1、差倍问题例题 1. 一条路长 100 米，从头到尾每隔 10 米栽 1 棵梧桐树，共栽多少棵树？ （1）路分成 1001010 段，共栽树 10+111 棵。2.12 棵柳树排成一排，在每两棵柳树中间种 3 棵桃树，共种多少棵桃树？ （2）3（121 ）33 棵。 3、哥哥和弟弟两人 3 年后年龄和是 27 岁，弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人年龄的差。哥哥和弟弟今年各多少岁？ 解题思路:从题中“哥哥和弟弟两人 3 年后年龄和是 27 岁”这句话，可以求出哥哥和弟弟今年的年龄和是 27-3221 （岁） ，从“弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人的年龄差” ，即哥哥年龄-弟弟年龄弟弟年龄。可以
2、知道哥哥今年的年龄是弟弟年龄的 2 倍，弟弟年龄是哥哥年龄的 1/2。 解：弟弟今年的年龄 （27-32 ）（1+2）7 （岁） 哥哥今年的年龄 7214（岁）或（27-32）（1+1/2）14（岁） 141/27（岁） 1994 年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的 4 倍，2002 年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的 2 倍，问妈妈出生是哪一年？ 解题思路:把 1994 年姐姐和妹妹的年龄和看作 1 倍，那么妈妈 1994年就是这样的 4 倍。到 2002 年过了 8 年，姐姐妹妹的年龄增加了8216 （岁） ，要使妈妈年龄仍然是姐姐和妹妹年龄和的 4 倍，那么妈妈必须增加 16464（岁）,而
3、实际只增加 8 岁。现在少增加64-8 56（岁） ，就少了 2002 年姐姐和妹妹这时的年龄和56228 （岁） ，也求出了 2002 年妈妈的年龄。 解：（2002-1994）216（岁） （164-8）（4-2）28（岁）妈妈的年龄 28256（岁） 妈妈出生年 2002-561946 （年） 盈亏问题 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出 8 元，就多出了 8元；每人出 7 元，就多出了 4 元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 分析“多 8 元“与“多 4 元“两者相差 8-4=4 （元） ，每个人要多出 8-7=1 （元） ，因此就知道，共有 41=4 （人）
4、，蛋糕价钱是 84-8=24（元） 5 年前小芳的年龄是小英年龄的 7 倍，10 年后小芳年龄是小英年龄的 2 倍，问今年小芳、小英两人各多少岁？ 解题思路:画线段图可以看出，因为 10 年后小芳的年龄是小英年龄的 2 倍，所以两人当时的年龄差为小英当时的年龄，即 5+10+小英5 年前的年龄。因为 5 年前小芳的年龄是小英年龄的 7 倍，两人的年龄差为小英当时年龄的 6 倍。所以 15 相当于小英 5 年前年龄的 5倍，可求出小英 5 年前的年龄。 解：（10+5）（7-1-1）3（岁） 小英年龄 3+58（岁）小芳年龄 37+526 （岁） 6 年前，母亲的年龄是儿子的 5 倍。6 年后母
5、子年龄和是 78 岁。问：母亲今年多少岁？ 解题思路:6 年后母子年龄和是 78 岁，可以求出母子今年年龄和是7862=66(岁)。6 年前母子年龄和是 6662=54(岁)。又根据 6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的 5 倍，可以求出 6 年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。 解 母子今年年龄和：786 2=66(岁) 母子 6 年前年龄和：6662=54(岁) 母亲 6 年前的年龄：54(51) 5=45(岁) 母亲今年的年龄：45 6=51(岁) 答：母亲今年是 51 岁。 1.哥哥与弟弟三年后年龄之和是 27 岁, 弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄岁, 弟岁. 1、乙两人的年龄和正
6、好是 100 岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？ 1、哥哥与弟弟三年后年龄之和是 27 岁, 弟弟今年的年龄等于两人的年龄差 ,问兄( ) 岁,弟( ) 岁. 解题思路: 27-23=21( 岁) 21(2+1)=7(岁) 72=14(岁) 答:哥哥今年 14 岁,弟弟今年 7 岁. 2、甲、乙两人的年龄和正好是 100 岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？ 解题思路:由“乙的年龄正好是甲年龄的一半” 再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁
7、，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当于乙的 1 倍，可以看出：现在乙的年龄如果有 2 份，甲的年龄就有这样的 3 份，甲、乙两人的年龄共有 221=5（份） 。5 份对应着两人的年龄和 100 岁。这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。 解: 甲、乙两人年龄的份数和是多少？ 22 1=5 （份） 每份是多少？ 100 5=20（岁） 乙的年龄是多少岁？ 202=40 （岁） 甲的年龄是多少岁？ 20（2 1）=60（岁） 综合算式是：100（22 1）2=40 （岁） 100（2 21）（2 1）=60（岁） 答：甲今年 60 岁，乙今年 40 岁。 1、兄弟二人的年龄之和是 25 岁,四年后
