ）A 1，0B0，1 C 1，0，1D0，1，2考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算即可解析： 解：B=x| 2x1，A= 2， 1，0，1，2；AB=1，0故选：A评析： 考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算2 （5 分）若 a 为实数，且（2+ai） （a2i ）=
2、4i ，则 a=（ ）A 1B0 C1 D2考点： 复数相等的充要条件菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 首先将坐标展开，然后利用复数相等解之解析： 解：因为（2+ai） （a 2i）= 4i，所以 4a+（a 24）i=4i ，4a=0，并且 a24=4，所以 a=0；故选：B评析： 本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键3 （5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）第 2 页（共 27 页）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B 2007 年我国
3、治理二氧化硫排放显现成效C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关考点： 频率分布直方图菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故 A 正确；B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故 D 错误解析： 解：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且
4、减少的最多，故 A 正确；B20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误故选：D评析： 本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题4 （5 分）已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ）A21 B42 C63 D84考点： 等比数列的通项公式菁优网版权所有第 3 页（共 27 页）专题： 计算题；等差数列与等比数列分析：
5、 由已知，a 1=3，a 1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求 q，然后在代入等比数列通项公式即可求解析： 解： a1=3，a 1+a3+a5=21， ，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7= =3（2+4+8）=42故选：B评析： 本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题5 （5 分）设函数 f（x）= ，则 f（ 2）+f（log 212）=（ ）A3 B6 C9 D12考点： 函数的值菁优网版权所有专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 先求 f（ 2）=1+log2（2+2 ）=1+2=3 ，再由对数恒等式，求得 f（log 212）=
6、6，进而得到所求和解析：解：函数 f（x）= ，即有 f（ 2）=1+log 2（2+2 ）=1+2=3 ，f（log 212）= =12 =6，则有 f（ 2）+f（log 212）=3+6=9故选 C评析： 本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题第 4 页（共 27 页）6 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）ABCD考点： 由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可解析： 解：设正方体的
7、棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为 111= ，剩余部分体积为 1 = ，截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选：D评析： 本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积7 （5 分）过三点 A（1，3） ，B（4，2） ，C（1， 7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|=（ ）A2 B8 C4 D10考点： 两点间的距离公式菁优网版权所有第 5 页（共 27 页）专题： 计算题；直线与圆分析： 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出 D，E ，F ，令 x=0，即可得出结论解析：解：设圆的方程为 x2+y2+D
8、x+Ey+F=0，则 ，D=2，E=4，F=20，x2+y22x+4y20=0，令 x=0，可得 y2+4y20=0，y=22 ，|MN|=4 故选：C评析： 本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键8 （5 分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（ ）A0 B2 C4 D14考点： 程序框图菁优网版权所有专题： 算法和程序框图分析： 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论解析： 解：由 a=14，b=18，ab，第 6 页（共 27 页
9、）则 b 变为 1814=4，由 ab，则 a 变为 144=10，由 ab，则 a 变为 104=6，由 ab，则 a 变为 64=2，由 ab，则 b 变为 42=2，由 a=b=2，则输出的 a=2故选：B评析： 本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题9 （5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144 D256考点： 球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 当点 C 位于垂直于面 AO
10、B 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，利用三棱锥OABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积解析： 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABC=VCAOB= = =36，故R=6，则球 O 的表面积为 4R2=144，故选 C第 7 页（共 27 页）评析： 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大是关键10 （5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1 ，O 是 AB 的中点，点 P
11、 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记 BOP=x将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x） ，则 y=f（x）的图象大致为（ ）ABCD考点： 函数的图象菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可解析： 解：当 0x 时，BP=tanx ， AP= = ，此时 f（x）= +tanx，0x ，此时单调递增，当 P 在 CD 边上运动时， x 且 x 时，PA+PB= ，当 x= 时，PA+PB=2 ，第 8 页（共 27 页）当 P 在 AD 边上运动时， x，PA+PB= tanx，由对称性可知函数 f（x）关于 x= 对称
12、，且 f（ ）f（ ） ，且轨迹为非线型，排除 A，C，D，故选：B评析： 本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出 0x 时的解析式是解决本题的关键11 （5 分）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）AB2 CD考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 M 在双曲线 =1 的左支上，由题意可得 M 的坐标为（2a， a） ，代入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值解析：解：设 M 在双曲线 =1 的左支上，且 MA=AB=2a， MAB=12
13、0，则 M 的坐标为（ 2a， a） ，代入双曲线方程可得， =1，可得 a=b，c= = a，即有 e= = 故选：D评析： 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得 M 的坐标是解题的关键第 9 页（共 27 页）12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数， f（1）=0 ，当 x0 时，xf（x）f （x） 0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+）C （，1）（1，0 ） D （0，1）（1，+）考点： 函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题： 创新
14、题型；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 由已知当 x0 时总有 xf（x）f（x）0 成立，可判断函数 g（x）= 为减函数，由已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数 g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟 g（x）的图象，而不等式 f（x）0 等价于 xg（x）0，数形结合解不等式组即可解析：解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x 0 时总有 xf（x）f（x）成立，即当 x0 时，g（x）恒小于 0，当 x 0 时，函数 g（x）= 为减函数，又 g（ x）= = = =g（x） ，函数 g（x
15、）为定义域上的偶函数又 g（ 1）= =0，函数 g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式 f（x） 0xg（x）0 或 ，0x1 或 x1故选：A第 10 页（共 27 页）评析： 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 = 考点： 平行向量与共线向量菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 利用向量平行即共线的条件，得到向量 + 与 +2 之间的关系，利用向量相等解析解析： 解：因为向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，所以 + =（ +2 ） ，所以 ，解得 ；故答案为： 评析： 本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非 0 向量 共线，那么存在唯一的参数 ，使得14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 考点： 简单线性规划菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大
