1、 第 1 页 共 21 页高考数学专题复习 导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用第 2 页 共 21 页导数运用中常见结论(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为()yfx0 0()fx。00)()fx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。(yfx0()fx(3)对于可导
2、函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。)()fx（ ） ()f(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不(fx xI0()fx恒为 0） .(5)函数 （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值，则可等价转化()fx ()fx为方程 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 为二次函数且 I=R，则有）。0(6) 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或()fx()fx ()fx0()fx在 I 上恒成立(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则x()f0min()fx0xI()fmax()f0(8)若 ，使得 ，
3、则 ；若 ，使得 ，则I0()fxmax()f0I0()fx.min()fx(9)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有()gx()fg.min0f(10)若对 、 ， 恒成立，则 .1I2xI12()fxgminax()()fx若对 ， ，使得 ,则 .()iing若对 ， ，使得 ，则 .1I2I12fxmaxax()()f（11）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上值域为 B，()fx1()gI第 3 页 共 21 页若对 , ，使得 = 成立，则 。1xI2I1()fx2gAB(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于012x、0
4、，极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式 : ln1(0)x1xx + ln(1)x（ ） ee l()2x22l(0)x sinx0)xe第 4 页 共 21 页1、有关切线的相关问题例题、【2015 高考新课标 1，理 21】已知函数 f（ x）= .31,()ln4agx()当 a 为何值时， x 轴为曲线 的切线；()yf【答案】（） 34跟踪练习：1、【2011 高考新课标 1，理 21】已知函数 ，曲线 在点ln()1axbf()yfx处的切线方程为 。(,)f 230xy（）求 、 的值；ab解：（） 221(ln)xbf x由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即30xy1(
5、,)(1),2f解得 ， 。1,2ba1ab2、(2013 课标全国，理 21)设函数 f(x) x2 ax b， g(x)e x(cx d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y4 x2.(1)求 a， b， c， d 的值；解：(1) 由已知得 f(0)2， g(0)2， f(0)4， g(0)4.而 f(x) 2x a， g(x)e x(cx d c)，故 b2， d 2， a4， d c4.从而 a4 ， b2， c2 ， d2.第 5 页 共 21 页3、 (2014 课标全国，理 21)设函数1(0lnxxbefa，曲线 ()y
6、fx在点（1 ，(1)f处的切线为 (1)2yex. () 求 ,b；【解析】：() 函数 f的定义域为 ， 112()lxxxxabf e 由题意可得 (),()f，故 1,2a 6 分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015 高考江苏，19】已知函数 .),()(23Rbaxf （1）试讨论 的单调性；【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；0afx,当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；0afx2,3a0,2,03a当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减f,当 时， 时， ， 时， ，0a2,0,3ax0fx2,3
7、a0fx第 6 页 共 21 页所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减fx,02,3a20,3a练习：1、已知函数1()lnfx()aR.当12a时，讨论 ()f的单调性；答案：()ln10)afxx，22l11( (0)axaf xx令21()ha当 0时， )0x，当 (,1)0,()xhf,函数 ()fx单调递减；当 (,(xf，函数 f单调递增.当 0a时，由 ()0fx，即 210ax，解得 12,1xa.当12时 2， ()h恒成立，此时 ()f，函数 ()f单调递减；当0a时，10, (1)x时 0,()hxf，函数 ()fx单调递减；1(,)x时， (),hf，函数 f单
