复变函数题库包含好多试卷后面都有答案.doc

1、复变函数论试题库 复变函数考试试题 （ 一 ） 一、 判断题（ 20 分）： 1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导 ，则函数 f(z)在 z0解析 . ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数 . ( ) 3.若 nz 收敛，则 Re nz 与 Im nz 都收敛 . ( ) 4.若 f(z)在 区域 D内解析，且 0)( zf ，则 Czf )( （常数） . ( ) 5.若函数 f(z)在 z0处 解析，则 它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( ) 6.若 z0是 )(zf 的 m 阶零点，则 z0是 1/ )(zf 的 m 阶极点 . ( ) 7.若 )(lim0 zfzz

2、 存在且有限，则 z0是 函数 f(z)的可去奇点 . ( ) 8.若函数 f(z)在 是区域 D内的单叶函数， 则 )(0)( Dzzf . ( ) 9. 若 f(z)在 区域 D 内解析 , 则对 D内任一简单闭曲线 C 0)( C dzzf. ( ) 10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 .（ ） 二 .填空 题 （ 20 分） 1、 1| 00 )(zz nzz dz_.（ n 为自然数） 2. zz 22 c o ss in _. 3.函数 zsin 的周期为 _. 4.设 11)( 2 zzf ，则 )(zf 的孤立奇点有

3、_. 5.幂级数0nn nz的收敛半径为 _. 6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是 _. 7.若 nn zlim ，则 n zzz nn .lim 21 _. 8. )0,(Re nzzes_，其中 n 为自然数 . 9. zzsin 的孤立奇点为 _ . 10.若 0z 是 )(zf 的极点，则 _ _ _)(lim 0 zfzz . 三 .计算 题 （ 40 分）： 1. 设 )2)(1(1)( zzzf，求 )(zf 在 1|0: zzD 内的罗朗展式 . 2. .cos11| z dzz 3. 设 C dzzf 173)(2，其中 3|:| zzC ，试求 ).1( i

4、f 4. 求复数 11zzw 的实部与虚部 . 四 . 证明题 .(20 分 ) 1. 函数 )(zf 在区域 D 内解析 . 证明：如果 |)(| zf 在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 . 2. 试证 : ( ) (1 )f z z z在割去线段 0 Re 1z的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re 1z上岸取正值的那支在 1z 的值 . 复变函数考试试题 （二） 一 . 判断题 .（ 20分） 1. 若 函数 ),(),()( yxivyxuzf 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内 连续 . ( ) 2. cos z 与 sin

5、 z 在复平面内有界 . ( ) 3. 若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续 . ( ) 4. 有界整函数必为常数 . ( ) 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点，则 )(lim0 zfzz一定不存在 . ( ) 6. 若函数 f(z)在 z0 可导 ， 则 f(z)在 z0 解析 . ( ) 7. 若 f(z)在 区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 C 0)( C dzzf. ( ) 8. 若数列 nz 收敛，则 Re nz 与 Imnz 都收敛 . ( ) 9. 若 f(z)在 区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 . ( ) 10

6、. 存在一个在零点解析的函数 f(z)使 0)11( nf 且 ,.2,1,21)21( nnnf . ( ) 二 . 填空题 . (20 分 ) 1. 设 iz ，则 _ _ ,a r g_ _ ,| zzz 2.设 Ciyxzyxixyxzf ),s in (1()2()( 222 ，则 )(lim1 zfiz_. 3. 1| 00 )(zz nzz dz_.（ n 为自然数） 4. 幂级数0nn nz的收敛半径为 _ . 5. 若 z0 是 f(z)的 m阶零点且 m0，则 z0 是 )( zf 的 _零点 . 6. 函数 ez的周期为 _. 7. 方程 0832 35 zzz 在单位圆

7、内的零点个数为 _. 8. 设21 1)( zzf ，则 )(zf 的孤立奇点有 _. 9. 函数 |)( zzf 的不解析点之集为 _. 10. _ _ _)1,1(R e s 4 zz . 三 . 计算题 . (40 分 ) 1. 求函数 )2sin( 3z 的幂级数展开式 . 2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数 z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 iz 处的值 . 3. 计算积分： ii zzI d|，积分路径为（ 1）单位圆（ 1| z ）的右半圆 . 4. 求 dzz zz 22)2(sin. 四 . 证明题 . (20

8、分 ) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 )(zf 在D 内解析 . 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理 . 复变函数考试试题 （三） 一 . 判断题 . (20 分 ). 1. cos z 与 sin z的周期均为 k2 . ( ) 2. 若 f(z)在 z0处满足柯西 -黎曼条件 , 则 f(z)在 z0解 析 . ( ) 3. 若函数 f(z)在 z0处 解析， 则 f(z)在 z0连续 . ( ) 4. 若数列 nz 收敛，则 Re nz 与 Imnz 都收敛 . ( ) 5. 若函数 f(z)是区域 D 内 解析 且在 D 内的某

