1、暑期加油站1 / 10平面向量单元测试一、选择题 【共 12道小题】1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为 1 B.若 ab=ac且 a0,则 b=cC. D.若 bc,则(a+c)b=ab2、设 e是单位向量, =2e, =-2e,| |=2,则四边形 ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形3、已知|a|=|b|=1，a 与 b的夹角为 90,且 c=2a+3b，d=ka-4b,若 cd,则实数 k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-34、设 02,已知两个向量 =(cos，sin), =(2+sin，2-cos)，则向量长度的最大值是( )
2、A. B. C. D.5、设向量 a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)6、已知向量 a=(3，4)，b=(-3，1)，a 与 b的夹角为 ,则 tan 等于( ) A. B.- C.3 D.-37、向量 a与 b不共线, =a+kb, =la+b(k、lR),且 与 共线,则 k、l 应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=08、已知平面内三点 A(-1,0),B(5,
3、6),P(3,4),且 AP=PB,则 的值为( ) A.3 B.2 C. D.9、设平面向量 a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量 b1，b2，b3 满足|bi|=2|ai|，且 ai顺时针旋转 30后与 bi同向，其中 i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=010、设过点 P(x，y)的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于 A、B 两点，点 Q与点 P关于y轴对称，O 为坐标原点，若 ,且 =1,则 P点的轨迹方程是( ) A.3x2+ y2=1(x0,y0) B.3x2
4、y2=1(x0,y0)C. x2-3y2=1(x0,y0) D. x2+3y2=1(x0,y0)暑期加油站2 / 1011、已知ABC 中，点 D在 BC边上，且 ，若 ,则 r+s的值是( ) A. B.0 C. D.-312、定义 ab=|a|b|sin， 是向量 a和 b的夹角，|a|、|b|分别为 a、b 的模，已知点 A(-3,2)、B(2,3),O 是坐标原点，则 等于( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13二、填空题 【共 4道小题】1、已知 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量 a与 b的夹角是_.2、若 =2e1+e2, =e1-3e2, =5e
5、1+e2,且 B、C、D 三点共线,则实数 =_. 3、已知 e1、e2 是夹角为 60的两个单位向量,则 a=2e1+e2和 b=2e2-3e1的夹角是_. 4、如图 2-1所示，两射线 OA与 OB交于 O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_. 图 2-1 + + -三、解答题 【共 6道小题】1、如图 2-2所示，在ABC 中, =c, =a, =b,且 ab=bc=ca，试判断ABC 的形状.图 2-2暑期加油站3 / 102、如图 2-3所示,已知| |=| |=1， 、 的夹角为 120, 与 的夹角为 45,|=5,用 ， 表示 .(注：cos75= ) 图 2-33、在
6、四边形 ABCD中(A、B、C、D 顺时针排列), =(6，1)， =(-2，-3).若有 ,又有 ,求 的坐标. 4、已知平面向量 a=( ,-1),b=( , ). (1)证明 ab;(2)若存在不同时为零的实数 k、t,使得 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且 xy,求函数关系式 k=f(t).暑期加油站4 / 105、已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|= ,且 ca,求 c的坐标;(2)若|b|= ,且 a+2b与 2a-b垂直,求 a与 b的夹角 .6、如图 2-4所示,已知AOB,其中 =a, =b,而 M、N 分别是AOB
7、的两边 OA、OB 上的点,且=a(01), =b(01),设 BM与 AN相交于 P,试将向量 =p用 a、b 表示出来. 图 2-4暑期加油站5 / 10平面向量单元测试参考答案一、选择题1.参考答案与解析:解析：A 中两向量的夹角不确定;B 中若 ab,ac,b 与 c反方向则不成立;C 中应为 ;D中 bc bc=0,所以(a+c)b=ab+cb=ab. 答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解析： ,所以| |=| |,且 ABCD,所以四边形 ABCD是平行四边形.又因为| |=| |=2,所以四边形 ABCD是菱形. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算
8、3.参考答案与解析:解析：cd,cd=(2a+3b)(ka-4b)=0,即 2k-12=0,k=6. 答案：A主要考察知识点:向量、向量的运算4.参考答案与解析:解析： =(2+sin-cos,2-cos-sin), 所以| |= = .答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5.参考答案与解析:解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以 d=-6a+4b-4c=(-2，-6). 答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6.参考答案与解析:解析：由已知得 ab=3(-3)+41=-5，|a|=5，|b|= ， 所以 cos= .由于 0，,所以 sin= .所以