8、调递增；,a时， 0,()xf，函数 ()fx单调递减.当 0时1，当 (,1)0,()hxf,函数 ()fx单调递减；当 (,)0,xhxf，函数 单调递增.综上所述：当 a时，函数 ()x在 ,单调递减， (1,)单调递增；当12时 2x, ()0h恒成立,此时 ()0f，函数 ()fx在 0,)单调递减；当0a时,函数 ()f在 ,1递减,1a递增,递减.第 7 页 共 21 页2、已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 a()1)exfxa1()gax()()Fxfgx当 时，求函数 的单调区间0F解：函数 ，定义域为 ()e1xxa1xa当 时， 0a22 2()()ee)1x xF
9、令 ，得 9 分()x21ax当 ，即 时， 210a()0Fx当 时，函数 的单调减区间为 ， 11 分()1(,)a(,)当 时，解 得 102a21ax21,xx ，令 ，得 ， ， ；()0Fx1(,)a1(,)x2(,)x令 ，得 13 分12,当 时，函数 的单调减区间为 ， ，102a()Fx(,)a1(,)；函数 单调增区间为 15 分(,)a()12,a当 ，即 时，由（2）知，函数 的单调减区间为 及101a()Fx(,2)(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015 高考四川，理 21】已知函数 ，22()2)lnfxaxa其中 .0a（1）设 是 的导函数，评论 的单
10、调性；()gxf()gx【答案】（1）当 时， 在区间 上单调递104a14140,),(,)22aa第 8 页 共 21 页增， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上141(,)2a14a()gx(0,)单调递增.【解析】（1）由已知，函数 的定义域为 ，()fx(0,)，()2ln21agxfxa所以 .22()()4()x当 时， 在区间 上单调递增， 104a()gx11(0,),(,)2aa在区间 上单调递减；4(,)2当 时， 在区间 上单调递增.14a)gx(0,练习： 已知函数 ， lnafxR（1）求函数 的单调区间；()解：函数 的定义域为 fx0,)2()1axaf令
11、 ，得 ，记 0fx2014a（）当 时， ，所以 单调减区间为 ； 5 分4a ()fx ()fx(0,)（）当 时，由 得 ，10f12414,aa若 ，则 ，04a12x由 ，得 ， ；由 ，得 ()fx 1()0fx21x所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为f 4(0,2a14,)a； 7 分141(,)2a若 ，由（1 ）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ； 0()fx(0,1)(1,)第 9 页 共 21 页若 ，则 ，0a12x由 ，得 ；由 ，得 ()f()0fx 1x的单调减区间为 ，单调增区间为 9 分fx4,2a14(0,)2a综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；
12、1a ()fx,)当 时， 的单调减区间为 ，04f 14(0,2a，单调增区间为 ；1(,)2a14(,)2a当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为0 ()fx1(, 10 分14(0,)2a2. 已知函数 1()2ln()fxaxaR求函数 f的单调区间；解：函数的定义域为 0,，221()axfxa 1 分（1）当 a时， 2()0h在 (,上恒成立，则 ()0fx在 ,上恒成立，此时 )fx在 )上单调递减 4 分（2）当 时， 24a，（）若 1a，由 ()0fx，即 ()0hx，得21a或21ax； 5 分由 ()f，即 ()，得226 分所以函数 ()fx的单调递增区间为21(0
13、,)a和21(,)a，单调递减区间为221(,)a 7 分第 10 页 共 21 页（）若 1a， ()0hx在 ,)上恒成立，则 ()0fx在 ,)上恒成立，此时()fx在 ,上单调递增 3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数 .()lnfxax（1）若 a=1，求函数 在区间 的最大值;1,e（2）求函数 的单调区间；()fx（3）若 恒成立，求 的取值范围()0fa解：（1）若 a=1, 则 ()1lnfxx当 时, , ，xe2lf2 1()20xf 所以 在 上单调增, . 2 分()f1maxffe（2）由于 ， lnxa(0,)（）当 时，则 ， ，02()lfxx2 11(2xafxa令 ，得 （负根舍去），()fx20804a且当 时， ；当 时， ，0,()fx0(,)x()0fx所以 在 上单调减，在 上单调增.4 分()fx28,4a28,4a（）当 时，0当 时， ,xa2 11()2xafxa令 ，得 （ 舍），()0f184284若 ，即 , 则 ，所以 在 上单调增；284aa()0fx()fx,)a