9、个圆内恒为常数，则 数 f(z)在区域 D 内为常数 . ( ) 6. 若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导 . ( ) 7. 如果函数 f(z)在 1|:| zzD 上解析 ,且 )1|(|1|)(| zzf ,则 )1|(|1|)(| zzf . （ ） 8. 若函数 f(z)在 z0 处 解析，则 它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( ) 9. 若 z0是 )(zf 的 m阶零点 , 则 z0是 1/ )(zf 的 m阶极点 . ( ) 10. 若 0z 是 )(zf 的可去奇点，则 0),(R e s 0 zzf . ( ) 二 . 填空题 . (

10、20 分 ) 1. 设 11)(2 zzf，则 f(z)的定义域为 _. 2. 函数 ez的周期为 _. 3. 若 nn ninnz )11(1 2 ，则 nznlim_. 4. zz 22 cossin _. 5. 1| 00 )(zz nzz dz_.（ n 为自然数） 6. 幂级数 0nnnx 的收敛半径为 _. 7. 设 11)(2 zzf，则 f(z)的孤立奇点有 _. 8. 设 1ze ，则 _z . 9. 若 0z 是 )(zf 的极点，则 _ _ _)(lim0 zfzz. 10. _)0,(R e s nzze . 三 . 计算题 . (40 分 ) 1. 将函数 12()

11、zf z z e 在圆环域 0 z 内展为 Laurent级数 . 2. 试求幂级数 nn nznn! 的收敛半径 . 3. 算下列积分： Czzzze)9(d22，其中 C 是 1| z . 4. 求 0282 269 zzzz 在 |z|1 内根的个数 . 四 . 证明题 . (20 分 ) 1. 函数 )(zf 在区域 D 内解析 . 证明：如果 |)(| zf 在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 . 2. 设 )(zf 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两 个正数 R 及 M，使得当 Rz| 时 nzMzf |)(| ， 证明 )(zf 是一个至多 n 次的多项式或一

12、常数。 复变函数考试试题 （四） 一 . 判断题 . (20 分 ) 1. 若 f(z)在 z0 解 析，则 f(z)在 z0 处满足柯西 -黎曼条件 . （ ） 2. 若函数 f(z)在 z0可导，则 f(z)在 z0解 析 . （ ） 3. 函数 zsin 与 zcos 在整个复平面内有界 . （ ） 4. 若 f(z)在 区域 D 内解析，则对 D内任一简单闭曲线 C都有 0)( C dzzf. （ ） 5. 若 )(lim0 zfzz存在且有限，则 z0是函数的可去奇点 . （ ） 6. 若函数 f(z)在 区域 D内解析且 0)( zf ，则 f(z)在 D内恒为常数 . （ ） 7

13、. 如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 )(lim0 zfzz一定不存在 . （ ） 8. 若 0)(,0)( 0)(0 zfzf n，则 0z 为 )(zf 的 n阶零点 . （ ） 9. 若 )(zf 与 )(zg 在 D 内解 析，且在 D 内一小弧段上相等，则Dzzgzf ),()( . （ ） 10. 若 )(zf 在 |0 z 内解析，则 ),(R e s)0),(R e s zfzf . （ ） 二 . 填空题 . (20 分 ) 1. 设 iz 11 ，则 _ _ _Im_ _ ,Re zz . 2. 若 nn zlim，则 n zzz nn .lim 21_. 3. 函数

14、 ez的周期为 _. 4. 函数21 1)( zzf 的幂级数展开式为 _ 5. 若函数 f(z)在 复平面上处处解析，则称它是 _. 6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_. 7. 设 1|:| zC ，则 _)1( C dzz. 8. zzsin 的孤立奇点为 _. 9. 若 0z 是 )(zf 的极点，则 _ _ _)(lim0 zfzz. 10. )0,(Resnzze _. 三 . 计算题 . (40 分 ) 1. 解方程 013 z . 2. 设 1)(2zezfz ，求 ).),(Re zfs 3. .)(9(2| 2 z dzizz

15、 z. 4. 函数 ()fz zez 111 有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数） . 四 . 证明题 . (20 分 ) 1. 证明：若函数 )(zf 在上半平面解析，则函数 )(zf 在下半平面解析 . 2. 证明 0364 zz 方程在 2|1 z 内仅有 3 个根 . 复变函数考试试题 （五） 一 . 判断题 .（ 20 分） 1. 若函数 f(z)是单连通区域 D内的解析函数，则它在 D内有任意阶导数 . （ ） 2. 若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内 恒 等 于 常 数 . （ ） 3. 若 f(z)在 区域 D内解析，

