1、12014 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共 14 题，满分 56 分）1 （4 分） （2014 上海）函数 y=12cos2（2x）的最小正周期是 考点： 二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期解答： 解：y=1 2cos2（ 2x）=2cos2（2x） 1=cos4x，函数的最小正周期为 T= =故答案为：点评： 本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2 （4 分） （2014 上海）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（ z+ ） = 6 考点： 复数代数
2、形式的乘除运算菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可解答： 解：复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+ ） =（1+2i） （1 2i）+1=14i2+1=2+42=6故答案为：6点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3 （4 分） （2014 上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x= 2 考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设中的条件 y2=2px（p0）的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故可以先求
3、出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是（2，0） ，又 y2=2px（p0）的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故 得 p=4，抛物线的准线方程为 x= =2故答案为：x=2点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题4 （4 分） （2014 上海）设 f（x）= ，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为 （ ，2 考点： 分段函数的应用；真题集萃菁优网版权所有专题： 分类讨论；函数的性质及应用3分析： 可对 a 进行讨论，
4、当 a2 时，当 a=2 时，当 a2 时，将 a 代入相对应的函数解析式，从而求出 a 的范围解答： 解：当 a2 时，f （2）=2 4，不合题意；当 a=2 时，f （ 2）=2 2=4，符合题意；当 a2 时，f（2）=2 2=4，符合题意；a2，故答案为：（，2点评： 本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题5 （4 分） （2014 上海）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2 的最小值为 2 考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得解答： 解： xy=1，y=x2+2y2
5、=x2+ 2 =2 ，当且仅当 x2= ，即 x= 时取等号，故答案为：2点评： 本题考查基本不等式，属基础题6 （4 分） （2014 上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示） 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角解答： 解：设圆锥母线与轴所成角为 ，圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，4 = =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，故圆
6、锥的轴截面如下图所示：则 cos= = ，=arccos ，故答案为：arccos点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的关键7 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C 的极坐标方程为 （3cos 4sin）=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 考点： 简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 计算题；坐标系和参数方程分析： 由题意，=0，可得 C 与极轴的交点到极点的距离解答： 解：由题意，=0，可得 （3cos04sin0）=1，C 与极轴的交点到极点的距离是 = 故答案为： 点评： 正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题
7、的关键8 （4 分） （2014 上海）设无穷等比数列a n的公比为 q，若 a1= （a 3+a4+an） ，则 q= 5考点： 极限及其运算菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出 a1= ，由此能求出 q 的值解答： 解： 无穷等比数列a n的公比为 q，a1= （a 3+a4+an）= （ a1a1q）= ，q2+q1=0，解得 q= 或 q= （舍） 故答案为： 点评： 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用9 （4 分） （2014 上海）若 f（x）= ，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是 （0，1） 考点：
8、指、对数不等式的解法；其他不等式的解法菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 直接利用已知条件转化不等式求解即可解答：解：f（x）= ，若满足 f（x）0，即 ， ，y= 是增函数，6 的解集为：（0，1） 故答案为：（0，1） 点评： 本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力10 （4 分） （2014 上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 （结果用最简分数表示）考点： 古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 要求在未来的连续 10 天中随机选择 3
9、 天进行紧急疏散演练，选择的 3 天恰好为连续3 天的概率，须先求在 10 天中随机选择 3 天的情况，再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况，即可得到答案解答： 解：在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有 种情况，其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种，分别是（1，2，3） ， （2，3，4） ，（3，4，5） ， （4，5，6） ，（5，6，7） ， （6，7，8） ， （7，8，9） ， （8，9，10） ，选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 ，故答案为： 点评： 本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题11 （4 分） （2014 上海）已知互异的复数
10、a，b 满足 ab0，集合a ，b=a 2，b 2，则 a+b= 1 考点： 集合的相等菁优网版权所有专题： 集合分析： 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答： 解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a 2，b 2，则 或 ，7由得 ，ab0， a0 且 b0，即 a=1，b=1，此时集合1 ，1不满足条件若 b=a2，a=b 2，则两式相减得 a2b2=ba，互异的复数 a，b，ba0，即 a+b=1，故答案为：1点评： 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论12 （4 分） （2014 上海）设常数 a 使方程 sinx+ c
11、osx=a 在闭区间0，2上恰有三个解x1，x 2，x 3，则 x1+x2+x3= 考点： 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： 先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数 y=2sin（x+ ）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2 上，当 a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时 x1，x 2，x 3 最后相加即可解答： 解：sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当 a= 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令 sin（x
12、+ ）= ，x+ =2k+ ，即 x=2k，或 x+ =2k+ ，即 x=2k+，此时 x1=0，x 2= ，x 3=2，x1+x2+x3=0+ +2= 故答案为：8点评： 本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题13 （4 分） （2014 上海）某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量 表示小白玩该游戏的得分，若 E（）=4.2，则小白得 5 分的概率至少为 0.2 考点： 离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 设小白得 5 分的概率至少为 x，则由题意知小白得 4 分的概率为 1x，由此能求出结果解答： 解：设小白得 5 分
13、的概率至少为 x，则由题意知小白得 1，2，3，4 分的概率为 1x，某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量 表示小白玩该游戏的得分，E（）=4.2，4（ 1x）+5x=4.2，解得 x=0.2故答案为：0.2点评： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用14 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C：x= ，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0） ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 2，3 考点： 直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题： 直线与圆9分析： 通过曲线方程判断曲线特征，通过 +
14、= ，说明 A 是 PQ 的中点，结合 x 的范围，求出 m 的范围即可解答： 解：曲线 C：x= ，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，并且 xP2，0，对于点 A（m，0） ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ，说明 A 是 PQ 的中点， Q 的横坐标 x=6，m= 2，3 故答案为：2，3 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分15 （5 分） （2014 上海）设 a，bR，则“a+b4”是“a2 且 b2”的（ ）A充分非必要条件
15、B 必要非充分条件C 充要条件 D既非充分又非必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题： 简易逻辑分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答： 解：当 a=5，b=0 时，满足 a+b4，但 a2 且 b2 不成立，即充分性不成立，若 a2 且 b2，则必有 a+b4，即必要性成立，故“a+b 4”是“a 2 且 b2”的必要不充分条件，故选：B点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16 （5 分） （2014 上海）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i（i
16、=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则 （i=1，2，8）的不同值的个数为（ ）A1 B 2 C 3 D410考点： 平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题： 计算题；平面向量及应用分析： 建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案解答： 解： = ，则 = （ ）=| |2+ ， ， =| |2=1， （i=1，2，8）的不同值的个数为 1，故选 A点评： 本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段17 （5 分） （2014 上海）已知 P1（a 1，b 1）与 P2（a 2，b 2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是（ ）A无论 k，P 1，P 2 如何，总是无解B 无论 k，P 1，P 2 如何，总有唯一解C 存在 k，P 1，P 2，使之恰有两解D存在 k，P 1，P 2，使之有无穷多解考点： 一次函数的性质与图象菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用；直线与圆分析： 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出 a1，b 1，P 2，a 2，b 2 的关系，然后求解方程组的解即可解答： 解：P 1（a 1，b 1）与 P2（a 2，b 2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1 的斜率存在，k= ，即 a1a2，并且
