1、第 1 页数量关系基础知识一、数列1.等差数列： 1)d-(n+a= q)pn(maqpn22)(nS1中项求和公式n 为奇数时： 21nasn 为偶数时： )(2.等比数列： 1-nqa )qpnm(aqpn,-1)(anSn1，3.某些数列的前 n 项和奇数项和：1+3+5+(2n-1)=n 2 【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】 偶数项和：2+4+6+(2n)=n(n+1)平方数列求和：1 2+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)61立方数列求和：1 3+23+33+n3= n(n+1)2 4二、数学基础公式1.乘法公式立方和：a+b=(a+b)(a-ab+b) 立方差：
2、a- b=(a-b)(a+ab+b)完全立方和/差：(ab)=a3ab+3abb 裂项公式： )1n()(n1加权平均数： 调和平均数： nfx+fxk21 n21xx二项式定理： nrrn2n1n0 bCabaCa)ba( 二项展开式的通项公式： rr1rT )0(，分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元（贷款 a 元，n 次还清，每期利率为)xnb）2.几何公式 扇形：周长 L=(nr/180)+2r 面积 S=nr2/360 圆柱：表面积 S=2rh+2r2 体积 V=r2h球体：表面积 S=4r2 体积 V= r34圆锥：表面积 S=r2+r2R【R 为母线】 体积 V=r2h正四面体：
3、表面积 体积231a4S asV36243131底BFO3263213.几何问题其他结论：第 2 页所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。n 条直线最多可以将平面分为 1+ n(n+1)个区域。n 个圆相交最多可以有 n(n-1)个交点。一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为 2 个、3 个、5 个，其他数量都可完成。 满足勾股定理的三边有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】已知三角形最长边为 n，三边均为整数，这样的三角形有多少个?n=2k-1 时，为 k2个三角形；n=2k 时，为(k+1)
4、k 个三角形。已知边长为 a、b、c 的长方体由边长为 1 的小立方体组成。则一共有 abc 个小立方体；内部看不见的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方体有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)欧拉定理：VFE=2 ( 简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F)E=各面多边形边数和的一半。若每个面的边数为 n 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系：；若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：n21mVm21立体涂色问题：一个边长为 n 的正方体，由 n个边长为 1 的小正方体构成。最外层涂色，则：3 面被涂色的小正方体有 8 个2 面被涂色的小
5、正方体有(n-2)12 个1 面被涂色的小正方体有(n-2)6 个0 面被涂色的小正方体有(n-2) 个总共被涂色的有 n(n-2)个3、数字特性1.倍数关系若 ab=mn(m，n 互质) ，则 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数；ab 是 mn 的倍数。若 x=mny(m，n 互质)，则 x 是 m 的倍数；y 是 n 的倍数。2.两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数最小公倍数= 两数的积3.奇偶运算法则加减规律：奇奇=偶偶=偶；奇偶= 奇；乘法规律：奇偶=偶偶=偶；奇奇= 奇；【有奇为偶，无偶为奇】4.基本幂数周期2 n的尾数周期为 4，分别为 2，4 ，6，83 n的尾数
6、周期为 4，分别为 3，9 ，7，14 n的尾数周期为 2，分别为 4，65 n，6 n的尾数不变；7 n的尾数周期为 4，分别为 7，9 ，3，18 n的尾数周期为 4，分别为 8，4 ，2，69 n的尾数周期为 2，分别为 9，1n n(n10)的尾数为 n 末位的幂的尾数。4.整除判定法则能被 2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被 2(或 5)整除的数，末一位数能被 2(或 5)整除；能被 4(或 25)整除的数，末两位数能被 4(或 25)整除；第 3 页能被 8(或 125)整除的数，末三位数能被 8(或 125)整除；一个数被 2(或 5)除得的余数，就是其末一位数
7、被 2(或 5)除得的余数；一个数被 4(或 25)除得的余数，就是其末两位数被 4(或 25)除得的余数；一个数被 8(或 125)除得的余数，就是其末三位数被 8(或 125)除得的余数。能被 3(或 9)整除的数，各位数字和能被 3(或 9)整除；一个数被 3(或 9)除得的余数，就是其各位相加后被 3(或 9)除得的余数。能被 7 整除的数，其末一位数的 2 倍与剩下数之差，能被 7 整除；其末三位数与剩下数之差，能被 7 整除。如 362，末一位的 2 倍为 4，与剩下数 36 之差为 32不能被 7 整除如 12047，末三位 047 与剩下数 12 之差为 35能被 7 整除能被