16、则 |f(z)|也在 D内解析 . （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析 . （ ） 5. 若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0解析 . （ ） 6. 若 )(lim0 zfzz存在且有限，则 z0是 f(z)的可去奇点 . （ ） 7. 若函数 f(z)在 z0可导，则它在该点解析 . （ ） 8. 设函数 )(zf 在复平面上解析，若它有界，则必 )(zf 为常数 . （ ） 9. 若 0z 是 )(zf 的一级极点，则 )()(lim),(Re s 00 0 zfzzzzf zz . （ ） 10. 若 )

17、(zf 与 )(zg 在 D 内 解析 ， 且在 D 内 一小 弧段上 相等 ，则Dzzgzf ),()( . （ ） 二 . 填空 题 .（ 20 分） 1. 设 iz 31 ，则 _ _ ,a r g_ _ ,| zzz . 2. 当 _z 时， ze 为实数 . 3. 设 1ze ， 则 _z . 4. ze 的周期为 _. 5. 设 1|:| zC ，则 _)1( C dzz. 6. _ _ _ _)0,1(Re s ze z . 7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。 8. 函数21 1)( zzf 的幂级数展开式为 _. 9. zzs

18、in 的孤立奇点为 _. 10. 设 C 是以为 a 心， r为半径的圆周，则 _ _ _)( 1 C n dzaz.（ n 为自然数） 三 . 计算题 . (40 分 ) 1. 求复数 11zz 的实部与虚部 . 2. 计算积分： zzI L dRe ， 在这里 L 表示连接原点到 1i 的直线段 . 3. 求积分： I 20 2c o s21 aad，其中 0a1. 4. 应用儒歇定理求方程 )(zz ，在 |z|1 内根的个数，在这里 )(z 在1| z 上解析，并且 1|)(| z . 四 . 证明题 . (20 分 ) 1. 证明函数 2|)( zzf 除去在 0z 外，处处不可微

19、. 2. 设 )(zf 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n，以及两个数 R 及 M，使得当 Rz| 时 nzMzf |)(| ， 证明 : )(zf 是一个至多 n 次的多项式或一常数 . 复变函数考试试题（六） 一、 判断题（ 30 分）： 1. 若函数 ()fz在 0z 解析，则 ()fz在 0z 连续 . （ ） 2. 若函数 ()fz在 0z 处满足 Caychy-Riemann 条件，则 ()fz在 0z 解析 . （ ） 3. 若函数 ()fz在 0z 解析，则 ()fz在 0z 处满足 Caychy-Riemann 条件 . （ ） 4. 若函数 ()fz在是区域 D 内的

20、单叶函数，则 ( ) 0( )f z z D . （ ） 5. 若 ()fz在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( ) 0C f z dz.（ ） 6. 若 ()fz在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( ) 0C f z dz.（ ） 7. 若 ( ) 0( )f z z D ，则函数 ()fz在是 D 内的单叶函数 .（ ） 8. 若 0z 是 ()fz的 m 阶零点，则 0z 是 1()fz的 m 阶极点 .（ ） 9. 如果函数 ()fz 在 :1D z z上解析，且 ( ) 1( 1)f z z,则 ( ) 1( 1)f z z.（

21、） 10. sin 1( )z z C .（ ） 二、 填空题（ 20 分） 1. 若 21(1 )1 nn nzinn ，则 limnz _. 2. 设21() 1fz z ，则 ()fz的定义域为 _. 3. 函数 sinz 的周期为 _. 4. 22sin coszz_. 5. 幂级数0nn nz的收敛半径为 _. 6. 若 0z 是 ()fz的 m 阶零点且 1m ，则 0z 是 ()fz 的 _零点 . 7. 若函数 ()fz在整个复平面处处解析，则称它是 _. 8. 函数 ()f z z 的不解析点之集为 _. 9. 方程 532 3 8 0z z z 在单位圆内的零点个数为 _. 10. 公式 cos sinixe x i x称为 _. 三、 计算题（ 30 分） 1、 2lim6nni. 2、设 23 7 1()Cf z dz ，其中 :3C z z，试求 (1 )fi . 3、设2() 1zefz z ，求 Re ( ( ), )s f z i . 4、求函数 36sinzz在 0 z 内的罗朗展式 . 5、求复数 11zw z 的实部与虚部 . 6、求 3ie 的值 . 四、 证明题（ 20 分） 1、 方程 7 6 39 6 1 0z z z 在单位圆内的根的个数为 6.