8、,哥哥比弟弟大 5 岁,今年哥哥（ ）岁,弟弟（ ） 岁. 2、今年甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,三年后甲比乙大 4 岁, 今年甲（ ）岁, 乙（ ）岁. 1.兄弟二人的年龄之和是 25 岁, 四年后,哥哥比弟弟大 5 岁, 今年哥哥 岁,弟弟 岁. 解题思路:在年龄问题中,两人的年龄差是不变的量,在这道题中,兄弟两人相差 5 岁是不变的量,如果哥哥小 5 岁就和弟弟一样大,总数变为 25-5=20(岁)相当于弟弟年龄的 2 倍, 可以先求出弟弟的 ,相应再求哥哥的,或者弟弟大5 岁就和哥哥相同, 总数变为 25+5=30(岁)相当于哥哥年龄的 2 倍, 可以求出哥哥的,再求弟弟的. 解法一:
9、25-5=20( 岁) 202=10(岁) 10+5=15(岁) 答:弟弟 10 岁,哥哥 15 岁. 2.今年甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,三年后甲比乙大 4 岁,今年甲 岁,乙 岁 . 解题思路: 4(3-1)=2(岁) 23=6(岁) 答:甲今年 6 岁, 乙今年 2 岁. 平均数问题 果品店把 2 千克酥糖， 3 千克水果糖， 4 千克奶糖混合成什锦糖已知酥糖每千克 8元，水果糖每千克 11 元，奶糖每千克 17 元问：什锦糖每千克多少钱？ 解答：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数即：什锦糖的总价：28+311+417=117 （元） ，什
10、锦糖的总千克数：2+3+4=9 （千克） 什锦糖的单价：1179=13 （元） 东东、明明两个人的平均年龄是 14 岁，明明、亮亮两个人的平均年龄是 17 岁，那么亮亮比东东大几岁？ 解答：东东、明明的年龄和是： 142=28 （岁） ，明明、亮亮的年龄和是：172=34 （岁） ，所以亮亮、东东的年龄差为：34-28=6 （岁） 1、 求和：12 3 4 56 78 2、 计算：12 3 98 99100 1、 求和：12 3 4 56 78 解： 1234 5678 (1+8)82 36 2、 计算：12 3 98 99100 解：12 3 98 99100 (1+100) 1002 50
11、50 等差数列 1）11、14 、17、20、95 、98 这个等差数列的项数是（ ） 。 （2 ）今天是周日，再过 78 天是周几？ （1）11、14、17 、20、95、98 这个等差数列的项数是（ ） 。 解答：（98-11）31=30 （2 ）今天是周日，再过 78 天是周几？ 解答：（ 781）7=112 ，所以是周一。 （1）2、4、6 、8、28、30 这个等差数列有( )项。（2）2、8、14 、20、62 这个数列共有（ ）项。 1）2 、4 、6 、8、 、28 、30 这个等差数列有( )项。 解答：（30-2）2+1=15 （2 ）2、8、14 、20、62 这个数列共
12、有（ ）项。 解答：（62-2）6+1=11 1） 1、3 、5 、7 、这个数列从左向右数第 10 项是（ ） 。 （2） 7、10、13、16、这个数列从左向右数，第 41 项是（ ） 。 解答：（1）a10=1+(10-1) 2=19；（2）a41=7+ （41-1）3=127； 1、在 10 和 40 之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？ 2、一个等差数列的首项是 6，第 8 项是 55，公差是（ ） 。 1、在 10 和 40 之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？ 解答：d=（40-10） (4+1)=6，插入的数是：16、22
13、 、28、34。 2、一个等差数列的首项是 6，第 8 项是 55，公差是（ ） 。 解答：d=（55-6）（8-1）=7 和差倍问题 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇 160 个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔 20 个，而小灰兔自己又采了 10 个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的 5 倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？ 解答：(160-20 10)(51)25(个) 25-10 15( 个) 160-15 145(个) 【小结】这道题是和倍应用题，因为有“和“、有“倍数“。但这里的“和“不是 160，而是 1602010150， “1 倍“数却是“小灰兔又自己采了 10 个后的蘑菇数