8、 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被 11 整除。如 7394，奇数位和 7+9=16，偶数位和 3+4=7，16-7=9不能被 11 整除如 15235，末三位 235 与剩下数 15 之差为 220能被 11 整除 111能被 7(11 或 13)整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被 7(11 或 13)整除。将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被 7(11 或 13)整除。5.剩余定理余同加余：一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，因为余数都是 1，则取1，公
9、倍数做周期，则这个数为 60n+1和同加和：一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，因为 4+3=5+2=6+1，则取 7，公倍数做周期，则这个数为 60n+7差同减差：一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，因为 4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为 60n-3【例题】：三位的自然数 N 满足：除以 6 余 3，除以 5 余 3，除以 4 也余 3，则符合条件的自然数 n 有几个?A.8 B.9 C.15 D.16【解析】4 、5、6 的最小公倍数是 60，可以算出这个数为 60n+3，已知的条件 n 是一个三位数，所以 n 可以取
10、 2 到 16 的所有整数，共 15 个。6.余数定理定理 1：两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和（1）73=1 ，53=2，则（7+5 ）3 的余数就等于 1+2=3，所以余 0（2）83=2 ，53=2，2+2=43，431，则（8+5 ）3 的余数就等于 1【例题】有 8 个盒子分别装有 17 个、24 个、29 个、33 个、35 个、36 个、38 个和 44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29 个 B.33 个 C.36 个 D.3
11、8 个【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是 1 份，小钱和小孙都是 2 份，三个人加起来是 5 份，也就是说三个人的和是 5 的倍数。因此，小李 +小钱+小孙= 总数量- 小赵=5 的倍数，总数量与小赵关于 5 同余。用定理 1 计算总数量除以 5 的余数，17 个、24 个、29 个、33 个、35 个、36 个、38 个、44 个除分别余 2、余 4、余 4、余 3、余 0、余1、余 3、余 4。2+4+4+3+0+1+3+4=215=41，总数量除以 5 余 1，因此小赵除以 5 也余 1。选 C定理 2：两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积第 4 页（1）7
12、3 余 1，53 余 2，则（75 ）3 的余数就等于 12=2，所以余 2（2）83=2 ，53=2，2+2=43，431，则（85）3 的余数就等于 1【例题】有一条长 1773mm 的钢管，把它锯成长度分别为 41mm 和 19mm 两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成 41mm 的钢管（）段。A.20 B.31 C.40 D.52【解析】设长度为 41mm 的钢管 x 段，19mm 的钢管 y 段，可列方程41x+19y=1773，19y 显然能被 19 整除，而 177319=936，因此 41x19 一定也余 6，又 4119 余 3，根据定理 2，x19 只能余 2，选项中
13、只有 C 选项满足此条件，应选 C数量关系经典题型1、日期问题1.每个世纪前 99 年，能被 4 整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被 400 整除的是闰年。2.平年有 52 个星期零 1 天，一年后的这一天星期数变化加 1；闰年有 52 个星期零二天。3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月【1 ，3，5，7，8，10，12】八月后单月为小月，双月为大月 【4，6，9，11】每月 1，2 ， 3 日对应的星期数可能出现 5 次。大月当月 1， 2，3 日对应的星期数出现 5 次；小月当月 1，2 日对应的星期数出现 5 次；闰年 2 月有 29 天，当月 1 日对应的星期出现 5 次。二、
14、年龄问题：利用年龄差不变，可列方程求解。三、植树问题1.不封闭路线 两端植树：颗树=全长/间距1 两端不植树：颗数 =全长/间距1 2.封闭路线：颗数= 全长/间距4、方阵问题1.从内向外：每层人数依次增加 8 每层总人数= 每边人数442.空心方阵总人数=层数中间层人数=每边最外层人数 2(最内层每边人数2) 25、钟表问题1.分针每分钟走 36060=6，时钟每分钟走 6060=0.5，每分钟两者角度差为5.52.时针每分钟走 5/60=1/12 格，时针每分钟走 1 格，每分钟两者路程差为 11/12 格。3.分针追击时针问题：追及时间=在初始时刻需追赶的格数 (11/12) 时针速度是
