1、二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题（2007 年绵阳中考）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子12 吨现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨（1）王灿如何安排甲、乙两种 货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？解：（1）设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车（8x）辆，依题意，得解此不等式组， 即 2x412)8(04x x
2、 是正整数， x 可取的值为 2，3，4因此安排甲、乙两种货车有三种方案：方案一，甲种货车 2 辆，乙种货车 6 辆方案二，甲种货车 3 辆，乙种货车 5 辆方案三，甲种货车 4 辆，乙种货车 4 辆（2）方案一所需运费 元；20620方案二所需运费 元；153方案三所需运费 元4所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是 元204（2007 年济南）某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动，行李共有 100 件学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李（1）设租用甲种汽车 辆，请你帮助学
3、校设计所有可能的租车方案；x（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元，请你选择最省钱的一种租车方案解：（1）由租用甲种汽车 辆，则租用乙种汽车 辆(8)x由题意得： 403(8)2901x解得： 56 即共有 2 种租车方案：第一种是租用甲种汽车 5 辆，乙种汽车 3 辆；第二种是租用甲种汽车 6 辆，乙种汽车 2 辆（2）第一种租车方案的费用为 元；018540第二种租车方案的费用为 元6第一种租车方案更省费用（2007 资阳）年陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共 105 本，单价分别为 8 元和 12 元，买书前我
4、领了 1500 元，现在还余 418元. ” 王老师算了一下，说：“你肯定搞错了. ” 王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于 10 元的整数，笔记本的单价可能为多少元？(1) 设单价为 8.0 元的课外书为 x 本，得： 812(05)148xx(2) 解之得： (不符合题意) 4.5x(3) 所以王老师肯定搞错了. 设单价为 8.0 元的课外书为 y 本， 解法一：设笔记本的单价为 a 元，依题意得：. 812(0)18yy解之得：178+a=4 y， a、 y 都是整
5、数，且 178+a 应被 4 整除， a 为偶数，又 a 为小于 10 元的整数， a 可能为 2、4、6、8 .当 a=2 时，4x=180，x=45，符合题意；当 a=4 时，4x=182，x=45.5，不符合题意；当 a=6 时，4x=184，x=46，符合题意；当 a=8 时，4x=186，x=46.5，不符合题意 . 笔记本的单价可能 2 元或 6 元 . 8 分解法 2：设笔记本的单价为 b 元，依题意得：1048)105(8150 xx解得： 7.4 x 应为 45 本或 46 本 .当 x=45 本时，b=1500-845+12(105-45)+418=2，当 x=46 本时，
6、b=1500-846+12(105-46)+418=6，（2012 四川泸州，6 分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲种商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙种商品每件进价 35 元，售价 45 元。（1）若该商品同时购进甲、乙两种商品共 100 件，恰好用去 2700 元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商品准备用不超过 3100 元购进甲、乙两种商品共 100 件，且这两种商品全部售出后获利不少于 890 元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少？（利润 = 售价 - 进价）解：（1）设购进甲种商品 件，购进乙种商品 件，根据题意 xy.27035,1y解这个
7、方程组得， .60,4yx答：商店购进甲种商品 40 件，则购进乙种商品 60 件。（2）设商店购进甲种商品 件，则购进乙种商品（ ）件，根据题意，得xx10解之得 20 22.890105,3x方案一，甲种商品 20 件，乙种商品 80 件方案二，甲种商品 21 件，乙种商品 79 件方案三，甲种商品 22 件，乙种商品 78 件方案一所得利润 元；9081205方案二所得利润 元57方案三所得利润 元所以应选择方案一利润最大， 为 元。204（2014宜宾）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有 20 道题每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分（1）小李考了 60 分，那么小李答对了多
8、少道题？（2）小王获得二等奖（7585 分），请你算算小王答对了几道题？解：（1）设小李答对了 x 道题依题意得 5x3（20x）=60解得 x=15答：小李答对了 16 道题（2）设小王答对了 y 道题，依题意得：，解得： y ，即y 是正整数，y=17 或 18，答：小王答对了 17 道题或 18 道题（2009 年河南）某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共 l5 台.三种家电的进价和售价如下表所示：类别 电视机 冰 箱 洗衣机进价（元/台） 2000 2400 1600售价（元/台） 2100 2500 1700(1)在不超出现有资金的前提下