9、 tan= =-3.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示7.参考答案与解析:解析：因为 与 共线,所以设 = (R),即 la+b=(a+kb)暑期加油站6 / 10=a+kb,所以(l-)a+(1-k)b=0. 因为 a与 b不共线,所以 l-=0 且 1-k=0,消去 得 1-lk=0,即 kl-1=0.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算8.参考答案与解析:解析：因为 = ,所以(4，4)=(2，2).所以 = . 答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示9.参考答案与解析:解析：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的 2倍,三个向量都顺时针旋转 3
10、0后合力为原来的 2倍,原来的合力为零,所以由 a1+a2+a3=0,可得 b1+b2+b3=0. 答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算10.参考答案与解析:解析：设 P(x,y),则 Q(-x,y).设 A(xA),xA,B(0,yByB0, =(x,y-yB)=(xAx,-y). =2PA,x=2(xA,x),y-yB=2y,xA= x,yB=3y(x0,y0).又 =1,(-x,y)(-xA,yB)=1,(-x,y)( x,3y)=1,即 x2+3y2=1(x0,y0).答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算11.参考答案与解析:解析：ABC 中， = = ( )= - ，故 r+
11、s=0. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算12.参考答案与解析:解析：由题意可知 =(-3,2), =(2,3), 计算得 =-32+23=0，另一方面 =| | |cos，cos=0,又 (0,)，从而 sin=1， =| | |sin=13.暑期加油站7 / 10答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示二、填空题1.参考答案与解析:解析：由已知得 a+b=-c,两边平方得 a2+2ab+b2=c2,所以 2ab=72-32-52=15.设a与 b的夹角为 ,则 cos= = = , 所以 =60.答案：60主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解析：由已知可得
12、 =(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, =(5e1+e2)-(e1-3e2)=4e1+(+3)e2.由于 B、C、D 三点共线,所以存在实数 m使得 ,即-e1-4e2=m4e1+(+3)e2.所以-1=4m 且-4=m(+3),消去 m得 =13.答案：13主要考察知识点:向量、向量的运算3.参考答案与解析:解析：运用夹角公式 cos= ，代入数据即可得到结果. 答案：120主要考察知识点:向量、向量的运算4.参考答案与解析:解析：由向量减法法则可知不符合条件,显然满足，不满足. 答案：主要考察知识点:向量、向量的运算三、解答题1.参考答案与解析:解：ab=bc,b(a-c
13、)=0. 又 b=-(a+c),-(a+c)(a-c)=0,即 c2-a2=0.|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以ABC 为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解：设 = + , 则 =( + ) = + =+cos120= .又 =| | |cos45=5cos45= , = ,暑期加油站8 / 10 =( + ) = + =cos120+= +.又 =| | |cos(120-45)=5cos75= , += .= ,= . = + .主要考察知识点:向量、向量的运算3.参考答案与解析:解：设 =(x,y),则 =(6+x,1+
14、y), =(4+x,y-2), =(-x-4,2-y),=(x-2,y-3). 又 及 ,所以 x(2-y)-(-x-4)y=0, (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0. 解得 或 =(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4.参考答案与解析:(1)证明：因为 ab=( ，-1)( ， )= +(-1) =0，所以 ab. (2)解：由已知得|a|= =2，|b|= =1,由于 xy,所以 xy=0,即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.所以-ka2+tab-k(t2-3)ba+t(t2-3)b2=0.由于 ab=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所
15、以 k= t(t2-3).由已知 k，t 不同时为零得 k= t(t2-3)(t0).暑期加油站9 / 10主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5.参考答案与解析:解：(1)设 c=(x，y),|c|= , ,即 x2+y2=20, ca,a=(1，2),2x-y=0,即 y=2x. 联立得 或c=(2,4)或(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即 2a2+3ab-2b2=0.2|a|2+3ab-2|b|2=0. |a|2=5，|b|2= ,代入式得 ab= .cos= =-1.又0，=.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6.参考答案与解析:解：由题图可知 p= 或 p= ,而 =a， 设 =m( )=m(b-a),又 =b，设 =n( )=n(a-b),p= =a+m(b-a)=(1-m)a+mb，p= =b+n(a-b)=na+(1-n)b.a、b 不共线,且表示方法唯一， 解得p= a+ ，即 p= .主要考察知识点:向量、向量的运算暑期加油站10 / 10