14、“。线段图如下： 根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1 倍“数) (160-2010) (51)25(个)，故小灰兔原有蘑菇 25-1015(个)，大白兔原有蘑菇 160-15145(个)。 1、兄弟俩今年的年龄和是 30 岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？ 2、甲对乙说： “我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的 2 倍减 7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？1、兄弟俩今年的年龄和是 30 岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？ 分析：根据条
15、件“当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半” ，说明兄弟二人的 年龄和 30 岁正好相当 5 个年龄差.其中哥哥今年年龄相当 3 个年龄差.所以 3053=18（岁）就是今年哥哥的年龄。 答：哥哥今年 18 岁 2 、甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2 倍减 7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？ 分析：从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量。 甲对乙说“我在你这么大岁数的时候” ，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄
16、差，正好是甲今年岁数的一半.乙对甲说“我到你这么大岁数的时候” ，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的 2 倍减去 7。即甲今+ 年龄差=2乙今-7，把甲乙的对话用下图表示为： 绳子 用一根绳子测井深。把绳子折三折再去量，井外余 3 尺；把绳子折四折去量，则距井口 1 尺。求绳长和井深。 解答：如果我们事先把绳子接上4 尺，然后折四折去量井深，此时的绳子正好与井口相平，可见井深就是这条接上后的绳子的尺数除以 4。再如果将这条接上 4 尺后的绳子折成三折去量井深，此时留在井外的绳子不是 33=9（尺） ，而是 9+4=13（尺） 。这留在井外 13
17、 尺的绳子长是由于新绳子由四折改为三折去测量而引起的，它其实就是井深，即井深为 13 尺，于是原来绳子的长度为 134-4=48（尺） 巧算 一只蜘蛛八条腿，一只蜻蜒有六条腿、二对翅膀，蝉有六条腿和一对翅膀。现有这三种小昆虫共 18 只，共有 118 条腿和 20 对翅膀，问每种小昆虫各有几只？ 解答：这个问题比前几个问题要复杂一些。但仔细考虑，发现蜻蜓和蝉的腿条数都是 6，因此可从腿的条数入手。假设 18 只全是蜘蛛，那么共有 818=144（条）腿。但实际上只有 118 条，两者相差 144-118=26（条） ，产生差异的原因是 6 条腿的蜻蜒和蝉都作为 8 条腿的蜘蛛了，每一只相差 2
18、 条腿。被当作蜘蛛的蜻蜒和蝉共有 262=13（只） 。 因此，蜘蛛有 18-13=5（只） 。 再假设 13 只昆虫都是蜻蜒，应有 132=26（对）翅膀，与实际翅膀数相差 26-206（对） ，每把一只蝉当一只蜻蜒，翅膀数就增加 1 对，所以蝉的只数是 61=6（只） ，蜻蜓数是 13-6=7（只） 。 拆数补数 188873 548 996 9898203 解答：式= （188+12）+（873-12） （熟练之后，此步可略） 200+861=1061 式= （548-4 ）（996 4 ） =544+1000=1544 式= （9898102）（203-102） =10000+101=
19、10101 兔和鸡 鸡兔共有脚200 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 160 只，求鸡、兔各有几只？ 解答：鸡有 20 只，兔有 40 只。 分析：鸡兔互换之后，脚数少了（只） ，这说明一定是兔比较多，且比鸡多（只） ，那么鸡兔原有脚 200 只，减去 20 只兔，剩下的鸡兔数量相等，腿数共（只） ，这时鸡兔头数相同，则兔脚是鸡脚的两倍，故鸡脚有 (只)，鸡有 （只） ，兔有 （只） 。 小结：解决鸡兔同笼问题最常用的方法便是假设法。对于基本的鸡兔同笼题，可公式求解：1.如果假设全是兔，那么则有 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数
20、 2.如果假设全是鸡，那么就有 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 求对于复杂一些的鸡兔同笼，可用假设法加减头脚，转化成和差倍问题来解决。常见的思路是：头数相同，则兔脚是鸡脚的两倍；脚数相同，则鸡头是兔头的两倍。 整除问题 有 3 个连续自然数，最小数能被 5 整除，中间的数能被 4整除，最大数能被 3 整除。则符合上述条件的最小的三位自然数是哪三个？ 解答：符合题意的最小三个三位数为 115、116、117. 因中间数是 4 的倍数，显然为偶数，所以最小数和最大数都是奇数。最小数能被 5 整除，且要满足它是奇数的话，则最小数的末位只能是 5.故中间数末位为 6，最大数末位为 7.最大数末位为 7，且满足被3 整除，则最小可取 117，这时中间数为 116，满足被 4 整除。故符合题意的最小的 3 个三位连续数是 115、116 、117 小结：本题是整除性质的综合应用。5、4 均是尾数判定， 3 是和系判定。最小数末位可取 0、5，但为了满足中间数被 4 整除，只能取 5，这是一个突破点。 和倍问题 两个数的和是 2016，其中一个加
