1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 ， ，则 A B= 2,0A2|0Bx(A) （B） （C） (D) 考点： 交集及其运算分析： 先解出集合 B，再求两集合的交集即可得出正确选项解答： 解：A=2，0，2，B=x|x2x2=0=1，2，AB=2故选： B点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键（2） ()13i（A） （B） （C） (D) 2i12i-i1-2i考点： 复数代数形式的乘除运算分析： 分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可解
2、答： 解：化简可得=1+2i故选： B点评： 本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题（3）函数 在 处导数存在，若 是 的极值点，则()fx000:();:pfxqxf（A） 是 的充分必要条件pq（B） 是 的充分条件，但不是 的必要条件q（C） 是 的必要条件，但不是 的充分条件(D) 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件pq考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有分析： 根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论2解答： 函数 f（x）=x3 的导数为 f（x）=3x2，由 f（x0）=0，得
3、 x0=0，但此时函数 f（x）单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若 x=x0 是 f（x）的极值点，则f（x0）=0 成立，即必要性成立，故 p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件，故选： C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础（4）设向量 , 满足 ， ，则 ab= ()ab|+=10|a-b6（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5考点： 平面向量数量积的运算分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论解答： | + |= ，| |= ，分别平方得， +2 + =10， 2 + =6，两式相减得 4
4、 =106=4，即 =1，故选： A点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础（5）等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 n 项 = ()naa48aS（A） （B） （C） (D) 11n12n12考点： 等差数列的性质分析： 由题意可得 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得解答： 由题意可得 a42=a2a8，即 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1） ，故选： A点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题（6）
5、如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积3的比值为()（A） （B） （C） (D) 1725910273考点： 由三视图求面积、体积菁优网版权所有分析： 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可解答： 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4，组合体体积是：322+224=34底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：326=54切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
6、值为：=故选：C点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力（7）正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 的体积1ABC31DCBA为()（A）3 （B） （C）1 （D）322考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有分析： 由题意求出底面 B1DC1 的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积解答： 正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 中点，底面 B1DC1 的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥 AB1DC1 的体积为：=1故选：C点评： 本题考查几何
7、体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S= ()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点： 程序框图菁优网版权所有分析： 根据条件，依次运行程序，即可得到结论解答： 若 x=t=2，则第一次循环，12 成立，则 M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22 成立，则 M=，S=2+5=7，k=3，此时 32 不成立，输出 S=7，4故选：D点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础（9）设 x，y 满足的约束条件 ，则 的最大值为()103xy2zxy（A）8 （B）7 （C）2 （D）1考点： 简
8、单线性规划分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值解答： 作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大由 ，得 ， 即 A（3，2） ，此时 z 的最大值为 z=3+22=7，故选：B点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法（10）设 F 为抛物线 的焦点，过 F 且倾斜角为 的直线交于 C 于 两点，则 = ()2:3Cyx30,AB（A） （B）6 （C）12 （D）307考点： 抛物线的简单性质分析： 求
9、出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|5解答： 由 y2=3x 得其焦点 F（ ，0） ，准线方程为 x= 则过抛物线 y2=3x 的焦点 F 且倾斜角为 30的直线方程为 y=tan30（x ）= （x ） 代入抛物线方程，消去 y，得 16x2168x+9=0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）则 x1+x2= ，所以|AB|=x1+ +x2+ = + + =12故答案为：12点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键（11）若函数 在区间（1，+ ）单调递增，则 k
10、的取值范围是()()lnfxk（A） （B） （C） （D）,2,2,1,考点： 函数单调性的性质分析： 由题意可得，当 x1 时，f（x）=k0，故 k10，由此求得 k 的范围解答： 函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，当 x1 时，f（x）=k0，k10，k1，故选：D点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题（12）设点 ，若在圆 上存在点 N，使得 ,则 的取值范围是()0(,1)Mx2:1Oxy45OM0x（A） （B） （C） （D） ,， 2,2，6考点： 直线和圆的方程的应用菁优网版权所有分析： 根据直线和圆的位置关系，利用
11、数形结合即可得到结论解答：由题意画出图形如图：点 M（x0，1） ，若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，圆上的点到 MN 的距离的最大值为 1，要使 MN=1，才能使得OMN=45，图中 M显然不满足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意，x0 的取值范围是1，1故选：A点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个考试考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）甲、已两名
12、元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_.考点： 相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有分析： 所有的选法共有 33=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率解答： 有的选法共有 33=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种，故他们选择相同颜色运动服的概率为 = ，故答案为： 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题（14）函数 的最大值为_.()sin)2sincofxx考点： 三角函数的最值分析： 展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则
13、答案可求解答： 解：f（x）=sin（x+）2sincosx7=sinxcos+cosxsin2sincosx=sinxcossincosx=sin（x） f（x）的最大值为 1故答案为：1点评： 本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题（15）已知函数 的图像关于直线 对称， ，则 _.()fx2x(0)3f(1)f考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性和对称性的性质，得到 f（x+4）=f（x） ，即可得到结论解答： 解：因为偶函数 y=f（x）的图象关于直线 x=2 对称，所以 f（2+x）=f（2x）=f（x2） ，即 f（x+4）=f（
14、x） ，则 f（1）=f（1+4）=f（3）=3，故答案为：3点评： 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础（16）数列 满足 ，则 1a=_.na12,nna考点： 数列递推式分析： 根据 a8=2，令 n=7 代入递推公式 an+1= ，求得 a7，再依次求出 a6，a5 的结果，发现规律，求出 a1 的值解答： 由题意得，an+1= ，a8=2，令 n=7 代入上式得，a8= ，解得 a7=；令 n=6 代入得，a7= ，解得 a6=1；令 n=5 代入得，a6= ，解得 a5=2；根据以上结果发现，求得结果按
15、2， ，1 循环，883=22，故 a1=故答案为： 点评： 本题考查了数列递推公式的简单应用，即给 n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题3、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）四边形 ABCD 的内角 与 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.AC（）求 和 ;BD（）求四边形 ABCD 的面积。解：（）由题设及余弦定理得 22cosBDCBDC13cos22sAA54s由，得 ，故1co2C60,7BD（）四边形 的面积ABD11sinsin22SC(3)i609（18） （本小题满分 12 分）如图，四凌锥 中，底面 为矩形，PABCDA
16、B面 ， 为 的中点。PAE（）证明： 平面 ;/（）设置 ， ，三棱锥 的体积13PD，求 A 到平面 PBD 的距离。34V解：（）设 BD 与 AC 的交点为 ，连接OE因为 ABCD 为矩形，所以 为 BD 的中点，又因为 E 为 PD 的中点，所以 EO/PB平面 ， 平面 ，ACPBAC所以 平面/（） 113366ABDVSPABD由题设知 ，可得42做 交 于HP由题设知 ，所以 ，故 ，BCA平 面 BCAHPBC平 面又 31A所以 到平面 的距离为PBC10（19） （本小题满分 12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民
17、甲部门 乙部门3 5 94 4 0 4 4 89 7 5 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 6 0 1 1 2 3 4 6 8 8 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 7 0 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 0 9 0 1 1 4 5 610 0 0 0 （）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率；（）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
18、解：（）由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第 25，26 位的是 75，75，故样本中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25，26 位的是 66，68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是 67.6872（）由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 ，故该580.1,.6市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1，0.16.（）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大（注：考生利用其他统计量进行分析，