15、分钟的 1/12，分钟每走 60（11/12）= （分）与时钟重合一次。1563.坏钟问题：坏钟每小时比标准时间快 n 分钟，则坏钟/标准时间=(60+n)/60 。当坏钟显示过了 x 分钟，标准时间相当于过了 60x/(60+n)分钟。4.时针成角度问题把 12 点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则 m 时n 分这个时刻时针所成的角为 30（m+n/60）度，分针所成的角为 6n 度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。用 表示此时两指针夹的度数，则 =30（m+n/60）-6n则 =|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|。【例如】求 5 时 40
16、分两指针所夹的角。 【解析】把 m =5，n =40 代入上式，得 =|150-220|=70此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。第 5 页时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180也是 22 次。【例如】求 3 时多少分两指针重合。【解析】把 =0，m=3 代入公式得：0=|30 3-5.5n|，解得 n=180/11，即 3 时180/11 分时两针重合。6、浓度问题1.基本公式：m 溶液 =m 溶质 +m 溶剂 c=m 溶质 /m 溶液2.等溶质递减溶剂问题公式： c i为第 i 次的溶液浓度，i=1，2，3312c3.溶液混合普通问题 m1c1+m2c
17、2=(m1+m2+)c 混 m 为溶液质量，c 为溶液浓度有某溶液质量为 m，每次先倒出该溶液 m0，再倒入清水 m0，经过 n 次操作后，溶液浓度由 c0变为 cn。 则 cn=c0(m-m0)/mn有某溶液质量为 m，每次先倒入清水 m0，再倒出该溶液 m0，经过 n 次操作后，溶液浓度由 c0变为 cn。 则 cn=c0m/(m+m0)n【例题】从装满 1000 克浓度为 50%的酒精瓶中倒出 200 克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为 1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后
18、清水的浓度为 50%(1000-200)/10003=25.6%，所以多次混合后酒精的浓度为 1-25.6%=74.4%。3.十字交叉法与浓度问题浓度问题中的混合问题，一般主要采用十字交叉法来实现多的量和少的量保持平衡。已知一瓶溶液的浓度为 a%，另外一瓶的溶液浓度为 b%，分别取 m 和 n 份进行混合，求混合溶液的浓度？(m n)第一部分 a% x-b% m x 则 nx%ab-第二部分 b% a%-x n【例题】某班男生比女生人数多 80%，一次考试后，全班平均成绩为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% ，则此班女生的平均分是( )。【解析】设男生平均分 x，女生 1.2x
19、。(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8 得 x=70，则女生平均分为 844.溶液交换浓度相等问题设两个溶液的浓度分别为 a%，b%，且 ab，设需要交换溶液为 x。则有：(b-x)：x=x ：(a-x) x=ab/a+b【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是 40 克，40%的溶液是 60 克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液?A.36 B.32 C.28 D.24【解析】设交换的溶液为 x 克，混和后的标准浓度 c。先对 60%的溶液研究，采用十字交叉法来得：40-x ：x=(c-40% ) ：(60%-c) 再对 40%的溶液进行研究，同理得：
20、60-x ：x=(60%-c) ：(c-40%) 由上面两式得 40-x ：x=x ：60-x 即推出 x=(4060)/(40+60)=24七、盈亏问题：核心思想即 人数=盈亏差分配差十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)还常用于增长率问题。已知两个量的增长率，求两个量混合后的增长率。第 6 页1.一次盈，一次亏：( 盈+亏)(两次每人分配数的差)= 人数2.两次都有盈： (大盈- 小盈)(两次每人分配数的差)=人数3.两次都是亏： (大亏- 小亏)(两次每人分配数的差)=人数4.一次亏，一次刚好：亏(两次每人分配数的差)=人数5.一次盈，一次刚好：盈(两次每人分配数的差)=人数【例题
21、1】 用绳测井深，把绳三折，井外余 2 米，把绳四折，还差 1 米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？ 【解析】井深=(3 2+41)/(4-3)=10 米，绳长=(10+2) 3=36 米。 【例题 2】 有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加 1 条船，正好每条船坐 6 人；如果减少 1 条船，正好每条船坐 9 个人。那么这个班共有多少名同学？ 【解析】增加一条和减少一条，前后相差 2 条，可理解为每条船坐 6 人正好，若坐 9 人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。 解答：增加一条船后的船数=92/(9-6)=6 条，这个班共有 66=36 名同学。或者也可以理解为每
22、条船坐 9 人正好，若坐 6 人则还缺两条船。增加一条船后的船数=62/(9-6)=4 条，这个班共有 49=36 名同学。8、鸡兔同笼问题假设全是鸡，则兔子数=（总脚数-鸡脚数总只数）（兔脚数 -鸡脚数）假设全是兔子，则鸡数=（兔脚数总只数-总脚数-）（兔脚数-鸡脚数）【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525 分，问其中有多少个灯泡不合格？”【解析】假设全部合格，则不合格的有(41000-3525)(4+15)=47519=25 （个）假设全部不合格，不合格的