9、，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的 13领取补贴.在(1)的条件下如果这 15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?设购进电视机、冰箱各 x 台，则洗衣机为（15-2 x）台 依题意得： 3240)15(6024015xx解这个不等式组，得 6 x7 x 为正整数， x=6 或 7 方案 1：购进电视机和冰箱各 6 台，洗衣机 3 台；方案 2：购进电视机和冰箱各 7 台，洗衣机 1 台 （2）方案 1 需补贴：（62100+62500+11700）13%=4251（元）
10、 ；方案 2 需补贴：（72100+72500+11700）13%=4407（元） ；国家的财政收入最多需补贴农民 4407 元. （2011 年达州）我市化工园区一化工厂，组织 20 辆汽车装运 A、B、C 三种化学物资共200 吨到某地按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满请结合表中提供的信息，解物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨） 12 10 8每吨所需运费（元/吨） 240 320 200（1）设装运 A 种物资的车辆数为 x，装运 B 种物资的车辆数为 y求 与 x的函数关系式；（2）如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆，装运 B 种物资的车辆数
11、不少于 4 辆， 那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?请求出最少总运费）解：（1）根据题意，得： 20)0(8yxyx62yx 2 分0（2）根据题意，得：解之得：405x85x 取正整数， 5，6，7，84 分共有 4 种方案，即A B C方案一 5 10 5方案二 6 8 6方案三 7 6 7方案四 8 4 85 分（3）设总运费为 M 元，则 M= )2020(8)20(31240 xxx即：M= 69M 是 的一次函数，且 M 随 增大而减小，当 =8 时，M 最小，最少为 48640 元7 分x（2011 年广元
12、）某童装店到厂家选购 A、B 两种服装若购进 A 种服装 12 件、B 种服装8 件，需要资金 1880 元；若购进 A 种服装 9 件、B 种服装 10 件，需要资金 1810 元(1)求 A、B 两种服装的进价分别为多少元？(2)销售一件 A 服装可获利 18 元，销售一件 B 服装可获利 30 元根据市场需求，服装店决定：购进 A 种服装的数量要比购进 B 种服装的数量的 2 倍还多 4 件，且 A种服装购进数量不超过 28 件，并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于 699元设购进 B 种服装 x 件，那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？解：（1）设 A 种型
13、号服装每件 x 元，B 种型号服装每件 y 元依题意可得 解得 ，18029yx109x答：A 种型号服装每件 90 元， B 种型号服装每件 100 元（2） 设购进 B 种服装 x 件，则购进 A 种服装的数量是 2x+4，y=30x+（2x+4）18 ，=66x+72；设 B 型服装购进 m 件，则 A 型服装购进 件，42m根据题意得 ，解不等式得 ，2846930)(1 129因为 m 这是正整数，所以 m=10，11 ，12，则 2m+4=24，26，28有三种进货方案：方案一：B 型服装购进 10 件， A 型服装购进 24 件；方案二：B 型服装购进 11 件， A 型服装购进
14、 26 件；方案三：B 型服装购进 12 件， A 型服装购进 28 件方案一所得利润 元；90243108方案二所得利润 元786方案三所得利润 元15所以应选择方案一利润最大， 为 1056 元。（2011 雅安）某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买 A、B 两种电脑，A 型电脑单价为 4800 元，B 型电脑单价为 3200 元，若用不超过 160000 元去购买 A、B 型电脑共 36 台，要求购买 A 型电脑多于 25 台，有哪几种购买方案？解：设购买 A 种电脑 x 台，则购买 B 种电脑（36x）台，由题意得：，解得：25x28 ，25160)3(048xx 必须求整数，x=2
15、6，27，28，购买 B 种电脑：10，9，8，可以有 3 种购买方案，购买 A 种电脑 26，台，则购买 B 种电脑 10 台，购买 A 种电脑 27 台，则购买 B 种电脑 9 台，购买 A 种电脑 28 台，则购买 B 种电脑 8 台（2012哈尔滨）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同） ，若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96 个
16、，要求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元，这所中学最多可以购买多少个篮球？解：设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元，根据题意得 ，解得 ，购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元解：设购买 n 个足球，则购买（96n）个篮球50n+80（96 n） 5720，n65n 为整数，n 最少是 66 9666=30 个这所学校最多可以购买 30 个篮球（2014攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方 540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙
17、两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金（单位：元/台 时） 挖掘土石方量（单位：m 3/台时）甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共 8 台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？（2）如果每小时支付的租金不超过 850 元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？解：（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需 x 台、y 台依题意得： ，解得 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需 5 台、3 台；（2）设租用 m 辆甲型挖掘机， n 辆乙型挖掘机依题意得：60m+80n=540 ，化简得：
18、 3m+4n=27m=9 n，方程的解为 ， 当 m=5，n=3 时，支付租金：1005+1203=860 元850 元，超出限额；当 m=1，n=6 时，支付租金：1001+1206=820 元，符合要求答：有一种租车方案，即租用 1 辆甲型挖掘机和 3 辆乙型挖掘机（2012 四川广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记本电脑共需 80000 元（1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 3
19、96，要求购买的总费用不超过 2700000 元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？解：（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得：，解得： 。x=3y+0458=150y4答：购买 1 块电子白板需要 15000 元，一台笔记本电脑需要 4000 元。（2）设购买购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396a）台，由题意得：，解得： 。396a270150+4396a 59a10a 为整数，a=99，100，101，则电脑依次买：297，296，295
20、。该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑 295 台，则购买电子白板 101 块；方案二：购买笔记本电脑 296 台，则购买电子白板 100 块；方案三：购买笔记本电脑 297 台，则购买电子白板 99 块。（2012 年河南）某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套，经招标，购买一套 A 型课桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元， ，且购 4 套 A 型和 6 套 B 型课桌凳共需 1820 元。（1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？【解析】 （1）设 A 型每套 x元，B 型每套（ 0x）元 45(0)82x ,即购买一套 A 型课桌凳和一套
21、B 型课桌凳各需 180 元和 220 元。（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳的 23，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？（2）设 A 型课桌凳 a套，则购买 B 型课桌凳（ 0a）套(0)3182408a解得 7 a为整数，所以 a=78,79,80所以共有 3 种方案。（2011 眉山）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A、B、C 三地的垃圾 50 立方米、40 立方米、50 立方米全部运往垃圾处理场 D、E 两地进行处理已知运往 D 地的数量比运往 E
22、 地的数量的 2 倍少 10 立方米（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若 A 地运往 D 地 a 立方米（ a 为整数） ，B 地运往 D 地 30 立方米，C 地运往 D 地的数量小于 A 地运往 D 地的 2 倍其余全部运往 E 地，且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米，则 A、C 两地运往 D、E 两地哪几种方案？（3）已知从 A、B、C 三地把垃圾运往 D、E 两地处理所需费用如下表：A 地 B 地 C 地运往 D 地（元/立方米） 22 20 20运往 E 地（元/立方米） 20 22 21解答：解：（1）设运往 E 地 x 立方米，由题意得，x+2x10=140，解
23、得：x=50，2x10=90，答：共运往 D 地 90 立方米，运往 E 地 50 立方米；（2）由题意可得，90（ +30） 25090（ +30） 12解得：20a22 ，a 是整数，a=21 或 22，有如下两种方案：第一种：A 地运往 D 地 21 立方米，运往 E 地 29 立方米；C 地运往 D 地 39 立方米，运往 E 地 11 立方米；第二种：A 地运往 D 地 22 立方米，运往 E 地 28 立方米；C 地运往 D 地 38 立方米，运往 E 地 12 立方米；（3）第一种方案共需费用：2221+2029+3920+1121=2053（元） ，第二种方案共需费用：2222+2820+3820+1221=2056（元） ，所以，第一种方案的总费用最少（2014德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织 40 辆汽车装运 A、B、C 三种农产品共 200 吨到外地销售，按计划，40 辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：农产品种类 A B C每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6（1）如果装运 C 种农产品需 13 辆汽车，那么装运 A、B 两种农产品各需多少辆汽车？（2）如果装运每种农产品至少需要 11 辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案