23、有 1000-(151000+3525)19=1000-1852519=25（个）9、牛吃草问题：草生长速度=总量差时间差=（吃草速度 1时间 1吃草速度 2时间 2）时间差原有草量=（牛数每天长草量）天数 一般设每天长草量为 x草的总量=原有草量+ 新生草量十、利润问题利润率利润/成本( 售价成本)/成本售价/成本1 售价成本(利润率) 成本售价/ （利润率) 【例题】一商品的进价比上月低了 5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了 6 个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为多少？A.12% B.13% C.14% D.15%【解析】本题中始终不变的是售价，根据 售价成本( 利润率)
24、，设商品进价为100，上月利润率为 x。则有 100(1+x)=95(1+x+6%) 解得 x=14%，选 C十一、抽屉原理：原理 1：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的物体。原理 2：把多于 mn 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m+1 个或多于m+1 个的物体。第二抽屉原理：把（mn1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m 1）个物体。注意：抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。第 7 页【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿
25、1 个球，至多拿 2 个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？【解析】最多有同学拿球的配组方式共有 C(1，3)+2C(2，3)=9 种( 足球、篮球、排球、足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮)。以这 9 种配组方式制造 9 个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 50955。由抽屉原理 2，k （m/n ） 1 可得，至少有 6 人，他们所拿的球相同。12、容斥问题1.三者容斥问题问题的两个不同公式ABC=A+B+CABBC AC ABCABC=A+B+C重叠一次的 2重叠两次的ABC=K 1+K2+K3 K 1为第一层，K 2为第二层，K 3为第三层A+B+C=K1+2K2+3K3=ABC
26、+K 2+2K3【例题】五年级一班共有 55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班， 35 人参加书法班，28 人参加美术班， 31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有 6 人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。A.45 B.33 C.29 D.22【解析】根据 A+B+C=ABC+K 2+2K3=55+K2+26=35+28+31 解得 K2=27,根据 ABC=K 1+K2+K3 解得 K1=22。K 1即表示为只参加一种特长班的人数。2.容斥问题其他类型求两个集合的交集的最小值：A+B-I求三个集合的交集的最小值：A+B+C-2I【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语
27、考试，已知考试共有 100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题，小红做对了 78 题。问三人都做对的题目至少有几题?A.4 题 B.8 题 C.12 题 D.16 题【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2100=4 ，选择 A。解法二：由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为 32，42 ，22，三人做错的题共有32+42+22=96 道，利用最不利原则，即三人最多做错 96 道，则至少做对 100-96=4 道13、工程问题1.基本工程问题：(1)已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作量。 (2)抓住单独工作效率或者合作工作效率为解
28、题关键。常见两种题型：合作过程中有人休息：一般假设不休息来算。轮流工作时：一般用周期来算。计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以及最后剩余工作量如何分配。(3)某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙做了多少天。【例题 1】 一件工作，甲单独做 12 天完成，乙单独做 9 天完成。按照甲先乙后的顺序每人每次 1 天轮流，完成需几天？A.31/3 B.32/3 C.11 D.10【解析】设工作总量为 36，则甲每天做 3 份，乙每天做 4 份，轮流 2 天可做 7 份。36751，即甲乙轮流工作 10 天余 1 份，第 11 天时，甲完成剩余的 1/
29、3 即可，所以共需 31/3 天。第 8 页【例题 2】 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】解法一：甲乙合作 30 天可做完；现在甲做 6 天，乙做 46 天可做完，前后对比甲少做 24 天，乙多做 16 天，所以甲乙的效率之比为 6：4。所以乙做 30 天相当于甲做了 45 天，所以乙独做需 75 天；甲做 30 天相当于乙做 20 天，所以乙独做需要 50 天。解法二：共同做了 6 天后，还成 4/5 的工作量，乙做 4/5 的工作量需要 40 天，所以乙独做需要 50
30、天，即乙每天做 1/50，甲乙合作时乙做了 30/50=3/5，甲做了2/5，甲做 2/5 的工作量需 30 天，所以甲独做需 75 天。【例题 3】 一件工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 30 天完成. 现在两队合作，其间甲休息了 2 天，乙休息了 8 天。问开始到完工共用了多少天时间？【解析】解法一：设工作总量为 30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份。在甲单独做8 天，乙单独做 2 天后，还需两队合作 (30-38-12)(3+1)= 1 天，所以共需 8+2+1=11天【例题 4】 甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了
31、3 天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了 16 天。问乙队休息了多少天？【解析】解法一：如果 16 天两队都不休息，可以完成的工作量是 16(1/20+1/30)=4/3则两队休息期间未做的工作量为 1/3，乙队休息期间未做的工作量 1/3-3(1/20)=11/60，乙队休息的天数是 11/60(1/30)=5.5 天解法二：甲乙效率之比为 3:2，甲单独做需 20 天，现在甲休息了 3 天，即甲做了 13 天，甲若再做 7 天即可完成，转化为乙做了 10.5 天，所有乙休息了 16-10.5=5.5天。2.工程问题 水管问题【例题 3】 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池。现在，先
32、打开甲管， 10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 【解析】解法一：甲每分钟注入水量是：(1-1/93)10=1/15，乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45。因此水池容积是： 0.6(/15-2/45)=27m3解法二：甲管 9 分钟，乙管 9 分钟可注满；甲管 13 分钟，乙管 3 分钟注满。前后对比甲管多进水 4 分钟，乙管少进水 6 分钟，即甲管和乙管的效率之比为 4：6。已知甲管比乙管每分钟多注水 0.6m3，所以两管每分钟共进水 3m，所以水池容积为39=27m3十四、行程问题(1)相遇问
33、题：路程和=速度和时间 （S 1+S2）=（v 1+v2）t(2)追及问题：路程差=速度差时间 （S 1+S2）=（v 1+v2）t(3)直线多次相遇问题：两人相向而行，第 n 次相遇时两人行走的总路程 S 总 =(2n-1)S(4)环形运动问题：圆形跑道长为 S，两人走的路程分别为 S1、S 2同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第 n 次相遇时两人走的总路程为nS同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第 n 次追上时两人走的路程差为nS1.沿途数车问题发车时间间隔 T=(2t1t2)/ (t1+t2)车速/人速=(t 1+t2)/ (t2-t1) t 1为迎面来一辆车
34、所需时间，t 2为从身后超过一辆车所需时间第 9 页【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔 6 分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔 10 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍？A. 3 B.4 C. 5 D.6【解析】车速/人速=(10+6)/(10-6)=4 2.公交车超骑车人和行人问题【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的 3 倍，每个隔 10 分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔 20 分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么
35、间隔几分钟发一辆公交车? t 人 =超行人时间，t 车 =超自行车时间，v 人=人的速度，v 车= 自行车的速度通解公式：发车时间间隔 T=t 人 t 车 (v 车 -v 人 )/(v 车 t 车 -v 人 t 人 )上题代入解得 T=83.队伍行走问题：已知：v 1为传令兵速度，v 2为队伍速度，L 为队伍长度。从队尾到队首的时间为：L/(v 1-v2 ) 从队首到队尾的时间为：L/(v 1+v2 )4.行程问题 停留问题，化静为动看待问题。我们可以假设停留的时间没有停留，把它们两者的停留时间按照原速度计入总路程中。【例题 1】 快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6 小时相遇，这时快车离乙站还
36、有 240 千米，已知慢车从乙站到甲站需行 15 小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留 1 小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?【解析】相遇时快车距离乙站 240km，即为相遇时慢车走了 240km，则 v 慢=40km/h，甲乙两地总路程为 4015=600km，所以，相遇时快车走了 360km，则 v快=60km/h从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的 2 倍，假设快车不在乙站停留 0.5 小时，慢车不在甲站停留 1 小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为 6002+600.5+401=1270km，两次相遇期间所经时间为 1270
37、(60+40)=12.7h【例题 2】 甲乙两人同时从东镇出发，到相距 90 千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30 千米，乙步行每小时行 10 千米，甲到西镇用 1 小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?【解析】甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇，故两人所行路程总和为 902=180km，但因甲到西镇用了 1 小时办事。倘若甲在这 1 小时中没有停留，而是继续骑行，这样两人所行总路程应为：902+30=210km，则相遇时间为：210(30+10)=5.25h，则乙行了105.25=52.5km。十五、流水行船问题 v 顺= v 船 +v 水 v 逆 =v 船 -v 水 v
38、 船 =(v 顺 +v 逆 )/2 v 水 =(v 顺 -v 逆 )/2 v 船 /v 水 =(v 顺 +v 逆 )/(v 顺 -v 逆 )已知：A、B 两地由一条河流相连，轮船匀速前进，从 A 到 B 顺流需时间 T 顺 ，从 B 到A 逆流需时间 T 逆 。(1)漂流时间=2T 顺 T 逆 /(T 逆 -T 顺 )(2)轮船在静水中从 A 到 B 的时间=2T 顺 T 逆 /(T 逆 +T 顺 )【例题 1】 轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 4 天.从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天 ? 【解析】代入公式：234(4-3)=24 天【例题
39、 2】 轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 6 天，若轮船在静水中从第 10 页A 到 B 需要多长时间? 【解析】代入公式： 236(3+6)=4 天(3)多次相遇公式：S 1为第一次相遇时的距离，S 2为第二次相遇时的距离。S1和 S2相对的是同一地点，则为单岸型，不同地点则为双岸型。单岸型：S=(3S 1-S2)/2 双岸型：S=3S 1-S2(4)行船复杂问题【例题】一只游轮从甲港顺流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用 8 小时，顺水每小时比逆水每小时多行 12 千米，前 4 小时比后 4 小时多行 30 千米。甲、乙两港相距多少千米?A.72 B.60 C
40、.55 D.48【解析】全程共用 8 小时，所以逆水行船花的时间过半，后 4 小时全部是逆水行船，前 4小时有一部分是顺水，一部分是逆水。解法一：由于逆水速度不变，所以前 4 小时比后 4 小时多行驶的距离就是顺水时多行的距离，可以得出：t 顺 =30/12=2.5h，t 逆 =5.5h则 v 顺 /v 逆 =5.5/2.5=2.2 倍， v 顺 -v 逆 =1.2v 逆 =12km/h，则 v 逆 =10km/h，甲乙两港的距离就是 105.5=55km。解法二：v 逆 =v 顺 -12 S 逆 =4v 顺 -48 S=S 逆 +15=4v 顺 -33 由 S/v 顺 +15/v 逆 =S
41、逆 /v 逆 代入解得 v 顺 =22 则 S=55km16、排列组合1. )1mn()Amn 1)m()nACnm2.“在位 ”与“ 不在位”：n 个元素中取 m 个元素的排列某元素必在某位有 种1-A某元素不在某位有 （补集思想） （着眼位置）n1n（着眼元素）种1mn1n【例题】5 本书从左到右依次摆在书架上，其中一本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，一共有多少种摆法？【解析】解法一：补集思想。5 本书排列，若不限制条件，共有 种排法；其中某种书排5A在排头或排尾有 种，它不符合条件，故符合条件的排法有 =72 种4A2 42解法二：插空法。先把不能摆在排头也不能摆在排尾的的书拿开，让其
42、余 4 本书做全排列，有 种，然后再把那本书插入中间 3 个空隙处，有 种。所有共有 =72 种4 1313解法三：看眼位置。某本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，这两个位置只能摆其余 4 本书，有 种；中间 3 个位置只能排余下的 3 本书，有 种。所以共有 =7224 243.排列组合基本问题捆绑法：n 个元素的全排列，k 个元素必须相邻的排法有 种。应用于不相1knA邻问题，先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列 插空法：n 个元素的全排列，k 个元素不能相邻的排法有 种。应用于相邻1k-n问题，先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中 两组元素各相同的插空：m 个 A 类元素 n(nm+1)个 B 类元素排成一列，B 类元素必须分开，有 种排法n1mCA插板法：n 个元素分成 m 组，每组至少一个元素，可用 m-1 个“挡板”插入 n 个元素形成的 n-1 个空隙中，将元素分成 m 组，有 种。1-nC5.平均分组问题：将 mn 个元素平均分成 n 组，每组 m 个，分法有
